X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Следовательно, его сумма определена в окрестности точки х = О и непрерывна в этой точке, т.е. для вычисления предела достаточно вычислить сумму ряда при х = О. б. Для функции 1/(1 — х) точка х = 1 будет полюсом, поскольку эта функция является аналитической всюду на комплексной плоскости за исключением точки х = 1, причем 1 1пп = со.
х-+1 1 — х в. Для функции е1~* точка х = О будет существенно особой точкой. В самом деле, зта функция является аналитической в области х ф О как композиция аналитических функций е~ и ~ = = 1/х. Покажем, что при х -+ О не существует ни конечного, ни бесконечного предела этой функции. При стремлении х к точке х = О вдоль действительной оси (х = х) имеем 1пп е ~* =со, х-++О 11ш е~!х = О.
х+ — О Этих равенств уже достаточно, чтобы заключить: предела функции е1~х при х -+ О не существует ни конечного, ни бесконечного. Поверхность модуля этой функции представлена рис. 7.1. г. Для функции 1/в1п(х/х) точки х„= 1/и, и = ~1, ~2, ..., являются изолированными особыми точками — полюсами, так как функция аналитична в проколотой окрестности каждой точки х„и 1/вш(я/х) -+ со при х -+ х„. Однако точка х = О не является для этой функции изолированной особой точкой, х поскольку каждая ее окрестность |5(О) = 1х Е С: О < ф < г) содержит другие особые точки (точки х„= 1/п, для которых ~п~ ) 1/г). Другими словами, у точки х = О нет проколотой окрестности, в которой функция 1/в1п(х/х) была бы аналитической, а это противоречит определению 7.3 изолированной 247 7.2.
Изолвровкввые особые точки Рис. 7.1 особой точки. Точка я = 0 является предельной точкой полюсов этой функции (точек я„= 1/п, п = ~1, +2, ...). Данный пример показывает, что при исследовании конкретной особой точки целесообразно найти все другие особые точки. ф В проколотой окрестности изолированной особой точки а Е Е С функцию можно разложить, согласно тпеореме Лорана, в ряд Лорана: +оо 00 00 7(я) = ~) с„(л — а)" = ~ с (я — а)" + 7 " . (7.11) о= — оо =о о=1 В этом случае говорят о лораноесном разложении Яунниии 7 (я) в онрестпностпи особой тпочни к = а, причем ряд в правой части представления (7.11) называют рядом Лорана 248 7.
НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ в онрестпностпи этой особой тпочнн. Ряды с„(з — а)", (7.12) Е: с „ (з а)а ' (7.13) Пример 7.3. а. Найдем лорановское разложение функции язе1/' в окрестности точки з = О. Используя стандартное разложение (6.18) для показательной функции, получаем з е "=з ~1+ — + — +...+ — +...) = 1 1 1 1!я 2!зз ' и!з" = з~+ з+ — + ~~, ф > О. 1 1 Отсюда следует, что правильная часть лорановского разложения есть зз + я+ 1/2, а главная часть представляет собой ряд с общим членом 1/((и+ 2)! з"). б.
Для функции сое(я/(з — 1)) найдем лорановское разложение в окрестности точки з = 1. Тождественными преобразова- на которые разделяется ряд Лорана, называют соответственно правильной и главной частпью лорановсного разложенил (7.11) функции /(з) в окрестности точки я = а.
При этом главная часть есть сумма всех членов ряда Лорана с отрицательными степенями я — а, которые стремятся к бесконечности при з -+ а, и представляет собой функцию, аналитическую в проколотой окрестности точки а (см. 6.5). Правильная часть лорановского разложения (7.11) функции /(з), содержащая члены с неотрицательными степенями з — а и представляющая собой обыкновенный степенной ряд, в силу теоремы 6.6 является аналитической функцией в точке з = а и некоторой ее окрестности.
249 7.2. Изолироииииые особые точки пнями получаем 1 1 .. 1 сов = соя(1+ ) = со81 сов — — 8!п181 —. »  — 1 » — 1 » — 1 Используя стандартные разложения (6.19) и (6.20) для косинуса и синуса соответственно, имеем при !» — Ц ) 0 2!(» 1)2 4!(» 1)4 ''') ( ...) 1 1 1 1!(» — 1) 3!(» — 1)8 5!(» — 1)8 / + ...1! 8ш1 = яш1 со81 вш1 со81 = со81 П(» 1) 2У(» 1)2 3!(» 1)з 4!(» 1)4 + + Ы".ч-Ы (1+(-1)") со81+(1 — ( — 1)") яш1 =со81+ ~~! ( — 1) 2 (7.14) и=! » = ((» — 1)+1) =(» — 1) +2(» — 1)+1.
(7.15) Перемножив разложения (7.14) и (7.15), выделим неотрицатель- ные степени» вЂ” 1 соя 1 8!п1~ г со81 — 28ш1 — — + (2со81 — — )(» — 1)+со81 (» — 1), 2! Н) или сов 1 2 — — 28!п1+(2со81 — яш1)(» — 1)+со81 (» — 1) . 2 В полученном разложении правильнэл часть содержит одно слагаемое со81, а ряд по отрицательным степеням» вЂ” 1 будет главной частью этого разложения. в. Найдем правильную часть лорановского разложения функции»2сов(»/(» — 1)) в окрестности точки» = 1. Для этого предварительно разложим функцию»2, аналитическую в окрестности этой точки, по степеням» вЂ” 1.
Тождественными преобразованиями получаем 250 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Это выражение и является правильной частью лорановского разложения данной функции в окрестности точки я = 1. 4~ Тнп (характер) изолированной особой точки тесно связан с видом лорановского разложения функции в окрестности этой точки. Эту связь выявляют следующие теоремы. Теорема 7.2. Изолированная особая точка з = а Е С функции Дя) является устранимой в том и только в том случае, когда лорановское разложение функции 7" (з) в окрестности з = а не содержит главной части, т.е.
Дз) = ~~> с„(з - а)", О < )г - а) < г. (7.16) М (с„(< — „, пЕУ. (7.17) Так как т можно выбрать сколь угодно малым, правую часть в неравенствах (7.17) при п < 0 тоже можно сделать сколь угодно малой. Это значит, что левая часть этих неравенств равна нулю, т.е. с„= О, и = — 1, — 2, ... Следовательно, главная часть лорановского разложения функции Дг) в окрестности устранимой особой точки з = а равна нулю. Предположим теперь, что лорановское разложение функции Дв) в окрестности (радиуса г) изолированной особой точки з = а не содержит главной части, т.е. справедливо (7.16). В силу < Предположим, что з = а — устранимая особая точка функции Дз). Согласно определению 7.4, существует конечный предел этой функции при з -+ а.
Следовательно, функция 1(з) ограничена в некоторой проколотой окрестности радиуса В точки з = а, т.е. )Дз)) < <М при 0 < (г — а~ < Н. Рассмотрим лорановское разложение (7.11) функции Дз) в окрестности 0 < ~з — а~ < г < В точки г = а. Запишем неравенства Коши дяя коэффиииентпов ряда Лорана 251 7.2. Изокироваииые особые точки теоремы 6.3 степенной ряд в правой части (7.16) сходится равномерно внутри круга ~» — а~ < г, а на основании теоремы 6.4 его сумма, т.е.
функция 7" (»), является в этом круге непрерывной функцией. В частности, существует конечный предел функции 7" (») в точке а, равный значению функции в этой точке: (7.18) 11ш7(») =со. к-+а Согласно определению 7.4, » = а — устранимая особая точка. > Замечание 7.2. Доопределив функцию у(») в точке» = а в соответствии с пределом (7.18) значением 7"(а) = со, получим функцию, которая имеет представление Согласно следствию 6.1, доопределенная функция является аналитической в точке» = а.
Именно этим оправдано название устранимой особой точки. Поэтому устранимые особые точки часто причисляют к точкам аналитичности функции. Теорема 7.3. Изолированная особая точка» = а Е С функции 7" (») является полюсом в том и только в том случае, когда главны часть лорановского разложения функции 7(») в окрестности этой точки содержит лишь конечное число отличных от нуля слагаемых, т.е.
в представлении (7.11) для некоторого натурального т имеем с е = О, и = т+ 1, т+ 2, ..., и с ~ О, так что 7" (») = 7 с„(» — а)" + ~~1 ", О < ~» — а~ < т. (7.19) (»-а)" ч Пусть» = а — полюс функции у(»). Тогда в силу определений 7.3 и 7.4 эта функция является аналитической в некоторой 252 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ проколотой окрестности точки» = а и Д») -+ оо при» вЂ” + а. Отсюда следует, что !У( )~ >1 (7.20) 1 1пп — = О, х-+а /(») (7.21) точка» = а на основании определения 7.4 будет устранимой особой точкой функции 1//(»). Согласно теореме 7.2, имеем представление — =Ь (» — а) +Ь +1(» — а) + +..., 0<)» — а(<г, /(») ™ в котором Ь,„ф О, причем т > 0 в силу условия (7.21).
Следова- тельно, 1 /(»)— 6 (» — а)'"+Ь +~(» — а)"'+1+... 1 1 (7.22) (» — а)'" 6,„+Ь +1(» — а)+... Поскольку Ь ~ О, то второй сомножитель в правой части последнего равенства является аналитической функцией в круге ~» — а~ < г (как частное двух аналитических функций, не обре щающихся в нуль).
В силу теоремы 6.7 в некоторой окрестности точки а существует разложение в ряд Тейлора Ь,„+Ь +1(» — а)+... =с +с +1(»-а)+с +2(»-а) +..., в некотором кольце 0 < ~» — а~ < г, причем г можно выбрать так, что в этом кольце функция /(») будет аналитической.
Поэтому функция 1/Д») также является в этом кольце аналитической, поскольку, согласно неравенству (7.20), Д») ~ 0 в этом кольце. Так как 253 7.3. Иэолироваявые особые точки причем с = 1/Ь ~ О. В итоге, учитывая (7.22), получаем при О<!» — а(<г что совпадает с (7.19). Предположим теперь, что главная часть лорановского разложения функции 7" (з) в некоторой окрестности радиуса г точки з = а имеет лишь конечное число отличных от нуля слагаемых, т.е. при 0 < ~г — а~ < г справедливо представление (7.19), в котором с уЕО.
Тогда при 0 < ~л — а) <г имеем (з-а)™Дз) =с „,+с ~~(з — а)+.. ..+с ~(з — а)~ ~+ ~> с„(з — а)"+~. (7.23) к=б Сумма ряда в правой части (7.23) в силу теоремы 6.4 непрерывна в точке э =а, и поэтому (л — а)"'Дз) -+ с фО при г-+а. Следовательно (см. замечание 3.1), у точки з = а существует окрестность, в которой функция ф(з) = (г — а)~1(г) ограничена и не обращается в нуль, т.е.
функция 7" (з) = ф(з)/(я — а)'" является бесконечно большой и ее предел при з — ~ 0 бесконечен. Согласно определению 7.4, точка а = а является полюсом функции 7" (г). > Определение 7.5. Порядном полюса г = а е С функции 1(з) называют число т Е М, при котором существует конечный отличный от нуля предел: 11шу"(г)(з — а)™ = А, А~О, А ~ ос. (724) З-ФО Лолюс порядка го = 1 называют проспзььм. Замечание 7.3. Из доказательства теоремы 7.3 следует, что порядок полюса функции совпадает с номером т Е М 254 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ старшего члена главной части лорановского разложения этой функции в окрестности полюса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
