X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 38
Текст из файла (страница 38)
пример 5.15). При этом угол Агб( — с 1) = Агбс 1 — я задает направление оси диполя. Примером такого поля является плоское электростатическое поле двух параллельных противоположно заряженных проводников, если его рассматривать на расстояниях от проводников, достаточно больших по сравнению с расстоянием между ними. Итак, представление (7.33) — это разложение рациональной функции Дг) на целую часть и на правильные простейшие дроби. Существование такого разложения является попутным результатом доказательства теоремы 7.10.
Шведский математик М.Г. Миттаг-Леффлер (1846-1927), по инициативе которого к чтению лекций в Стокгольмском университете в 1883 г. была привлечена С.В. Ковалевская, получил представление, аналогичное (7.33), для произвольной мероморфной функции. Это объясняет название мероморфной функции, происходящее от греческих слов рероо — часть, дробь и рор~роо — форма, вид, т.е. подобная дроби.
В отличие от этого названия первые два слога одного из синонимов аналитической функции — голоморфноа функции — созвучны греческому слову 6Лос — весь, целый. Это означает, что аналитическая функция подобна целой функции в том смысле, что в окрестности точки аналитичности она представима степенным рядом. Д. 7л. Физическое толкование полюсов виаеитической функции 273 Продолжим изучение плоских векторных полей, начатое в Д.5.1. Ил(к)— р р рЬ 2п(я — а) 2я(к — а+ Ь) ь-чо 2я(я — а)г Поле, описываемое комплексным потенциалом Я 2~(~ — )г ' (7.35) называют полем ивадррпбл,в, помещенного в точку я = а и имеющего момент а. Поле квадруполя можно рассматривать как предельный случай поля двух диполей с противоположными моментами, помещенных на расстоянии Ь друг от друга, когда Ь -+ О, а произведение д = рЬ остается постоянным.
Этот предельный случай соответствует ситуации, когда векторное поле двух диполей рассматривается на значительном удалении от них. Полагая к — а = ре*"' в (7.35), получаем И'(з) = е ~'т. 2ир Из этого предатавления находим уравнения линий равного потенциала и линий тока в полярных координатах: р = сия1п2~р. г р =сесоя2~р, И те и другие линии представляют собой лемнискаты Бернулли (на рис.
7.2 принято «е = а = О, а стрелки на линиях тока соответствуют д > 0). Пример 7.16. Пусть в точках яг = а — Ь и яе = а расположены два диполя с противоположными моментами — р и р (в общем случае комплексными). Комплексный потенциал поля этих диполей, согласно примеру 5.15, имеет вид (постоянные слагаемые опущены) 274 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Рис. 7.2 Полем квадруполя, например, будет плоское электростатическое поле четырех параллельных проводников, имеющих одинаковый по абсолютному значению заряд и пересекающих плоскость в вершинах квадрата с пренебрежимо малой длиной стороны, причем каждой из диагоналей квадрата соответствуют проводники, имеющие заряд одинакового знака.
Итак, простейшая функция И~(г) = с з(з — а) ~, имеющая в точке зо = о полюс вщорого порядка, будет комплексным потенциалом поля квадруполя, являющегося объединением в этой точке двух диполей с противоположными моментами, и момент квадруполя равен 2хс г. В более общем случае главная часть лорановского разложения функции в окрестности точки з = а, имеющей в этой точке полюс второго порядка, согласно теореме 7.3, имеет вид (7.36) о 1(з) + ~р2 (з) — + з-а (г-а)з Такая главная часть, если ее рассматривать как комплексный потенциал, описывает суперпозицию полей квадруполя с моментом 2яс з и диполя с моментом 2яс 1. д,ул.
Физическое толкование полюсов аналитнческон функции 275 Плоское векторное поле, которое описывается комплексным потенциалом И'ю(л) = (7.37) т.е. простейшей функцией с полюсом в точке з = а порядка т, называют пояеле муяьпьипб |я (2тп)-го порядка, помещенного в точку л = а и имеющего момент 2ис . Такое поле можно рассматривать как суперпозицию двух мультиполей порядка 2(гп — 1) с противоположными моментами. При этом мультиполь второго порядка — это диполь, а мультиполь четвертого порядка — квадруполь*. Функция И'(л), имеющая в точке ло = а полюс первого порядка, согласно теореме 7.3, в некоторой окрестности этой точки имеет лорановское разложение вида уу'(л) = + ~~~ с„(л — а)~, в=о в котором с 1 ф О. Правильная часть этого разложения является функцией, аналитической в окрестности точки л = а, и, следовательно, представляет собой комплексный потенциал плоского лапласова поля (см.
Д.5.1). Главная часть рассматриваемого разложения — это комплексный потенциал диполя, помещенного в точку л = а и-имеющего момент 2яс 1 (в общем случае комплексный). В итоге И"(з) есть комплексный потенциал плоского векторного поля в окрестности точки л = а, являющегося суперпозицией лапласова поля и поля диполя. Если функция Иг(л) имеет в точке л = а полюс порядка т > 1, то ее разложение в окрестности з = а имеет вид с„, с +1 (л-а)в (л-а)'" 1 .. + 1 +'~) с (л — а)", (7.38) в=о 'В физике диполь называют мультиполем первого порядка, а квадруполь — мультиполем второго порядка 276 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Вопросы и задачи 7.1. Установите кратность нуля г = 0 для функций: а) г (е' — 1); б) яз(ле — 1)+е1пз~; в) е" ' — е'я'. 7.2.
Пусть точка г = а является нулем кратности 1 для функции Дг) и нулем кратности т для функции ~р(г). Установите, чем будет эта точка для функций: а) Дз) у(я); б) Да)+ р(э); в) / (2) /~р(э) . 7.3. Найдите нули и установите кратность каждого из них для функций: а) л2+4; б) (я2+4)/з4; в) яз1пз; г) 1 — соез; д)(1- 'К -4); )М вЂ” 1Кя ) гя *) (1 — ~'2 — 2 ) . 7.4. Установите, существует ли функция /(л), аналитическая в точке г = 0 и принимающая в точках з„= 1/и, и е М, значения: а)0,1,0,...,,...; 6)0,—,0,—,...,0, 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 п 2п' ' '2'2'4'4' '2п'2п' ' '2'3'4' 'и+1' 7.5.
Разложите в ряд Лорана в окрестности изолированных особых точек (включая з = оо) функции: а); б)ле; в); г)з еш 1 2 1/л, 1 2 2 1 — г) 2+1' г — 1 Установите области, в которых эти разложения имеют место. в котором с „, ф О. Такую функцию можно рассматривать как комплексный потенциал поля, получающегося суперпозицией лапласова поля, соответствующего правильной части лоранов- ского разложения (7.38), и набора полей мультиполей вплоть до порядка 2ш (т.е.
диполя, квадруполя и т.д.), каждое из которых описывается слагаемым главной части этого разложения. 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТО'ЧКАХ 8.1. Вычет в конечной точке Определение 8.1. Вычетполв йвункции ~(») в конечной точке а б С называют значение контурного интеграла 1 .л" —, ~р~(»)с(», 2хв' )Р ь где Ь вЂ” некоторый замкнутый простой кусочно гладкий кон- тур, охватывающий точку» = а и лежащий целиком в кольце 0< !» — а( <г. Обозначают вычет, как правило, одним из следующих символов: НевД»), гев,Д»), Нев(у(»), а~.
Для дальнейшего изложения выберем первое обозначение. Тог- да, согласно определению, можем записать Вегу" (») = — у~ у(») д». 1 .л »=а 2Ю )~ ь (8.1) Обозначение „Веял происходит от франнузского слова гевып— остаток. Понятие вычета ввел франпузский математик О. Коши (1789 — 1852), рассматривая разность значений интегралов Пусть функция ~(») является аналитической по крайней мере в проколотой окрестности точки а Е С (а ~ оо), т.е. в некотором кольце 0 < ~» — а~ < г с внешним радиусом г. Сама точка» = а может быть либо точкой аналитичности функции ~(»), либо ее изолированной особой точкой. 279 В.1.
Вычет в конечной точке от функции по таким двум путям, имеющим общие начало и конец, что полюсы функции лежат между этими путями. Отметим сразу, что если е = а является точкой аналитичности функции Де), то по теореме Коими длл односвлзной области вычет этой функции в точке г = а равен нулю. Так что о вычете функции в конечной точке г = а целесообразно говорить, если е = а является изолированной особой точкой этой функции. Именно с такими точками связана теория вычетов.
Поэтому в определении 8.1 сразу можно было бы указать, что речь идет об изолированной особой точке а Е С. На основании теоремы Коши для многосвязной области получаем, что вычет Везу(е) функции у(е), аналитической в а=а проколотой окрестности точки е = а, не зависит от формы контура Ь. Действительно, пусть Ь1 и Ьг — простые контуры, охватывающие ",. „-, Об точку г = а (рис.
8.1) и целиком лежащие:; ~ ' .','т в кольце О < ~е — а~ < г, в котором функ- ' ' 'а ция 1(е) является аналитической. При:ь,' любом расположении контуров Ь1 и Хз существует третий контур Ь, окружаю- о х щий точку е = а, настолько малый, что Рнс. 8.1 не пересекается ни с Ьм ни с Ьз. По теореме Коши для двусвязной области оба интеграла по контурам Х1 и Ьз равны интегралу по контуру Ь. Следовательно, эти два интеграла равны друг дру~у Так как вычет не зависит от формы контура, для вычисления контурного интеграла в (8.1) целесообразно выбрать наиболее удобную форму контура Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
