X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 50
Текст из файла (страница 50)
10.4 Пример 10.2. Построим линейное отображение, переводящее полукруг Р = (2 Е С: !з — з! < 1/2, Вез > О) в полукруг .Р' = (ю Е С: !ю — 1! < 1, 1тз > 0). Для этого последовательно выполним следующие отображения (рис. 10.4): 1) юз = 2 — з, которое переводит область Р в область Р1 = = (ю1 Е С: !ю1 ! < 1/2, Веюз > О); 2) юз = ез 12ю1 = зю1, переводящее область Р1 в полукруг Рз = (юз Е С: !ю2! < 1/2, 1т юз > 0); 3) юз = 2юз, переводящее полукруг .Рз в полукруг Рз = = (юз ЕС: !юз! < 1, 1пзюз >О); 4) ю = юз+ 1, переводящее полукруг Рз в Р*.
Таким образом, получаем искомое отображение 357 10.1. Линейное огобраиеяие Пример 10.3. Найдем все линейные отображения, переводящие круг )» — »о~ < г в круг )ю — юо! < В. Так как любое линейное отображение есть либо поворот, либо параллельный перенос, либо преобразование подобия, то при отображении круга )» -Щ < г в круг )ю — юо! < В центр первого »о перейдет в центр второго юо, т.е. юо = а»о + Ь. Поэтому линейное отображение можно записать в виде ю — юо = =а(» — »о) Отсюда находим, что )ю — юо( = р)» — »о~, где р=)а~.
При рассматриваемом отображении окружность )» — »о~ = т переходит в окружность )ю — юо~ = Л. Следовательно, В = рг и р = В/г. Итак, все отображения, при которых круг )» — »о~ < г переходит в круг ю — юо~ < В, имеют вид (10.4) ю — юо = — е (» — »о), ее т где сг = агяа можно выбрать произвольно.
Несложно убедиться, что отображение, имеющее указанный вид, действительно переводит круг )» — »о) < т в круг ю — юо) < В. Следовательно, формула (10.4) описывает все искомые отображения. Конкретное отображение определяется значением параметра сг. Пример 10.4. Найдем линейную функцию, отображающую полосу, заключенную между прямыми у = Ьх и у = йх+ 6, 6 > О, на полосу 0 < и < 1 и удовлетворяющую условию ю(0) = О.
Полагая ю = а»+ Ь, из условия ю(0) = 0 находим, что Ь = О. Поворотом вокруг начала координат на угол о = — агс~б6— — к/2 переведем прямую у = Ьх в прямую и = 0 (рис. 10.5). Этот поворот осуществляется линейной функцией ю~ = сея» = = е Д 1»+ею~о")». При этом прямая у = Ьх+ 6 перейдет в прямую и = е(, где г( = 6/Л + Й~ — расстояние между прямыми у = Ьх и у = Ьх+ 6. Теперь, чтобы прямая и = д перешла в прямую и = 1, достаточно применить преобразование подобия с коэффициентом подобия 1/д. В итоге получим юг ж» ~/1+ 6 — з(е/2-~-агсйяй) г1 6 358 10.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Рис. 10.5 10.2. Дробно-линейное отображение Отпображение, которое осуществляется дробно-линейной фунниией и =, а, Ь, с, е( й С, аа — Ьс ~ О, (10.5) аз+ Ь сг+ д а Ь ю = — г+ — = Ае+ В. Ы д Поэтому в этом параграфе предполагаем, что с ф О. Функция (10.5) определена для всех г, кроме точек з = — д/с и г = оо. Определим (10.5) и в этих точках, положив а и и = — при г = оо.
(10.6) с ю=ооприз= —— с Теорема 10.1. Функция (10.5) с дополнением (10.6) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное огпображение называют дробно аинейнььм. Отметим, что в случае ад = Ьс ал+ 6 числитель и знаменатель дроби пропорционапьны, т.е. сг+д отображение (10.5) становится постоянным. Таким образом, условие ай — Ьс ~ 0 исключает вырожденный случай постоянной функции.
Если с = О, то а ф 0 и дробно-линейное отображение (10.5) сводится к линейному отображению: 359 10.2. Дробно-линейное отображение расширенной комплексной плоскости (л) на расширенную ком- плексную плоскость (и). м С дополнительным условием (10.6) функция (10.5) определена всюду в С. Из соотношения (10.5) выразим переменное ьи (10.7) Отсюда и из (10.6) следует, что каждому ш е С отвечает определенное значение г е С, т.е. установлено взаимно однозначное отображение С на С.
Остается доказать непрерывность отображения (10.5). При л ~ — а/с и е ~ оо отображение (10.5) непрерывно как отношение двух непрерывных функций. Из равенств аз+5 ( й 1пп = оо = ш( —— е — > — л7е сл + а ~ с ) аг+Ъ а 1пп = — = ш(оо) ~-+ее сз + е1 с следует непрерывность и в точках я = — Н/с, з = оо. 1е Теорема 10.2.
Дробно-линейное отображение конформно в расширенной комплексной плоскости. аш аа — Ъс Ь (се+ Н)2 при всех конечных л ~ — Н/с. Отображение (10.5) конформно в точке г = — е1/с, так как зта точка является простым полюсом функции (см. табл. 9.1). м Отметим, что функция, определяющая дробно-линейное отображение (10.5), является аналитической всюду в комплексной плоскости, за исключением точки з = — д/с. Конформность отображения будет установлена, если мы докажем, что во всех конечных точках я ~ — Ы/с производная не обращается в нуль. Так как аЫ вЂ” Ъс ~ О, то ЗОО НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Наконец, конформность отображения ю(з) в точке г = со равносильна конформности отображения ю(1/з) в точке з = 0 (см.
9.2). Но если ю(з) имеет вид (10.5), то а +Ь а+ба Ц- +.-с+.з Если с ф О, то имеем йо(1/г) Ь(с+ <(з) — (а+ Ьг)д 6с — аН Ь (с+с1з)2 (с+а)2' Полагая з = О, получаем Йо(1/з) Ьс — ад ь=а Таким образом, при с Ф 0 функция ю(1/з) аналитична в точке з = 0 и имеет в этой точке ненулевую производную. Значит, это отображение конформно в точке з = О, а отображение ю(г) конформно в точке х = со.
Если с = О, то отображение (10.5) представляет собой линейное отображение, являющееся конформным в бесконечно удаленной точке (см. 10.1). Мы заключаем, что дробно- линейное отображение конформно во всей расширенной комплексной плоскости. ~ Теорема 10.3.
Дробно-линейными отображениями являют- — композиция двух любых дробно-линейных отображений; — отображение, обратное к дробно-линейному отображению. < Чтобы доказать эти два утверждения, нужно показать, что соответствующее отображение может быть представлено в виде (10.5). Рассмотрим две дробно-линейные функции а~я+ 6~ с~я+ И~ 361 10.2.
Дробно пннейное отобрнженне где а,4 — Ь;с, ~ О, г = 1, 2. Их композицией является функция оы+6! а2 + 1(~) =Ь(И )) = (а!аз + Ьзс!)я+ (азЬ! + Ьзд!) аз+ 6 (а!сз+ с!д~)з+ (Ь!со+ !1!!(з) ся+е(' где а = а!аз+ Ьзс1, с = а!сз+ с!Ыз, Ь = а26! + 62а1, д = Ь!сз + Адг. Остается проверить условие а!( — Ьс ф О. Имеем аЫ вЂ” Ьс=(а!аз+Ьзс!)(6!с1+11!!12) — (ао6!+62!1!)(а!сз+с!е(о) = = (а!!(! — 6!с!)(азе(з — Ьгсг) Ф О. Для дробно-линейного отображения (10.5) обратное отображение имеет вид ейо — Ь а!то+ Ь! — с!о+а с!и~+А' где а! =!(, Ь! = — 6, с! = — с, е(! =а.
Это представление получается, если в (10.5) выразить переменное я через и. Отсюда следует, что обратыое отображение имеет тот же вид (10.5), что и исходное отображение. Кроме того, а!а! — 6!с! = ад — Ьс ~ О, т.е. обратное отображение является дробью-линейным. ~ Для рассмотрения дальыейших свойств дробно-линейного отображения условимся называть окружностью в С любую окружность комплексной плоскости или любую прямую в С, дополнеыную точкой н = со.
В 1.3 было показано, что при стереографической проекции как окружностям, так и прямым комплексной плоскости на сфере Римана соответствуют окружности. Различие между теми и другими состоит лишь в том, 362 1 О. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ что окружность на сфере Римана, изображающая прямую, проходит через „северный полюс" сферы, а окружность на сфере Рймана, изображающая окружность на комплексной плоскости, через „северный полюс" не проходит.
Эта общность и позволяет ввести термин „окружность в С", относящийся к множествам, которым на сфере Римана соответствуют окружности. Теорема 10.4 (нруеовое свойство дробно ьинейноео отображения). Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любую окружность в С в окружность в С. ~ При с = 0 в (10.5) дробно-линейное отображение становится линейным и утверждение теоремы очевидно, так как такое отображение переводит окружности на комплексной плоскости в окружности, а прямые в прямые (см. 10.1).
Если в (10.5) с ф О, то отображение можно записать в виде а ад — бс В Ю— — А+ с с(сх+ а) г+ В' где а Ьс — ад с( Из этого представления видно, что дробно-линейное отображение является композицией трех отображений: ~~(з) = г+ Р,,6(х) = —, Ях) = А+ Вж 1 Линейные отображения Яз) и уз(г), как уже сказано, обладают круговым свойством. Остается доказать, что круговым свойством обладает и отображение Яз). Заметим, что уравнение любой окружности в С (т.е.
любой окружности в С и любой прямой в С) можно записать в виде Е(х +у )+Р1Х+Ргу+6 =О, (10.8) где возможен случай Е = 0 (это соответствует прямым в С). Переходя к комплексному переменному з = х + 1у и учитывая, 363 10.2. Дробно-линейное отображение что х = (г + л)/2, у = (» — х) /(21), из (10.8) получаем комплексное уравнение окружности в С Ехх+ Рг+ Рх+ С = О, (10.9) в котором Р = (Р~ — гРз)/2. Чтобы получить уравнение образа окружности в С при отображении /з(г), достаточно в (10.9) подставить х = 1/ис ŠРР— + — + — +6=0, Ю или Снйо+ Рш + Рш + Е = О. Мы пришли к уравнению того же вида, что и уравнение (10.9).
Следовательно, образ окружности в С при отображении и = 1/л есть окружность в С. Доказательство теоремы завершает очевидное соображение: если два отображения обладают круговым свойством, то и их композиция обладает круговым свойством. Мы представили произвольное дробно-линейное отображение в виде композиции трех отображений, два из которых являются линейными, а третье есть отображение ео = 1/ж Каждое из зтих трех отображений обладает круговым свойством. Значит, и их композиция обладает круговым свойством.
Ь ал+ 6 Замечание 10.1. Дробно-линеиное отображение ш =— ел+ а преобразует окружность С в прямую, если С проходит через а' точку х = --,которая переходит в бесконечно удаленную точб ку. Если окружность С не проходит через точку х = — —, то с' при указанном дробно-линейном отображении С перейдет в окружность. Аналогичным образом преобразуются и прямые: прямая Х при отображении ш = переходит в прямую, если ал+ Ь сл+ а' Ь проходит через точку х = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
