X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле (ф(я) < 1 всюду в Р. В частности, 1/'(0) ! = )ф(0) ) < 1 и )/(а)( = (л)(4>(я)) < )г! в Р. Если //'(0)/ = 1, то функция /ф(г)! достигает максимума в точке и = О, равного единице. Аналогично равенство !/(го)! = = )ге! означает, что ф(э)! достигает максимума в точке ло, равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция ф(г) является постоянной, причем ~ф(г)~ = 1. Следовательно ф(л) = е' и /(э) = гф(а) = ге', где слЕВ. в. Замечание 9.4. Утверждение теоремы 9.9, справедливо и для неограниченной области Р, являющейся виешностиью некоторого простого эамкнутоео контпдра Ь, если дополнительно потребовать, чтобы функция была ограниченной в Р.
Действительно, выберем внутри контура Ь точку ло. Отображение и = 1/(л — гс) конформно отображает область Р в некоторую ограниченную область Р', границей которой является контур Ь' — образ контура Ь при указанном отображении. Если функция /(г) аналитична и ограничена в Р, непрерывна в Р, то функция д(ш) = /(но+ 1/ю) аналитична и ограничена всюду в Р*, за исключением точки ш = О. Но эта точка является устранимой особой точкой д(ш), так что можно считать, что 344 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ функция аналитична и в этой точке.
Согласно теореме 9.9, д(ю) достигает максимума модуля на границе области Р*. Но то- 1 гда и функция у(х) = д( ~) достигает максимума модуля на ~л — ~ог границе области Р. Для еармонических функций справедлив следующий принцип максимума.
Теорема 9.12. Пусть функция и(х,д) гармоническая в ограниченной области .Р и непрерывная в замыкании этой области. Если и(х,у) непостоянна в Р, то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.
< Достаточно доказать теорему для наибольшего значения, так как наименьшее значение гармонической в Р функции и(х, у) является наибольшим значением функции — и(х, д), также гармонической в Р. Отметим, что функция и(х,д), будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве Р, достигает на этом множестве максимального значения, и нам нужно лишь показать, что функция не может принимать максимального значения в точках области Р. Предположим противное, т.е.
пусть наибольшего значения гармоническая функция и(х, у) достигает во внутренней точке ге =хе+где области Р. Рассмотрим некоторую окрестность У: (х — ге( ( т точки хо, целиком лежащую в Р. В окрестности У существует такая аналитическая функция Т(г), что Неу(х) = = и(х,у) (см. 4.9). Функция д(я) = е1(') является аналитической в У как суперпозиция аналитических функций.
Так как по предположению модуль |д(я) ~ = е"(*"> этой функции достигает максимального значения в точке яе б У, то, согласно принципу максимума модуля, д(г) = сопв$ в У. Отсюда имеем ~д(г)~ = = е"~*'") = сопв1 и и(х,у) = сопв1 в У. Пусть С = Т'(хе). Рассмотрим множество Ас таких точек х* области Р, для которых Т'(х) = С в некоторой окрестности точки г*. Тогда множество Ас не пусто, так как содержит 345 9.6.Принцип симметрии точку гв локального максимума функции и(х,у).
Множество Ас является открытым, так как вместе с каждой своей точкой г содержит и некоторую ее окрестность. В то же время множество Ас является замкнутым в Р, так как в любой точке г Е Р, являющейся предельной точкой Ас, функция и(х,у) достигает максимума, а потому постоянна в некоторой окрестности г и равна С. Таким образом, непустое множество Ас является одновременно и открытым и замкнутым в Р. Согласно теореме 1.1, Ас = .Р, т.е. и(х,у) = С всюду в Р. ~ Замечание 9.5.
Рассуждая так же, как и в замечании 9.4, можно доказать следующее утверждение. Пусть функция и(я, у) является гармонической и ограниченной в неограниченной области Р— внешности простого замкнутого контура Ь. Пусть также и(х,у) непрерывна в Р = Р 0 Ь. Тогда эта функция достигает наибольшего и наименьшего значений на контуре А, ограничивающем область Р.
9.6. Принцип симметрии Теорема 9.13 (принцип непрерывностпи). Пусть две односвлзные области Р1 и Рг в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в виде простой кусочно гладкой дуги 7 (рис. 9.3). Если Функция ~1(г) аналитична в области Р1 и непрерывна на множестве Р1 07, а функция ~г(г) аналитична в Рз и непрерывна на множестве Рг 07, пРичем Яг) = Яг) пРи г Е 7, то фУнкциЯ (9.7) аналитична в области Р = Р1 0 у 0 Рг. ч Доказательство опирается на теорему Мореры. Из условий теоремы следует, что функция у(г) непрерывна в области Р. 9.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ Убедимся, что интеграл от функции У(г) по любому просупому за.;.-222, Е мкнуупому контуру 1., лежащему в Р, равен нулю. Если 2 лежит в Ру у.- . или в Р2, то равенство нулю пн".и, .у,, теграла следует из теоремы Коши длл односелзной обласупи. О Пусть контур Р пересекает ду- гу у, располагаясь частично в облаРис. 9.3 сти Ры частично в области Р2. Д ство проведем лишь для простейш р ейшего ва нанта рас- оказатель положения контура Ь, когда он пересекает дугу 7, в точках А и В, а дуга уу С у, заключенная между этими точками делит область, ограниченную Ь, на две части: РУу и РУ ! бласти Р' состоит из участка .у и ' С Р дуги у' а граница области Рз~ — из частка 7' с В и той же дуги уУ, причем уу 0 у~ — — 1.
Функция у". (г) является аналитической в областях на их замьуканилх Р' Р'. Поэтому учитывая замечание 5.1, а \ также свойства аддитивности и ориентированности интеграла .1 пол чаем от функции ф комплексного переменного (см. 5. ), у ф у(г)уЬ = у'(г)уЬ+ у(г)уЬ = О, Ау'В Ву(А 1 П )д = У()2(+ У(ФЬ= уР 2 А у' В 2 В у'А .у (г) уЬ вЂ” У(г) 2Ь = О. А у' В А у'В 72 Складывая почленно эти равенства, получаем Г у(г) 2Ь+ у(г) с(г = у(г) сЬ = О. В у' А Ау'В 347 9.6.
Принцип симметрии Функцию Дя), определенную соотношением (9.7), можно рассматривать как аналитпииеское продолжение в область Р каждой из функций Яг) и Яя) из областей Рг или Рг соответственно. Поэтому принцип непрерывности можно сформулировать так: если дуга у является общим участком границы непересекающихся областей Р~ и Рг, а функции ~~(я) и 1г(з) являются аналитическими в Рг и .Рг соответственно, непрерывными и равными на дуге у, то эти функции будут аналипгическилеи продолжениями друг друга. Отметим, что принцип непрерывности нельзя перенести на дифференцируемые функции действительного переменного. Например, интервалы (О, 1) и ( — 1, О), являющиеся областями на действительной оси, имеют общую граничную точку хо = О, а фУнкции ~г(х) = х и 1г(х) = — х диффеРенциРУемы в Рг и Рг соответственно, но ~(х) = ~х~ не является дифференцируемой функцией в объединенном интервале ( — 1, 1), поскольку эта функция не дифференцируема в точке хо е Р.
Теорема 9.14 (принцип сильметприп). Пусть Рг — односвязная область, лежащая в верхней полуплоскости 1шз ) О, граница Гг которой содержит интервал 7 действительной оси 1тя = О, а Рг — область, симметричная Рг относительно этой оси (рис. 9.4). Если функция ~г(з) непрерывна в области Рг и на ее границе, является аналитической в Рг и принимает действительные значения при я Е 7, то эту функцию можно аналитически продолжить в область Р = Рг 0 у 0 Рг по формуле (9.8) ч Рассмотрим в области Рг функцию гг(з) = ~~(з). Эта функция корректно определена, так как для любой точки з Е Рг точка з принадлежит области Рь Докажем, что 5(з) является аналитической в Рг.
Рассмотрим произвольную точку го е Рг и некоторую ее окрестность У: ~з — яо~ ( г, целиком попадающую 348 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ и:=д») Рис. 9.4 в Рз. Тогда окрестность Г: )« — ф < г целиком попадает в Р1 и в ней в силу аналитичности функцию ~1 (») можно разложить в ряд Тейлора: У1(») = ~~ сд(« — «а), «Е У'. Пусть» Е У. Тогда «Е У~, и мы имеем Л(Е) =~~~ с (Š— «о) =~~~,с (» — »а)" Следовательно, Ь(») = Ь(«) = ~с„(» — «о)", » Е У, т.е.
в окрестности точки «е Е У функция ~г(«) представима степенным рядом, а потому аналитична. Так как «а Е Р«можно выбрать произвольно, то 5(») аналитична всюду в Рз. Функция ~(»), определяемая соотношением (9.8), непрерывна в областях Р1 и Р«, так как в этих областях аналитичны (а потому и непрерывны) функции у1(») и Я«). Покажем, что функция ~(») непрерывна и в точках интервала у. Возьмем произвольную точку хе Е у (см. рис.
9.4). В силу непрерывности функции Я») в точке ха для любого е > О можно выбрать такое а = а(с) > О, что для точек «е Р1 0 у, удовлетворяющих неравенству )» — ха~ < Б, верно неравенство Т1(») — Яха)) < е. 349 9.6. Принцип симметрии Отметим, что по условию теоремы значение ~1(хо) является действительным. Для произвольной точки е е Р, для которой !е — хо! < Б, имеем либо е 6 Р1 0 у, либо е б Р2. В первом случае в силу выбора д верно соотношение !1(е) — Дхо)! < е, так как тогда у(е) = Яе) и ~(хо) = 11(хО).
Во втором случае получаем !2 (е) — 2 (ХО)! = !22(з) — 21(ХО)! = так как точка е попадает в область Р1 и для нее !е — хе! = = !е — хо! < Б. Итак, для любого е > О существует такое Б = = б(е) > О, что при х Е Р и !г — хо! < д верно неравенство !У(е) — У(хО) ! < е. это означает, что функция Де) непрерывна в точке хо, а в силу произвольности выбора хе Е 7 она непрерывна на всем интервале у.
Применяя принцип непрерывности (см. теорему 9.13), заключаем, что функция ~(е) является аналитической в области Р, т.е. является, согласно определению 4.5, аналитнинееким продолжением функции ~1(г) из области Р1 в область Р. ~ Принцип симметрии в ряде случаев позволяет упростить построение конформных отображений областей, симметричных относительно действительной оси. Использование этого принципа основано на следующем рассуждении. Пусть функция ~1(е) конформно отображает односвязную область Р1 на область Р~ в верхней полуплоскости 1ш2о > О, причем граница Р1 содержит интервал 7 действительной оси, который при отображении переходит в интервал у* действительной оси 1т и = О (см.
рис. 9.4). Тогда функция ~(е) вида (9.8) конформно отображает область Р = Р1 0 7 0 Р2 на область Р* = Р1 0 у* 0 Р2, где Р2 — область, симметричная Р, относительно действительной оси 1ше = О, а Р2 — область, симметричная Р,* относительно действительной оси 1пио = О. В силу сказанного для построения конформного отображения области Р на область Р* достаточно построить конформное отображение области .Р1 („половинки" Р) на область Р,* („половинки" Р'), которое переводит 350 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ интервал 7 в интервал у*. А построение конформного отображения лишь части области может оказаться более простой задачей. Принцип симметрии распространяется на более общий случай областей, симметричных относительно произвольной прямой. Сформулируем это без доказательства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
