X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Теорема 7.4. Точка г = а является полюсом функции /(я) порядка т тогда и только тогда, когда эта точка является нулем функции 1//(я) кратности т. ~ Если точка я = а является полюсом функции Дя), то функция Дя) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки г = а и для нее верно равенство (7.24). Рассмотрим функцию ср(я), которая при я ~ а определяется равенством ср(я) = = Дя)(я — а), а в точке я = а принимает значение А.

Согласно замечанию 7.2, функция ф(я) аналитична в некоторой окрестности точки я = а, причем ф(а) = А ~ О. Значит, ф(я) (в силу непрерывности) не обращается в нуль в некоторой окрестности точки я = а, и в этой окрестности аналитична функция ~р(я) = 1/4~(я). Поэтому в окрестности точки я = а имеем представление 1 (я — а)'" — = (я — а)~у(я), .~(я) ф(я) в котором у(я) не обращается в нуль при я = а. Из этого представления следует, что точка я = а является нулем функции 1/Дя) кратности т. Пусть точка я = а является нулем* функции 1//(я) кратности т. Тогда в окрестности точки я = а имеет место представление где функция у(л) аналитична в окрестности точки я = а и у(а) ф О. Значит, /(я) = 1 (я — а)™~р(я) 'Точнее говоря, предполагается, что функпия 1/Дя) аналитична в проколотой окрестности точки я = о и имеет предел при я -+ а, равный н~чпО. 255 72.Изолироаакяые особые точки откуда заключаем, что функция Дя) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки к = а, а точка г = а является изолированной особой точкой функции Дк).

Кроме того, существует конечный предел 1ппДг)(г — а) = . = — фО. 1 1 а->а 1пп у(к) 1о(а) а-+а Согласно определению 7.5, точка л = а является полюсом функ- ции 1(г) порядка т. В. Отметим следующий простой факт. Если точка к = а является нулем кратности т (полюсом порядка т) функции Дг), то эта точка г = а является нулем кратности т (полюсом порядка т) и функции у(я) Дл), где функция ~р(л) аналитична в окрестности точки к = а и у(а) ~ О.

Учитывая это, можем сформулировать такое утверждение. Утверждение 7.1. Следующие три условия эквивалентны: 1) точка г = а является полюсом функции 7'(к) порядка т; 2) точка к = а является нулем функции ~р(к)/Дк) кратности т, где функция у(л) аналитична в окрестности точки к = а и у(а) ~ О; 3) точка к = а является изолированной особой точкой функции Дг) и верна асимптотическая формула — (~(к) А(к — а) ), А ф О. (7.25) (г — а)~а 1(к) а-+а А а-+а Пример 7.4. а. Для функции д(л) = з1п — точки га = —, к 1 и е У '1 (0), являются простыми нулями, так как д'(1/и) ~ О (см.

пример 7.1.а). В силу утверждения 7.1 эти точки будут простыми полюсами функции 256 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ б. Для функции 1 — соз з (ев 1)з точка з = О будет простым полюсом, ибо, во-первых, /(з) является аналитической функцией в проколотой окрестности этой точки, а во-вторых, с учетом стандартных разложений (6.18) и (6.19) для функций е' и соя з имеем 1 — соз з яз/2 А (ех — цз я «о зз где А = 1/2 ф О. Теорема 7.5.

Изолированная особая точка а Е С функции Дз) является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения функции Дз) в окрестности точки а содержит бесконечное число отличных от нуля слагаемых. < Если главная часть лорановского разложения (7.11) функции Дз) в окрестности точки з = а содержит бесконечное число отличных от нуля слагаемых, то в силу теорем 7.2 и 7.3 изолированная особая точка з = а этой функции не может быть ни устранимой, ни полюсом, т.е.

должна быть существенно особой. Если же з = а — существенно особая точка функции /(я), то, согласно тем же теоремам, главная часть лорановского разложения (7.11) Дг) в окрестности этой точки не может ни отсутствовать (как в случае устранимой особой точки), ни содержать конечное число отличных от нуля слагаемых (как в случае полюса). Поэтому число таких слагаемых главной части этого разложения должно быть бесконечным. ~ Поведение функции в окрестности существенно особой точки характеризует теорема, доказанная в 1873 г. российским математиком Ю.В.

Сохоцким (1842-1927). 7.2. Иволироввииые особые точки 257 Теорема 7.6 (тпеорема Сохоцноео). Пусть а е С вЂ” существенно особая точка функции /(г). Тогда для любого А Е С найдется последовательность (к„) точек яв Е С, сходящаяся к точке г = а и такая, что /(к„) -+ А при п -+ со. м Пусть А = со. Функция /(л) не является ограниченной в окрестности точки к = а, ибо в противном случае можно доказать (см.

доказательство теоремы 7.2), что коэффициенты лорановского разложения этой функции при отрицательных степенях л — а равны нулю, т.е. к = а — устранимая особая точка этой функции. Следовательно, для любого п Е М в кольце О < (з — а( < 1/о можно выбрать такую точку к„, что )/(вв) ) ) и. Тем самым построена последовательность (яв), сходящаяся к точке г = а и такая, что /(лв) + оо при п -+ оо. Пусть А ф со. Если в любой окрестности точки а есть точки, в которых /(к) = А, то из этих точек можно построить последовательность (зв), сходящуюся к а. Для такой последовательности /(г„) = А и утверждение теоремы справедливо.

Пусть /(к) ф А в некоторой окрестности О < ~к — а~ < о точки а. Тогда функция д(к) = 1/(/(к) — А) аналитична в О < ~к — а~ < Ю и не имеет предела в точке а. Согласно уже доказанному, существует последовательность (з„) -+ а, для которой д(яв) = оо при п -+ со. Следовательно, 1пп (/(з„) — А) = О и 1пп /(кв) = А. Приведем без доказательства еще одну теорему, характеризующую поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки, которая перекликается с теоремой Сохоцкого. Теорема 7.7 (тпеорема Пикара).

Если к = а — существенно особая точка функции Цк), то для любого комплексного числа А (за исключением, возможно, одного значения), можно указать такую последовательность (яв) -+ а, что /(ъ„) = А, п Е М. 258 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Классификацию изолированных особых точек функции 7" (я) можно установить, согласно теоремам 7.2 — 7.5, по виду лоранов- ского разложения функции 7" (л) в окрестности зтих точек. В силу указанных теорем вид лорановского разложения функции можно взять за основу в определении типов особых точек.

Изолированная особая точка я = а Е С функции 7 (г) является: 1) устранимой особой точкой, если лорановское разложение функции Дз) в окрестности точки л = а не содержит отрицательных степеней г — а (отсутствует его главная часть),т.е.

Дг) = ~с„(г - а)", 0 < )г - а~ < г; в=в 2) полюсом, если лорановское разложение функции 7"(я) в окрестности точки л = а имеет конечное число ненулевых слагаемых с отрицательными степенями г — а, т.е. Дя) = ~~> с (я-а)", 0< ~л-а! <г; где т ) 0 и с „„~ 0 (число т есть порядок полюса з = а); 3) существенно особой точкой, если лорановское разложение у (я) в окрестности г = а содержит бесконечное число ненулевых слагаемых с отрицательными степенями л — а, т.е. Дг) = ~ с„(л-а)", 0< (г-а! <т, где среди козффициентов с 1, с з, ...

есть бесконечное число ненулевых. Определение 7.4 и приведенная классификация особых точек позволяют двумя способами определить тип особой точки. В конкретной ситуации следует выбирать способ в зависимости от того, что быстрее и проще удается выяснить: существование предела функции в особой точке или ее лорановское разложение в окрестности особой точки. Как правило, выбор метода связан с видом функции. 7.2. Изолироиаииые особые точки 259 Пример 7.5. Лорановское разложение функции соя(1/г) в окрестности точки з = 0 (изолированной особой точки этой функции в силу определения 7.3) можно получить непосредственно из стандартного разложения (6.19) для косинуса: 1 1 1 1 сов 2+ ! 4 ! 8+...) )г)>0. (7.26) г 2!яз 4!84 6!яя 1 44 соя — = соя — = соя(-т) = соя(т) = сЬгг, з„! так что ~ соя(1/8„)~ = сЬг! -+ оо при гг -+ оо.

Тот же результат получим и для последовательности ( — 4/44). Согласно теореме Пикара, для любого комплексного числа А, за исключением, возможно, одного, можно указать последовательность (г„), сходягцуюся к существенно особой точке г = а, для которой У(з„) = А, гг Е К Например, отметим три последовательности точек, соответствующие значениям А = О, — 1, 1: 2 и 1 „, 1 (2п+1)4г' " (2п+1)я' " 2ги Эти последовательности, как нетрудно увидеть, сходятся к точке 8 =0, и для всех пей имеем 1 соя — =1 У !и 1 соя —, =О, и 1 соя — = — 1, и яи Это разложение содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями г, и поэтому точка з = 0 является существенно особой точкой рассматриваемой функции.

Аналогично можно установить, что 8 = 0 — существенно особая точка и для функций е4г' и вш(1/г). Согласно теореме Сохоцкого, в окрестности существенно особой точки е = а можно построить сходящуюся к а последовательность (ко), такую, что /(з„) — > А при и -+ оо. Для функции сов(1/л) в случае А = оо такой будет, например, последовательность (4/и), сходящаяся к г = О. Действительно, учитывая (3.28), имеем 260 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В отличие от рассмотренных функций лорановское разложение функции д(я) = (1 — я) 1 соя(1/я) в окрестности изолированных особых точек яя = 0 и я1 = 1 построить не так просто.

Характеристики

Список файлов книги