X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пример 8.19. а. Вычислим интеграл г(х (х2+2 +2)' 1. Интеграл от рациональной функции, представимой несократимой рагГиокааьвоб дробью Г"(х) = Р,„(х)Я„(х), где Р,„(х) и Я„(х) — многочлеыы степеней т и и соответственно. Если функция,г(х) непрерывна на всей действительной оси, т.е.
знаменатель Ч„(х) не имеет нулей на действительной оси, и и >т+2, то д.В.В Вычисление ннтегрвлов от действительных Функций 317 Особые точки функции Дг) = 1/(из + 2я+ 2)~ являются нулями многочлена гз + 2г + 2 = (г + 1)~ + 1 = (я + 1 — 4) (г + 1+ г), т е. это точки гг = — 1+ г и я2 = — 1 — г. Эти точки, являясь нулями знаменателя кратности 2, будут полюсами второго порядка функции /(я). В верхнюю полуплоскость 1шя > О попадает лишь один полюс зг = — 1+ 4. Поэтому, используя (8.43) и (8.11), получаем -~-оо дх 1 = 2иг' Вея (х'+2х+2)' .=-444 (я'+2з+2)' г1 1 — 2 — 4иг' я = 24г1 1пп —, = 24г1 1пп т — ~ — гег гЬ (я+1+1)з о-+ — г+г (я+1+1)з (21)з 2 б.
ДЛя ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНтЕГраЛа От фуНКцИИ (Хт + 1)/(Х4 + 1) по неограниченному промежутку [О, +оо) в силу ее четности запишем Π— оо Особыми точками функции Дя) = (гз + 1)/(з4 + 1) в С будут нули многочлена ил+ 1. Из них в верхнюю полуплоскость 1ш я > > О попадают лишь две точки хг = (1+ г) /~/2 и тз = ( — 1+ г) /~/2, являющиеся простыми полюсами функции. Учитывая (8.43) и (8.9), находим +со з+1 г+1 г+1 41х = 2иг'~Кея — + Кея х4л 1 [о х' «4л 1 л и т4 т 1) = -<".."~.—., "-".—.,) = 1+г 1 — г = 2иг + — и~Г2. 41(1+ 4)/~Г2 — 41( — 1+ г)/~/2/ В итоге искомый интеграл равен и/~/2.
318 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ 2. Для вычисления интегралов вида В(х) созЛхс~х, В(х) зшЛхдх, Л > О, (8.44) где В(х) — нраеильнал рациональнал дробь, рассмотрим функцию 1(г) = В(х)е'"', имеющую конечное число изолированных особых точек — полюсов, которыми являются нули знаменателя рациональной дроби. Нетрудно увидеть, что, согласно формуле (3 20) Эйлера, йе г" (х) = В(х) соз Лх и 1ш г'(х) = В(х) зш Лх.
Если степень числителя рациональной функции В(з) меньше степени ее знаменателя, то В(х) — ь 0 при х — ь оо, или, подругому, 1пп шах(В(х)( = О. Р— ~сс~ ф — о Отсюда вытекает условие (8.39) леммы Жордана. Если В(х) не имеет особых точек на действительной оси, то, согласно лемме Жордана, | В(х)е'"'ах — ~0 при р-+ос, чр а формула (8.38) принимает вид В(х) е™ дх = 2яг' ) Вез В(х) е'~', (8.45) ~ г л х ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ а н г л 2 ! где вычеты берутся по всем полюсам в верхней полуплоскости 1шх ) О.
Для вычисления интегралов вида (8.44) в равенстве (8.45) следует выделить действительную и мнимую части: В(х) сов Лхдх = Не(2ггг~~~ Вез В(з) еы') = и = — 2я1ш(~~> КезВ(г)ем~), (8.46) а д.В.В Вычисление интетриюв от действителъных фунхний 319 В(х) з1пХхг1х = 1ш(2нг у Вез й(«) е™) = ~ ~ ~ 2 ~~ а и и и ~ ~ ~ л = 2хВе( ) Вез В(«) ег~в). (8.47) Пример 8.20. Вычислим интеграл х япхгЬ хз + 4х+ 20 Особыми точками функции Д«) = «е" /(«~ + 4«+ 20) являются нули многочлена «~+ 4«+ 20, т.е. точки «1 = — 2+41 и «з = = — 2 — 41.
Обе точки являются простыми полюсами функции, первая «г попадает в верхнюю полуплоскость 1ш «) О, а вторая «г — в нижнюю. Чтобы применить (8.47), вычислим вычет в точке «и используя формулу (8.9): «е" «е" =-г+4 ««+4«+20 2«+4, 4,. Вез,|(~) = Вез ( — 2+41)е'( '+я1 2+1 -4-з е 2(-2+ 41) + 4 4 Затем выделим, используя формулу Эйлера, действительную часть зтого вычета: г2+1 4, ~ 2соз2+яп2 4 Ве Вез Д«) = Ве~ — е 4(соз2 — 1з1п2)) = е — 4 ) 4 В итоге получим +се 2 х зшхг1х 2соз2+ яп 4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ е и = 2н Ве Вез Д«) = и х«+ 4х+ 20 Техника вычисления интегралов вида (8.44) может использоваться и в некоторых других случаях.
320 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Пример 8.21. Вычислим интеграл Дирихле -~-ао 0 Ф нкция е" /г имеет особую точку г = О. Выберем замкнутыи контур Х интегрирования, изображенный на рис... нутри и . 8.10. Вн т и этого контура нет особых точек, так что у р в сил тео емм Коши длл односвлзноб области имеем е" — сЬ =О. Рис. 8.10 Согласно свойству аддитивности интеграла 1с ..
), у м. 5.1) пол чаем — г Р с егл — Р 7 Т Заменой переменного интегрирования устанавливаем, что — т с г е — 1 — се т Г и — — =/: — 1т Поэтому, учитывая (3.23), получаем с Р евх с еЫ ге'* — е '* . Г81пх — дх+ / — сЬ = / дх = 21 / — дх.
/ х л — Р т Д.В.1. Вычисление интегралов ат действительных фу аий нн " 321 Используя это равенство в (8.48) и переходя к пределу при т -№ 0 и р-+ +со, запишем + со Еаа Г Е№а 1 — 4Ь+ 1пп — сЬ вЂ” 0 (8 49) ь — *~ 1~ / 0 7№ '1 К первому пределу можно применить лемму Жордана, так как подынтегральная функция контурного интеграла имеет вид В(г) е", где у рациональной функции В(х) = 1/я степень 1. Поэтому этот числителя 0 меньше степени знаменателя предел равен нулю. Для точек дуги .у„с учетом формулы (3. ) р 3.20) Эйле а имеем а = ге'Г = г(соя ~р+1 01п1р), причем 1р при движении по этой дуге по часовой стрелке изменяется от я до О. Поэтому Е Фс№Ю+1№1вм) о т ~0( я т ~0.1 ГЕ1№ 7 и л — ~шпе е — ") и =-| г-+О 0 о Законность перехода к пределу по параметру т под знаком определенного интеграла, зависящего от этого параметра, следует из непрерывности подынтегрзльной функции по совокупности двух переменных [1Г1].
Подставляя этот результат в (8.49), получаем 21 / — 41х — я№ =О. Г ОШХ ./ х о Итак, 11 — 2054 322 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Эффективность использования вычетов для вычисления несобственных интегралов часто зависит от удачного выбора контура Ь интегрирования, позволяющего затем достаточно просто найти пределы по отдельным дугам, составляющим этот контур. Вопросы и задачи 8.1. Найдите вычеты в изолированных особых точках функ- 1 ез 1 1, 1 ций: а) —.; 6); в) созз — 81пз; г) е'соз —; д) — з)и —. з)пя' я2+1' з 1 — я 3 8.2.
Вычислите 1 1 1 1 8.3. Пусть функции Дз) и ~р(2) являются аналитическими в точке г = а, причем Да) ~0 и ~р(г) имеет в этой точке нуль кратности 2. Чему равен Вез — ? П~) я=а у(г) 8.4. Пусть функция )".(з) является аналитической во всех точках комплексной плоскости С за исключением конечного числа изолированных особых точек. Докажите, что для четной функции у(г) верны равенства Вез,1(я) — ВезУ(г) =О, Вез1(г) = — Вез У(2), ге бС, а для нечетной функции ~(я) — равенство Везшая) = Вез У(г), зе еС. 8.5. Пусть функция ~(2) в бесконечно удаленной точке имеет полюс порядка т. Докажите, что ( 1)мп Вез у(г) = 1пп (2'в+~~~ +')(г)).
я=со (т + 1)! -+оо 323 Вопросы и задачи 8.6. Вычислите контурные интегралы 1 »(»2+4)' ~~ ~ Р ф=1/2 2 (г — О=З )г)=1/2 е' — 1,4 сЬЗ» — соз44» ~ соз» вЂ” 1 )»3 — $»2»' Д) Уу»281пб» ' У' 41»' Е) !4=1 ~з~=з ~ е11'+1 .Х»з — З»з+5 ~ сЬ4» — 8»2 — 1 4 ' ) ~' »4 з1п(8»/3) ~ ~=1!г И=1 е .Г ез' — 1 — япЗ» Д ЗЬ2» — » )з(=2 )з)=0,3 ф=з 8.Т. Вычислите при помощи вычетов интегралы: + со +00 гЬ )г х з1пх 41х (хз+ 4х+ 13)2' ./ хз — 2х+ 10' — ОО -00 +со +00 (хз+5х)з1пхдх ( соз5хйх .4+1Ох +О ' ) / (.
+1)2(. +4)' — со — со 00 2гг | Г»О. ) ! х2-~1 ' ),( (р~-дсозх)зг 1 О О 2гг 2з (Л+созх)2 / 5 — 4зшх О О 11х / (Х24 1)зг О О х зшхс(х хз+25 ' О 2п дх .г' 5+4зшх' О 11 ° 8.8. Найдите логарифмические вычеты следующих Функции относительно указанных контуров: з а) —, ф= 2; б) соз»+зш», (») =4; в) 18», )»( =б. 1+зг» 324 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ 8.9.
Установите число нулей многочленов Р~(з), лежащих в правой полуплоскости: а) 2з4 — Ззз+ Ззз — з+ 1; б) зя — 5зз+ 3; в) з4+зз+4зз+2з+3; г) з4+бзз 4 8.10. Установите число корней следующих уравнений в указанных областях: а) гз — 2зз+ зз — 8з — 2 = О, |4 < 1; б) з~ — 5г~+ з~ — 2, ф < 1; в) з~ — бз+1 = О, 1 < ф < 2; г) з~ — 8г+10 = О, 1 < )г) < 3.
8.11. Докажите, что если функция ~(з) в замкнутой области (г( < 1 аналитична и удовлетворяет неравенству )~(з)) < 1, то уравнение Т'(з) = з в круге Р: ~з~ < 1 имеет единственный корень, т.е. отображение Т': Р -+ Р имеет единственную неподвижную точку. 8.12. Выясните число корней в каждом квадранте комплексной плоскости у следующих уравнений: а) 4+2зз+Ззз+з+2=0; б) 2 4 3 3+3 2 +1 О. в) з4+зз+4зз+Зз+3 О 9. ГЕОМЕТРИ'ЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 9.1. Взаимно однозначные отображения Любая функция иь = у(я) комплексного переменного я представляет собой отображение комплексной плоскости (я) (или некоторого множества этой плоскости) в комплексную плоскость (иь).
Как правило, представляют интерес непрерывные отображения. Поэтому далее будем считать, что функция у (я) непрерывна на рассматриваемом подмножестве плоскости (г). При этом допускаем, что функция у (я) может принимать значение иь = оо. Напомним, что прообразом открытого множества при непрерывном отображении является открытое множество [1-5.7], тогда как образ открытого множества может и не быть открытым.
Среди непрерывных отображений наиболее важны иньективньье отображения Такие отображения иначе называют однолисгпными функциями комплексноео переменноео (однолистными отображениями). Для однолистной функции 1(я) верно соотношение 1(гь) ~,ь (яз) при яь Ф яз. Отметим два очевидных признака однолистности функции. 1. Однолистность функции у(г) в области Е с С равносильна существованию на множестве Е' = ~(Е) функции ~р(иь), обратной к у (г), т.е. такой, что у(~(я)) = г, я е Е, и ь" (ьр(иь)) = иь, ю Е Е'.
(9.1) 2. Если функция у(я) однолистна на множестве Е, а функция г'(иь) однолистна на множестве у(Е), то функция Е(,ь'(я)) однолистна на множестве Е. 326 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ Первый из этих признаков было бы неплохо дополнить легко проверяемыми условиями существования обратной функции, а для эффективного применения второго признака необходимо знать области однолистности элементарных функций. 1 1 г( ) г(~( ))' (9.2) < Так как функпия У(г) аналитична в точке лю и 1'(зю) ~ О, то существует окрестность точки гю, в которой функция 1(х) — юю не имеет нулей, кроме точки яю (см. теорему 4.3). В этой окрестности функция Дг) принимает значение юю только в точке гю.
В указанной окрестности выберем замкнутый круг К = (лб С: (л — г~~~ < г) с границей 7 = (х ЕС: (г — зю) =г). Замкнутый круг К выберем настолько малого радиуса, что ~'(г) ф О в К (это возможно, так как ~'(гю) ф О и ~'(з) непрерывна в точке гю). Функция ~Дз) — юю~ в силу своей непрерывности достигает на окружности у наименьшего значения (см. 3.2) (9.3) р = 1п1~У(л) -юю~. лез Поскольку функция ~У(г) — юю~ не обращается на 7 в нуль, то р>О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
