X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Например, можно взять окружность с центром в точке к = а. Благодаря достаточно простому ее комплексному уравнению (8.2) е — а = ре'", оо Е [О, 2я], где р — радиус окружности, контурный интеграл сводится к вычислению определенного интеграла по переменному ~р 280 В. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ (см. пример 5.4).
По этой причине вычет функции Г(») в ее изолированной особой точке» = а часто определяют как контурный интеграл функции Г (») по окружности ~ » — а~ = р настолько малого радиуса р, что эта окружность целиком содержится в кольце 0 < ~» — а~ < т, в котором функция Г(») аналитична. Пример 8.1. Найдем вычет функции Г(») = »/(» — 1) в точке» = 1.
Эта точка для Г(») является изолированной особой точкой. Внутри окружности ~» — Ц = р произвольного радиуса р функция не имеет особых точек, т.е. в любой проколотой окрестности точки» = 1 она является аналитической. Поэтому в (8.1) в качестве контура Ь можно выбрать окружность. В этом случае имеем» = 1+ ре'т, сЬ = 1регяйр, гр Е [О, 2к), и 1 л" 1 Г 1+рень . Вев,Г(») = — ~г1 Г(») гЬ = —, / .
1ре'"'г1гр = 2нг' .г' 2нг' „г' ре'ю 2» 2» 1 Г 1 Г = — / Йр+ — / ег~г1гр= 1, 2к,/ 2к,/ о О поскольку интеграл от енл в пределах от 0 до 2к равен нулю (см. пример 5.4). Тот же результат можно получить, применив интегральную формулу Коша для вычисления интеграла, определяющего вычет. Так как функция гр(») = » аналитична во всей плоскости г,, то, используя (5.24), получаем Нев Г(») = —, г)~1 = гр(1) = 1.
1 .л гр(»)гг» Теорема 8.1 (теорема Хошн о вычетах). Пусть функция Д») аналитична на простом контпуре Ь и в ограниченной этим контуром области Р, за исключением конечного числа 8.1. Вычет в конечной точке 281 изолированных особых точек а„ Е Р,и = 1,н. Тогда ф Дя) еЬ = 2ке ~ Кев У(с).
Б и=1 (8.3) м Построим окружности Ь, и=1,н, с центрами в точках а„ столь малых радиусов, что эти окружности не пересекаются друг с другом и все лежат в области Р (рис. 8.2). По теореме Коши для многосвязной области имеем фл н =дафн) ' Ь и=1 Ь Рнс. 8.2 Разделив почленно это равенство на 2кг', получаем утверждение теоремы, так как в силу определения 8.1 вычета 1 Г .
~(1 ДЗ)1Ь = Вяв ~(я) Р = 1, и. 2ке „1 е=а„ Таким образом, вычисление контурного интеграла от функции Дя) по контуру Ь при выполнении условий теоремы 8.1 сводится к вычислению вычетов этой функции в изолированных особых точках, охватываемых этим контуром. Оказывается, что вычет функции в особой точке легко вычислить, если известно лорановское разложение д1ункиии в окрестности этой 282 В. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ особой шочки. Более того, для вычисления вычета нужно знать лишь один коэффициент лорановского разложения. Теорема 8.2. Вычет функции Дз) в изолированной особой точке з = а равен коэффициенту с 1 лорановского разложения Дя) в окрестности а (говорят: „при минус первой степени з — а"): (8.4) НевДз) =с 1. ~ Представим функцию у(г) в проколотой окрестности О < < ~г — а~ < г точки а некоторого радиуса г рядом Лорана (см. теорему 6.11): Дз) = ~~> с„(г-а)", О < (з-а~ < г.
Коэффициенты с ряда Лорана вычисляются по формулам (6.32), в которых в качестве контура Ь можно взять любую окружность ~г — а~ = р радиуса р < г. В частном случае при и = — 1 получаем 1 .Г с 1 — — —, ~~~(з)пз. 2я1 ~ ь Но правая часть равенства есть вычет функции Дг) в точке г = а, т.е.
это равенство фактически равносильно утверждению теоремы. а Если в точке з = а функция Дз) является аналитической, то с 1 = О и соответственно НезДя) = О. Это согласуется с тем, я=а что было сказано о вычете в точке аналитичности функции после определения 8.1. Отметим, что иногда понятие вычета вводят непосредственно через значение коэффициента с 1 в лорановском разложении функции. Согласно теореме 8.2, это равносильно данному вьппе определению, в котором вычет введен через контурный интеграл. 283 8Л.
Вычет в конечной точке Пример 8.2. а. Найдем вычет функции е1~' в точке х = О. Так как 1 1 е~~' =1+ — + — +..., [х) >О, 2[»2 то Кеве'~» = с 4 = 1. Отсюда, кстати, согласно теоремам 8.1 и »=О 8.2, следует, что ф е~~*еЬ = 2я»Нее е4~» = 2яг »=О Ь для любого простого контура Ь, охватывающего точку х = О. б. Найдем вычет функции Дх) = хэ в[в — в точке х = 1.
» †Для этого используем разложение /(х) по степеням х — 1. Запишем г2 = ((х — 1)+1) = (х — 1)2+2(х — 1)+1. С помощью стан- 2 дартного разложения (6.20) для синуса получаем при [» — Ц > 0 1 1 1 /( ) = ((~ — 1) + 2(~ — 1) + 1) ( — — + +...). Теперь нетрудно вычислить коэффициент разложения функции У(х) при (х — 1) ~: с 1 = 1 — 1/3[= 5/6.
Стало быть, Нев/(х) = = 5/6. в. Найдем вычет функции /(х) = —, в точке »=0. Используя стандартное разложение (6.19) для косинуса, при ~х~ > 0 получаем в[пэх 1 — сов2» 1 (2»)2 (2»)4 (2х)О ) 4! 6[ + Следовательно, коэффициент разложения при х ~ равен с 1 — — 1 и Вез/(х) = 1. Теорема 8.2 позволяет находить вычет не через интеграл, а с помощью коэффициента с 4 лорановского разложения, что во многих случаях оказывается более удобным.
284 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ г. Вычислим вычет функции 7(г) = (га — 222+1)/г4 в точке г = О. Поскольку представление этой функции в виде можно рассматривать как ее лорановское разложение в окрестности точки г = О, то сразу получаем ВжДг) = с 4 = — 2. я=о Следствие 8.1. Вычет функции в ее конечной устрапи.мой особой точке равен нулю. ~ Действительно, достаточно использовать теорему 7.1, согласно которой лорановское разложение функции ~(г) в окрестности устранимой особой точки г = а не содержит отрицательных степеней г — а, в том числе не содержит и (г — а) ~, а это означает, что с 1 =Вев1(г) = О.
~ я=а Так для функции )'(г) (е4 1) ((гз г2) точка г О согласно определению 7.4, является устранимой особой точкой, 42 поскольку, учитывая эквивалентность е' — 1 22, имеем я-+О ея 1 22 1пп у'(г) = 1пп = 1пп = — 1. , +а, +ага г2, +ог2(г 1) Отсюда в силу следствия 8.1 Вез~(г) = О. 4=0 8.2. Вычисление вычета в полюсе Рассмотрим сначала случай простого полюса (пояюса первого порядка) функции Дг) в точке г = а. В этом случае лорановское разложение (7.11) ~(г) в окрестности (радиуса г) точки г = а имеет, согласно теореме 7.3, следующий вид: Дг) = +~~> с„(г-а), 0< (г-а) <г.
г — а я=в 285 В.2. Вычисвевие вычета в волюсе Отсюда с 1 = 1ппДг)(г — а). Стало быть, в простом полюсе в-~а г = а вычет функции у (г) равен ВевДг) = 1нпу(г)(г — а). (8.5) Отметим, что существование конечного ненулевого предела в равенстве (8.5) справа равносильно асимптотической формуле Вев,~(г) У(г) - '= л-че г — а (8.6) где Вев у (г) = А у~ О. Для вычисления вычета в простом полюсе особенно удобна следующая модификация формулы (8.5). Пусть функцию Дг) можно представить в виде У(г) =— 1о(г) Ф( )' (8.7) где ~р(г) и р(г) — функции, аналитические в окрестности точки г = а и удовлетворяющие условиям ~р(а) ~ О, 4(а) = О, 4'(а) Ф О. (8.8) ВевДг) = 1пп у(г) (г — а) . ~р(г) ~р(а) = 1пп в=е л-+а ф(г) в — ~е Ф(в) 4(в) ф'(а) Итак, если функция у'(г) имеет представление (8.7), удовлетво- ряющее условиям (8.8), то у(а) Вев,1'(г) = (8.9) Согласно утверждению 7.1, представление (8.7) при выполнении условий (8.8) является необходимым и достаточным для того, чтобы точка г = а была полюсом первого порядка функции Дг).
Учитывая (8.5) и определение производной фуннани ноллнленсного нерелеенного,получаем 286 в. вычвты в изолировлнных осовых точклх Если точка я = а является простым полюсом дробно-рациональной функции Дг) или же 1(з) = ~р(я)(Р„(я), где ~р(г)— функция, аналитическая в некоторой окрестности этой точки, причем у(а) ф О, а Р„(з) — многочлен, имеющий простой нуль в точке з = а, то (8.9) намного удобнее для вычисления вычета функции Дя) в данной точке, чем (8.5) или (8.6), так как не требует выделения в знаменателе у (я) линейного множителя з — а. Пример 8.3. Найдем вычет функции е'/(зз+1) в точке г = — 1.
Поскольку многочлен зз+1 имеет три различных простых нуля, один из которых — точка я = — 1, и е'~, ~ О, то точка з = — 1 является, согласно утверждению 7.1, простым полюсом этой функции. Используя (8.9), находим е' ех ~ е' ~ 1 Вез 1 без+1 (зз+1) 1д= 1 3з2!д 1 3е' Пусть теперь точка з = а является полюсом функции Дг) порядка т. Тогда в проколотой окрестности этой топси, согласно теореме 7.3, и=с причем с ~ О. Умножив это равенство на (г — а)~, получим Дг)(г — а) =с,„+с „,+1(я — а)+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
