X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из этого разложения легко увидеть, что точки е = 0 и я = оо являются простььни полюса.ни функции Жуковского. Во всех остальных точках кол4плексной плоскости (я) функция Жуковского является аналитической, причем (10.17) — 2("+-) =-2( +-) приводит к равенству 1 1 = я1 яз~ лз я1 которое эквивалентно равенству (я1 — гз)(1 — я1гз) = О. Таким образом, значения функции Жуковского в точках «1 и ез Поскольку производная функции Жуковского обращается в нуль лишь в точках 1 и — 1, то в силу теоремы 9.3 она является однолистной функцией во всех точках расиьиренной комплексной плоскости (г), кроме точек я = ~1.
Условие 393 10.5. Функция Жуковского совпадают лишь в том случае, когда г~ = ко или г~ = 1/кз. Сле- довательно, функция Жуковского однолистна в любой области Р, не содержащей ни одной пары различных точек к~ и ко, для которых к~ ко = 1, т.е. ~к~)(яз~ = 1 и агбя~ = — агяяг. (10.18) Отображеыие, осуществляемое функцией Жуковского, удобно исследовать, рассматривая образы лучей агяг = ~р = сопв$ и окружностей ~г~ = р = сопв1. Возьмем сначала окружность ~я~ = р, комплексное уравнение которой имеет вид г = ре'~, 1Е (0,2я]. Образ этой окружности при отображении (10.16) описывается уравнением ю= — (реп+ — е "), 1Е]0,2х!.
ы 1 и 2 р (10.19) Полагая и = и+ 1е и используя формулу Эйлера, получаем пароиетврические уравненпл крвеоб в плоскости (и): 1г 1~ и = — ( р+ — ) соз$, 2~ р) 1( 1~ 1Е [0,2и]. в = — р — — 81п1, 21 рl (10.20) Эти равенства озыачают, что точка го комплексной плоскости получается из точки г~ двойной симметрией: относительно окружности ф = 1 и относительно действительной оси. Поэтому областями однолистности функции Жуковского, ыапример, являются: единичный круг ф < 1, внешность единичной окружности ~г~ > 1, верхняя полуплоскость 1шк > О, нижняя полуплоскость 1шя < О.
Замечание 10.3. Пусть Р— область, в которую переходит область Р при отображении ю = 1/к. Функция Жуковского /(г) отображает области Р и Р в одыу и ту же область, так как для функции Жуковского верно тождество /(г) = /(1/к). 41 394 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Исключая из этих уравнений параметр 1, приходим к канони- ческому уравнению эллипса 2 2 2 2 а2 б2 (10.21) где 1 1 1 1 ар = — (р+ — ), бр — — — (р — — ). 2 р ' Р 2 р г ср — — ар — бр —— — (р+ — ) — — (р — — ) = 1, т.е.
фокусами эллипса являются точки ю = ~1 независимо от значения параметра р. На окружности ф = 1 (при р = 1) отображение, осуществляемое функцией Жуковского, перестает Рис. 10.32 Из уравнений (10.20) следует, что если точка я обходит окружность |2~ = р в положительном направлении, то точка ш обходит образ окружности (эллипс), причем этот образ при р ) 1 обходится против часовой стрелки, а при р < 1 — по часовой стрелке (рис.
10.32). Замена в уравнениях (10.19) — (10.21) параметра р на 1/р оставляет эллипс неизменным (другими словами, окружности радиусов р и 1/р отображаются в один и тот же эллипс), но направление движения точки по эллипсу, соответствующее положительному обходу окружности, изменится на противоположное. Для половины фокусного расстояния ср эллипса имеем 395 10.5. Фукклик Жуковского Рис. 10.33 Теперь найдем образы лучей агяк = ~р = сопв1 при отображении (10.16). Записывая уравнение луча в виде г = $е'"', 1 > О, получаем комплексное уравнение образа этого луча: ш = = (1екл + е ьу/1)/2. Отсюда, полагая ю = и+ Ы и используя формулу Эйлера, находим 1у 1~ и = — ~1+ — ) сов~р, 1г 1~ о = — (8 — — ) е1п~р, 2~ 1) (10.22) быть взаимно однозначным, а образом этой окружности является отрезок действительной оси?пио = 0 между точками и = = ~1, проходимый дважды в противоположных направлениях.
Этот отрезок можно рассматривать как вырождение эллипса, являющегося образом окружности ф = р при р -+ 1. При возрастании радиуса р окружности начиная с р = 1 и больиьал, и малая полуоси эллипса, заданного уравнениями (10.20), возрастают, стремясь к бесконечности при р-+ оо. Следовательно, образом области ~г~ > 1, заполненной окружностями ~г~ = р > 1, является вся плоскость (ы) с разрезом по отрезку между точками и = ~1 (рис. 10.33), причем при обходе границы этой области в положительном направлении (при движении точки к по окружности ~к~ = 1 по часовой стрелке) положительное направление обхода образа по разрезу сохраняется. Поскольку область |з~ < 1 можно рассматривать как образ области ф > 1 при отображении и = 1/э, то, согласно замечанию 10.3, область )к! < 1 при отображении (10.16) будет иметь такой же образ (см. рис.
10.33). 396 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В случае гр ф кп/2, й е е, исключая параметр 1, приходим к каноническому уравнению гиперболы 2 2 — — — =1, а2, Ь2, (10.23) где а2, = сов2ю, Ь2, = в?п го. Фокусы гиперболы расположены в точках ю = х1, так как с2 = = а2, + Ь2, = 1, а ее асимптоты задаются уравнениями и = ~и 16 ю. Если 0 < го < х/2, то уравнения (10.22) задают правую ветвь гиперболы (10.23), а при замене ~р на и — гр, т.е.
при и/2 «р < < я, — левую ветвь той же гиперболы (рис. 10.34). Отметим, что при замене р на -го образ луча останется тем же, но направление его обхода изменится на противоположное. Рис. 10.34 Из (10.22) следует, что образом луча агяе = 0 является луч [1, +ос) действительной оси ?пгю = О, проходимый дважды в противоположных направлениях, а образом луча агк2 = х/2— мнимая ось ??ею = О.
В первом случае вырождается правая ветвь гиперболы, а во втором обе ветви гиперболы сливаются вместе. В тех точках, где отображение (10.16) конформно, прямой угол между лучом и окружностью в плоскости (е) переходит в прямой угол между зллипсом и гиперболой в плоскости (ю). Пример 10.22. а. ??олуплоскость?гпг ) 0 отображается функцией Жуковского на плоскость (ю) с разрезами по лучам ( — оо, — 1] и [1, +ос) действительной оси ?пгю = 0 (рис. 10.35). 397 10.5.
Фуккцив Жуковского Рис. 10.35 Действительно, для луча агяк = я из уравнений (10.22) получаем 2( 1) 1 0 1 1 ! о=О, т.е. образом отрицательной части действительной оси 1шг = = 0 будет луч и < — 1, проходимый дважды в противоположных направлениях.
Образом положительной части действительной оси 1шз = 0 является луч и > 1. Отметим, что при отображении сохраняется положительное направление обхода области. б. Образом полукруга Р = (к б С: ]к[ < 1, 1шл > 01 при отображении (10.16) будет нижняя полуплоскость 1шю < 0 (рис. 10.36). В самом деле, образами полуинтервзлов [ — 1,0) и (О, 1] действительной оси в плоскости (з) являются лучи (-оо, -1] и [1, +со) действительной оси в плоскости (ш), полуокружность [к[ = 1, 1ш» > 0 переходит в отрезок [ — 1, Ц, а все полуокружности ]к[ = р, 1шк > 0 радиуса р < 1, заполняющие рассматриваемый полукруг, отображаются в полузллипсы, расположенные в нижней полуплоскости.
Область Р1 = = (к Е С: ]к[ > 1, 1шз > О) дополняет полукруг Р до полуплоскости 1шз > 0 с разрезом по полуокружности ф = 1, 1шг > О. Рис. 10.36 398 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Но функция Жуковского отображает взаимно однозначно эту полуокружность на отрезок [ — 1, Ц действительной оси 1шю = = О, а полуплоскость 1шя > 0 — на плоскость (ю) с разрезами по лучам ( — оо, — Ц и [1, +со) этой оси (см. рис.
10.35). Итак, образом объединения областей Р и Р1 будет плоскость (ю) с выброшенной действительной осью 1шю = О. Но так как образом области Р является нижняя полуплоскость 1шю < О, то образом области Р1 будет верхняя полуплоскость 1шю > О. в. Круг ]я[ < 1 с разрезами по отрезкам [ — 1, — а] и [Ь, Ц оси 1шя = 0 (О < а < 1, 0 < Ь < 1) отображается функцией Жуковского на внешность отрезка [ — а, 13] оси 1шю = О, причем о = (а+ 1/а)/2 и 11 = (Ь+ 1/Ь)/2 (рис.
10.37). Действительно, по сравнению с рис. 10.33 разрезы в круге при отображении удлинят разрез по отрезку [ — 1, Ц оси 1шю = 0 слева до точки ю = — (а+ 1/а)/2, а справа до точки ю = (6+ 1/Ь)/2, поскольку при юе = я и юе = 0 из (10.22) имеем и = 0 и соответственно и = — — (1+ — ), и = — (1+ — ), 1 > О. 1 1 1 1 2 1 ' 2 Рис. 10.31 При отображении ю = 1/х круг [г[ < 1 с разрезами по отрезкам [-1,-а] и [Ь, Ц действительной оси (О < а < 1, 0 < Ь < 1) переходит во внешность окружности ]я] = 1 с разрезами по отрезкам [ — 1/а, -Ц и [1, 1/6] действительной оси. Согласно замечанию 10.3, образом внешности окружности ]я] = 1 с разрезами по отрезкам [ — а, — Ц и [1, Ь] оси 1шз = 0 (а, 6 > 1) будет та же внешность отрезка [-о,,9] оси 1шю = О.
399 10.о. Фуккккя Жуковского Пример 10.23. Найдем образ окружности ~к + Н~ = 1+ И, д ) О, при отображении (10.16). Эта окружность имеет общую точку г = 1 с окружностью ф = 1, а остальные ее точки лежат во внешности этой окружности (рис. 10.38). Поэтому искомый образ будет лежать во внешности отрезка [ — 1, Ц действительной оси 1пио = 0 и иметь с ним общую точку ю = 1. Положив в (10 16) к =х+гу и и = и+Ы, запишем 1г, 1 1, х — гу и=и+и= — ~х+гу+ ) = — (х+2у+ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
