X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 40
Текст из файла (страница 40)
... +с 1(з-а) +~~> с„(г-а) +". Полученное равенство представляет собой лораноесное разложение фунниии 1(з)(я — а)™ е окрестности точки г = а, в котором отсутствуют отрицательные степени г — а. Стало быть, точка а является устранимой особой точкой функции Дя)(я — а), а лорановское разложение этой функции мож- 287 8.2. Вычвслевве вычета в полюсе но рассматривать как ряд Тейлора функции ~р(г), полученной доопределением функции Дг)(в — а)~ в точке а ее пределом. Коэффициент с 1 лорановского разложения функции 7" (в) является коэффициентом Тейлора функции ~р(в) при (в — а)"' 1, и его можно найти стандартным образом через производную функции (т — 1)-го порядка: у!~' П(а) (т — 1)! Таким образом, Вев )'(в) = Нее = .
(8.10) *=а =а (в — а)"' (т — 1) ! Учитывая вид функции у(в) и непрерывность всех ее производ- ных, можем записать 1 . а с 1 =, 1пп (Дв)(г — а)'"). Следовательно, в силу теоремы 8.2 вычет функции Дв) в полюсе т-го порядка равен 1 . с!'" ' Вяв7" (в) =, 1пп (7'(г)(в — а)'"). (8.11) При т = 1 с учетом соглашения О! = 1, а также соглашения о том, что производная нулевого порядка — это сама функция, формула (8.11) совпадает с (8.5). Пример 8.4. Функция имеет простой полюс в точке в = 1 и полюс второго порядка в точке в = О. Используя (8.5), в точке в = 1 получаем в+1 Вези"(з) = 1пп Дг)(в — 1) = 1пп 2 = 2, 288 8.
ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ а в точке г = О, полагая <р(я) = (г+ 1)/(я — 1) в (8.10), находим Для вычисления вычета функции /(г) в суи4ественно особой точке г = а нет формулы, аналогичной (8.11). В таком случае стараются непосредственно найти тем или иным способом коэффициент с 1 лорановского разложения функции в окрестности этой точки. Пример 8.5. Для функции в!п(1/з) 1 — 2 точка я = 0 является существенно особой, так как эта функция не имеет предела при з -+ 0 (см.
определение 7.4). Действительно, 1/(1 — з) -+ 1 при я -+ О, а у функции в!п(1/з) не существует ни конечного, ни бесконечного предела при з -+ О. Используя стандартные разложения (6.20) и (6.23) для синуса и дроби 1/(1 — з), в области 0 < ф < 1 получаем в1п(1/3) 1 1 1 2 3 4 = -- — + — —...)(1+.+, +. +, +...).
— ЗЬз 5'зв "') =( . . -) Отсюда находим коэффициент при з ~: 1 1 1 с 4=1 — — + — — — +...=в!п1. 3! 5! 7! Стало быть, в силу теоремы 8.2 Кев/(з) = в!п1. я=в 8.3. Вычет в бесконечно удаленной точке Пусть функция /(з) является аналитической в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки г = оо, т.е. в области Ц ) В для некоторого числа В > О. Тогда з = оо будет для /(з) изолированной особой точкой. 8.3. Вычет и бесконечно удаленной точке 289 Определение 8.2, Вычетом Кея,1(н) функч4нн Дя) е бесконечно удаленной точке г = оо, являющейся изолированной особой точкой 1(э), называют значение интеграла 1 Г Вея 1(е) = —, ~ 1(я)ан, 2яг' 7 ь (8.12) вычисляемого по простому кусочно гладкому контуру Ь, кото- рый вместе со своей внешностью расположен в области анали- тичности функции и проходится по часовой стрелке.
Отметим, что, как и в случае конечной точки, значение контурного интеграла не зависит от выбора простого контура 7, охватывающего точку я = оо. В качестве такого контура чаще всего берут окружность ~н~ = р, имеющую радиус р > Н, проходимую по часовой стрелке. Пример 8.6. Вычислим вычет функции е'/(н — 1)~ в точке г = оо.
Выбирая окружность 1 радиуса р > 1, применим формулу (5.36) при и = 1. В результате, учитывая изменение знака при изменении ориентации контура интегрирования, получаем е' 1,~ е' (я — 1)э 2я1,1 (я — 1)э В.ея = —, 4Ь = — (е') ~ = — е. ъ Теорема 8.3. Вычет функции у (н) в бесконечно удаленной точке равен коэффициенту с 1 лорановского разложения функции в окрестности этой точки при н 1, взятому с обратным знаком: (8.13) ВеяДя) = — с 1.
к=со 1 Г с 1= —, 1)~~ ~(я)~Ь. 2яг,1( ь 10 — 2054 ч Вне окружности достаточно большого радиуса В функцию ,1 (г) можно представить лорановским разложением (7.29). Со- гласно формуле (6.32) для коэффициентов ряда Лорана, нахо- дим 290 8.
ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Из этого равенства и равенства (8.12), изменяя ориентацию контура интегрирования, получаем (8.13). ~ Заметим, что в случае, когда з = оо — устранимаа особзл точка функции Дг), вычет в этой точке может быть отличен от нуля. Этим бесконечно удаленная точка отличается от конечных особых точек функции.
Пример 8.7. Для функции е1~«точка г = оо является устранимой особой точкой, так как е1/* -+ 1 при в -+ оо. Тем не менее вычет функции в точке л = оо отличен от нуля. Действительно, используя стандартное разложение (6.18) для экспоненциальной функции, получаем при Ц > О 1 1 1 е ««=1+ — + — +...+ +.. 1! г 2! лз и!«" Отсюда, согласно (8.13), заключаем, что Веве1~« = -с 1 = =-1. Ф Пусть точка з = оо является нулем функции ((в) кратности т. Тогда в окрестности « = оо функцию можно представить, согласно (7.9), в сведующем виде: ~(«) = — ™+ +..., с ~«фО, (8.14) т.е.
для А = с „, справедлива асимптотическзл формула А у(в) —, А ~ О. ««, зт' Если т = 1, то А =с 1~ 0 и в силу теоремы 8.3 вычет функции в точке з = оо равен — А, т.е. Дл) ° — =~ Вяв ~(з) = -А = — 1пп гУ(г). (8.15) А «-+ 00 «=О« «-Ф«О Если же «и > 2, то в представлении (8.14) коэффициент с 1 отсутствует, т.е. с 1 = О. Поэтому, согласно теореме 8.3, А У(г) —, т > 2, =~ Вев,)'(з) = О.
(8.16) 8.3. Вычет в бесконечно удвоенной точке 291 Пример 8.8. а. Для функции сов(11'х) .~(х) = х — 1 точка х = оо — простой нуль, так как 1(х) 1/х при х -1 со. Поэтому, согласно (8.15), Кев у(х) = -1. б. Для функции впг(1/х) д()= х — 1 точка х = оо будет нулем кратности 2, поскольку д(х) 1/х~ при х -+ со. Следовательно, Кевд(х) = О. Теорема 8.4 (гпеорема о сумме вычегнов). Пусть функция 1(х) является аналитической во всей комплексной плоскости (х) за исключением конечного числа изолированных особых точек а„, и = 1, гг.
Тогда сумма всех вычетов этой функции, включая вычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю: Кев У(х) + Кев г'(х) = О. и=1 (8.17) м Пусть Ь вЂ” окружность ~х~ = К, ориентированная против часовой стрелки, причем В выбрано так, что все точки а„, и = = 1, гг, лежат внутри Х. По теореме Коши о вычетах ф у(х) гЬ = 2яг'~~1 Кев 7" (х). Ь н=1 ~(х) Их = — 21г1 Кыев ~(х). ~~ ~ к ы ь Из двух этих равенств вытекает утверждение теоремы. ~ 1О. В то же время, согласно определению 8.2 и с учетом ориентации контура интегрирования, 292 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Пример 8.9.
Найдем все особые точки функции /(л), выясним их тип (включая точку л = оо) и вычислим в них вычеты для функций: а) ег~г/(л — 1)~; б) я1п(1/лз) + е' совл; в) е' 1~'. а. Особыми точками функции /(л) = е1~'/(л — 1)~ являются: л1 = Π— существенно особая точка, так как не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции е~~' при л — г О (см.
пример 7.2), а (л — 1)~ -+ 1 при л -+ О; лз = 1 — полюс второго порядка, поскольку /(л) (л — 1)~ -+ е при л — + 1 и е ф О; лз = оо — нуль кратности 2, так как /(з) 1/л~ при л -+ оо. Из соображений удобства вычисление вычетов функции /(з) в этих точках начнем с последней. Согласно (8.16), сразу получаем Вез/(л) = О. Далее, используя формулу (8.11) при т = 2, находим Нез/(л) = 1пп — (е~~г) = 11пге~~г~ — — ) = — е. =1 (2 — 1)! ° 1~Ь ° 1 1 л') Наконец, по теореме 8.4 о сумме вычетов определяем вычет в особой точке л = О: Нее/(л) = — Нев /(л) — Нее/(л) = е.
Обратим внимание на то, что в данном случае удалось избежать непосредственного вычисления вычета функции /(л) в существенно особой точке лг = О. б. Особыми точками функции /(л) = 81п(1/л~) + е' сов л являются з1 = О и лг = оо. Точка лг = Π— существенно особая точка функции, так как е' соя л — ~ 1 при л -+ О, а я1п(1/л~) не имеет предела при л -+ О ни конечного, ни бесконечного.
Точка лз = оо также является существенно особой, поскольку е1п(1/л~) -+ О гг при л -+ оо, а функция Ь(л) = е' совл не имеет предела при л -+ оо. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть 293 аЗ. Вычет в бесконечно удаленной точке две последовательности г„' = и/2 + гггг и г" = 2нп, сходящиеся к бесконечно удаленной точке. Для первой из них Цн„') = О, И Е М, В тО ВрЕМя КаК дЛя ВтОрОй — Ь(гн) = Е4 " — ~ СО Прн гг-+ оо. Для вычисления вычета функции 1(в) в указанных точках представим функцию в области ~н~ > О, используя стандартные разложения (6.18) — (6.20), в следующем виде: 1 ке 1 1 1 сйп — +е' совн = — — — + —" + н2 н2 3! яб 5! в10 2 4 2 4 ( 1' 2' ) ( 2' 4' ) После перемножения рядов в правой части этого представления получаем лорановское разложение функции г(н) как в окрестности точки нг = О, так и в окрестности бесконечно удаленной точки «2 = со.
Очевидно, что полученное разложение не будет содержать слагаемое с н г, т.е. с г = О. Следовательно, Вену (г) = Нее г'(н) = О. в. Особыми точками функции Г(н) = е' гг' являются снова точки гг = 0 и н2 = оо. Обе эти точки существенно особые, так как не существует ни конечного, ни бесконечного пределов функции е гг' при г -+ 0 и функции е' при и -+ оо (см. пример 7.2), а из этого следует, что в указанных точках не существует и предела функции Дн). Используя стандартное разложение (7.14) для экспоненцизльной функции, запишем н2 Раскрывая скобки и выбирая слагаемые, содержащие н г, на- ходим (-1) "+' с г = — 1+ — — — + — —...+ +...
2! 2!3! 3!4! Й1(й+ 1)! 294 о. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Сумму такого числового ряда можно записать компактно с помощью функции Бесселя первого рода первого порядка [Х1] ( — 1)ь х 2ь+1 й!(к+ 1)! (2) С учетом этого получим с 1 = —,У1(2) и НеаДх) = с 1 = — д1(2). л=е Согласно теореме о сумме вычетов, Неа,! (х) = — с 1 = .Х~(2).
8.4. Применение вычетов для вычисления интегралов Теорема Кошм о вычетах является одной из самых важнъпс в теории функций комплексного переменного. При помощи этой теоремы можно эффективно вычислять многие интегралы. Рассмотрим несколько примеров вычисления контурных интегралов при помощи вычетов. Пример 8.10. а. Вычислим интеграл ф сЬ хе(е (х+ 1)3(х — 1) по окружности Тл !г~ = 2.
Подынтегральная функция ~(г) = = сЬг/((я+1)з(х — 1)) является аналитической всюду в области ф ( 2, кроме точек х1 = — 1 и эг = 1. Найдем вычеты функции Дх) в этих точках. Так как х = — 1 — полюс ~(х) третьеео порядка, то, используя (8.11) при т = 3, находим 1, д2 ~ сЬх ~ 1, д /(х — 1)айх — сЬх'1 В.еа ~(х) = — 1пп — ( — ) = — !пп — ~ — 2(, — д ~ -11 2!. — д.~ ( — 1) 1 . (х — 1)2сЬе — 2(х — 1)аЬх+2сЬх 2аЬ1 — ЗсЬ1 2 -+-1 = — 1пп (х — цз 8 8.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
