X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 43
Текст из файла (страница 43)
[ззз) 1( )1 Ю(л)) Поскольку ~Дл)/1о(з)~ ( 1 на Ь, то при любом изменении я Е Ь радиус-вектор точки пз = 1+ Дя)/зр(г) не может повернуться в плоскости (пз) вокруг точки и = О. Следовательно, второе слагаемое в правой части (8 33) равно нулю и Ьс Агб(зр(г)+7(з)) = = ЬсАг8зр(з). Отсюда в силу принципа аргумента вытекает утверждение теоремы. ~ Замечание 8.1. Теорема Руше позволяет получить простое доказательство основной теорема аазебрьз (см.
теорему 7.9). Пусть Р„(я) = аезо+а1ли 1+... +а„1г+ а„— произвольный многочлен степени п (ае уЕ 0). Обозначим зр(в) = аег", Пз) = а1я" '+ ... +а„. Тогда Р„(я) = зр(г) +У(л). Так как 310 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Д«)/у(«) — > 0 при « -+ оо, то существует такое число р > О, что для всех «, удовлетворяющих условию ~«~ > р, будет выполнено неравенство (8.34) В частности, на окружности ф = р имеет место неравенство )~(«К < ~у(«)(. По теореме Руше количество нулей у функций ~р(«) и Р„(«) = ~а(«)+У(«), аналитических в С, совпадает. Но функция ~р(«) = ав«" имеет и нулей внутри окружности ~«~ = = р, поскольку точка « = 0 является нулем кратности п этой функции.
Значит, функция Р„(«) внутри окружности имеет п нулей. Отметим, что многочлен степени и не может иметь более п нулей. Следовательно, Р„(«) имеет ровно п нулей, и все они внутри окружности ф = р. При помощи теоремы Руше можно находить число корней некоторых уравнений в ограниченной области. Пример 8.16. Найдем число корней уравнения «~ + «Р + 1 = = 0 внутри окружности ф = 2. На этой окружности имеем )«з! = 4, и в силу (1.15) («з + 1) > («з) — 1 = 32 — 1 = 31 > (««1 Поэтому, согласно теореме Руше, у функций у(«) = «~+ 1 и у(«) + Д«) = «5+ «~ + 1 внутри окружности ф = 2 одинаковое число нулей. Но у уравнения «5+ 1 = 0 пять корней, и все они расположены на окружности ~«~ = 1, т.е.
внутри окружности ~«~ = 2. Таким образом, исходное уравнение имеет пять корней внутри окружности ~«( = 2. Пример 8.17. Выясним, сколько корней имеет уравнение «е — 8« + 10 = 0 в кольце 1 < ф < 3. Найдем сначала число корней этого уравнения внутри окружности ~«~ = 3, а затем— на окружности ф = 1 и внутри ее. Тогда разность полученных результатов будет искомым числом корней данного уравнения. Рассмотрим функции ~р(«) = «е и Д«) = — 8«+ 10. На окружности ф = 3 имеем («е) = Зе и ! — 8«+ 10! < ) — 8«)+ 10 = 24+ 10, т.е. (у(«)( > (~(«)).
В силу теоремы Руше у функций у(«) и Д.8.1. Вычисление интегралов от действительных функций 311 ~р(г) + /(я) внутри этой окружности по шесть нулей, поскольку уравнение ~р(я) = 0 имеет корень г = 0 кратности 6. Таким образом, у данного уравнения внутри окружности ~г~ = 3 будет шесть корней. На окружности ф = 1 выполнено неравенство (/(я)) = ! — 8я+ 10) > ~10 — )8г(! = 2 > )~р(г)) = )я~) = 1. Следовательно, на этой окружности данное уравнение не имеет корней, а внутри ее число его корней и корней уравнения — 8я+ 10 = 0 одинаково. Но последнее уравнение не имеет там корней. Значит, там нет и корней данного уравнения.
В итоге заключаем, что данное уравнение имеет шесть корней в кольце 1 < ~я! < 3. Дополнение 8.1. Вычисление интегралов от действительных функций При помощи вычетов можно вычислять многие определенные интегралы от действительных функций действительного переменного, причем такой подход часто быстрее приводит к цели, нежели известные методы интегрирования (Ч1]. Рассмотрим интегралы вида В(в1пх, сов х) сЬ, о еса — е ех х — 1/ в1пт = 21 21 век+с ак т.+1/я ссех = 2 2 где ль(в,и) — рациональная функция двух переменных.
Заменой я = егл (сЬ = ге'*сЬ, сЬ = — (1/х) сЬ) этот интеграл можно свести к контурному по окружности Ь: ф = 1, причем изменению т от 0 до 2н будет отвечать движение точки в коасвлекснов плоскости (я) по окружности Ь в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Так как, согласно (3.22) и (3.23), 312 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ то 2л | В(ашх, соах) гЬ = О =ф"(,";(- ) -,'("-'))(-') =ф где Вг(я) — рациональная функция ж Если эта рациональная функция не имеет особых точек (полюсов) на окружности Х, в силу теоремы Коши о вычетах можно записать 2л | В(81пх, соах) г(х = 2кг' ) Веа Вг(г), (8.35) ег я е=г о где г„р = 1, гг, — все полюсы рациональной функции Вг(е), где г„, ив лежащие внутри окружности ф = 1. Пример 8.18.
Вычислим интеграл | р Е (О, 1). 1 — 2рсоах+р2' о При замене е = еги имеем г1х = — (1/я) еЬ, соах = (я+ 1/е)/2 и г(х ~ — 1г(е 1 — 2Рсоах+Р2 ~ е(1 р( +1)+ 2) (8.36) 1 ' — (р'+1)+р' ь где Ь вЂ” окружность |г~ = 1. Особыми точками подынтегральной функции контурного интеграла в правой части ( . ) уду (8.36) б т нули многочлена ре2 — е(р2 + 1) + р = р(я — р) (г — 1/р), т.е. точ- Д.8.1. Вычислецие ивтеграцов от лействительцых фуцкций 313 ки ль = р и лз = 1/р. Внутрь контура интегрирования попадает лишь точка л1 = р. Она является простььи полюсом подынте. гральной функции, и поэтому, согласно теореме 8.1 и (8.5), | дх,,( 1 = 2иг' 1 Бее 1 — 2рсоях+рт ~, =1 р(л — р)(л — 1|р) у о 1 2я = — 2я 1пп У ° гр( — 1/р) 1- рз' С помощью вычетов можно вычислять некоторые несобственньье интеералы, включая и те, которые сходлтпся е смысле елаеноео значения.
Напомним, что главным значением несобственного интеграла ) 1(х) дх называют предел 1пп у (х) дх. — я Если функция не ограничена в окрестности точки с Е (а, Ь), то ь главным значением несобственного интеграла 1 Дх)<(х назыа вают предел С вЂ” Е ь 1пп Дх) ах+ у(х) ах а с+т Значение сходящегося несобственного интеграла совпадает с его главным значением ('т'1).
Рассмотрим несобственный интеграл вида +со у(х) дх, (8.37) предполагая, что функция Дх) имеет аналитпичесное продоллсение в комплексную плоскость. Чтобы вычислить этот интег- 314 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Р > ал можно действовать так. Продолжаем подынтегральную функцию 7(х) в верхнюю полуплоскость 1щя > О, т.е. рассматриваем функцию Дг) комплексного переменного х, аналитическую в области 1шх > О и на ее границе, совпадающую при д ействительных значениях х с функцией Дх).
" Дх). Затем выбираем замкнутый контур Ь, состоящий из отрезка [ — Р, р] действительной Оси и ДУги )>р ОКРУЖНОУр >Р сти [х[ = р в верхней полуплоскости 1щх > О, соединяющей концы отрезка (рис. 8.9). По теореме Р О Р х Коши о вычетах для контурно- го интеграла функции Дг) вдоль Рис. 8.9 контура Ь имеем а )) ) > = 1 >) ) р,'- 1 )) ) р* = 2 > Е В 1) ), и=1 Ь 7р где а, и = 1, и, — все особые точки функции внутри контура Ь.
Пусть р выбрано настолько большим, что все особые точки функции 7(я) в верхней полуплоскости попадают внутрь контура Ь, т.е. а, и =1, п, — все особые точки у(х) в верхней полуплоскости. Переходя к пределу при р — ) со, получаем а 1пп 7" (х)йх+ 1пп /Дя)сЬ = 2х1~) Веерах). р-)оо ) р — >оо / и=1 — Р 7р Если удается вычислить предел интеграла по дуге ур, то интеграл (8.37) можно найти из равенства -)-оо а 7" (х) ах = 2яг'~~) Кея 7" (х) — 1пп 1 Дя) <Ь. (8.38) а=а„ р-+оо / и=1 7р При вычислении таких интегралов полезна лемма, доказанная французским математиком К.
Жорданом (1838- ). -1922). Д.8Л. Вычисление интеграюв от действительных функций 315 Теорема 8.8 (лемма .Жордано)*. Пусть функция у(х) аналитична в полуплоскости 1шх > а (о Е К вЂ” фиксированное число), за исключением конечного числа изолированных особых точек, и пусть М(р) = шах(Дх)~ -+0 при р — ~ оо, (8,39) ея та где 7р — — (х Е С: )х~ = р, 1шх >а) — дуга окружности )х~ = р в полуплоскости 1п1х > а.
Тогда для любого действительного числа Л > 0 1пп У(х)е' 'еЬ = О. (8.40) р — ьсс / Замечание 8.2. Лемму Жордана можно переформулировать для случая нижней дуги окружности. Если функция Дх) аналитична в полуплоскости 1шх < о, а е В, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и на дуге ур — — (х е С: (х~ = р, 1шх < а) выполняется условие (8.39), то 1пп Дх)е '~'еЬ= О, Л>0. р-+се / (8.41) 1пп у(х)е~'сЬ = О, Л > О. 4~ (8.42) 7р *Доказательство см. в книге: Лаврентьев М.А., Шабатл Б.В.
Чтобы это доказать, достаточно применить лемму Жордана к функции д(х) = ~( — х). Точно так же можно сформулировать лемму Жордана для полуплоскости Кех < а, применив теорему 8.8 к функции д(х) = = у(Ы). В результате получим следующее утверждение. Если функция у(х) аналитична в полуплоскости Кех < а, за исключением конечного числа особых точек, и на дуге 7р, которая задается соотношениями ф = р, Вез < а, удовлетворяет условию (8.39), то 316 В. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды несобственных интегралов, которые можно вычислить при помощи вычетов.
Г ~(х)дх = 2яг~ Вев г(г), и (8.43) где вычеты берутся во всех полюсах а„функции г" (х), расположеыных в верхней полуплоскости 1гпг > О. Действительно, для дуги 7р окружности ф = р, определяемой ограничением 1пзг > О, имеем А гпах~~(х)~ = М(р) — „, Аф О, )г = и — т > 2. ЯЕ7ь Р— +<~~ Р Используя зту асимптотическую формулу и оцеыку иытеграла (см. 5.1), получаем ! яА Дх)гЬ <М(р)яр ° вЂ”, й>2, р-ню рь 7р откуда 1пп г' У(х) ~Ь = О. о-+00 / 7~ Поэтому равенство (8.38) сводится к (8.43).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
