X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При этом р > 0 считаем столь большим, что все нули Ур многочлена Рх(х) из правой полуплоскости лежат внутри контура Ь. Заме- О тим, что многочлен Рх(х) не имеет нулей, расположенных на мнимой оси. Действительно, при наличии нуля вида х = -(е = 49 должно быть выполнено равенство (19)в+5(49)4 — 5 = О, или еуь+5у4 — 5 = = О, откуда получаем, что одновременно у = 1 и у = О, но это невозможно. Согласно принципу аргумента, многочлен Рх(х) имеет Ф = 1 = — Ьс Агб Ра(х) нулей, охваченных построенным контуром Ь. 2т Переходя к пределу при р — 4 оо и учитывая аддитивность приращения непрерывной на Ь функции Агб Рь(х), получаем 1 Ф = — 1пп ЬьАгаРх(х) = 2к р-4оо 1 1 = — 1пп Ь АгбР4(г)+ — йп й„Аг8Рх(х), (8.29) 2я, >оо 2х р-4оо где Ь.„, Аг8Р4(х) и Ь,, Аг8Р4(х) обозначают приращения функции АгяРа(х) на дугах ур и у, составляющих контур Ь.
Для вычисления первого из пределов в правой части (8.29) запишем 5 5ч 5 5~ Рх(х) =х (1+ — — — ), Аг8Р,,(х) =5Агбх+Агб(1+ — — — ). хо)' х 0 304 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Следовательно, 5 5~ 11ш Ь., Аг8Р5(х) = 5я+ 1пп Ь, Аг8 1+ — — — ) =бя, р->оо 7р 5) > поскольку 5 5~ 5 5~ 1пп (1+ — — — ) =1 и 1пп Ь.„Аг8~1+ — — — ) =О. р-+оо1 я я5 7р (, я з5) Перед вычислением второго предела в правой части (8.29) проследим, по какому пути на плоскости (и>) движется точка и = Р5 (я) при движении точки я сверху вниз вдоль мнимой оси плоскости (я).
Для построения образа Г' отрезка г мнимой оси между точками гр и — гр с учетом направления движения точки я (см. рис. 8.4) запишем параметрическое комплексное уравнение этого отрезка: я = — г1, 1 б ( — р, р). Подставляя я = — Й в Р5(г) и выделяя действительную и мнимую части, находим параметрические уравнения искомого образа в плоскости (и>): и(г) = 5$ — 5, е(г) = — г~, Ф Е ( — р, р) Так как и($) является четной функцией, а е(1) — нечетной, то Г' является кривой, симметричной относительно действительной оси плоскости (и>). При этом точке г = 0 (г = 0) будет отвечать точка п>е = — 5, а точкам я = ~гр — точки п>гд = бр — 5~гр (рис.
8.5). При движении точки и> из положения и» в положение гяе отрезок, соединяющий ее с точкой гя = О, поворачивается пРотив часовой стРелки на Угол Я вЂ” аг8п>м а пРи дальнейшем Рис. 8.8 305 В.5. Логарифмический вычет движении в положение щ2 — в силу симметрии еще на тот же угол. Таким образом, 1пп ЬчАг8Рв(е) = 1пп 2(гг — аг8гог) = р — >со и-+ос р чг =2я — 2 1пп агс48 =2и — 2- =и. р-+со 5р4 — 5 2 Подставляя найденные значения пределов в (8.29), получаем Ф = (54г + я)/(2я) = 3.
В теории автоматического регулирования принцип аргумента находит применение при анализе устойчивости линейных систем: условием устойчивости является расположение всех корней харангаерисгавнесного рравненвц соответствующего дифференциальному уравнению системы, в левой полуплоскости (когда действительные части этих корней отрицатель- ны) (ЛГП1].
Пример 8.14. Выясним, устойчива ли система автоматического регулирования, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением х'~ + 2хкч + Зхи + х'+ 2х = д(4), где г — время, х = х(г) — выходной сигнал системы, д(г)— входное воздействие. Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение Р4(Л) = О, корнями которого являются нули многочлена Р4(е) = х4+ 2е~+ Зе~+ е+ 2. Используя контур, построенный в примере 8.13, заключаем, что число нулей этого многочлена в правой полуплоскости равно 1 1 рг = — 11пг Ьч„Аг8Р4(к) + — 1пп ЬчАг8Р4(г). (8.30) 24Г р->ос 2з и-+ Используя представления 2 3 1 2~ Р4(е)г я ~1+ + + + ) я2 хз е4) 306 8.
ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ и 2 3 1 2х Аг8Р4(л) = 4Аг8з+ Аг8(1+ — + — + — + — /, лг лз л4~' находим 1пп Ь,„Аг8Р4(л) = 4х. Л вЂ” ~Ос Для построения образа Г' отрезка 7 между точками 1р и — 1р мнимой оси при отображении ю = Р4(з) с учетом направления движения точки л (см. рис. 8.4) подставим л = — И, 1 е [ — р, р), в Р4(л) и, выделив действительную и мнимую части, придем к параметрическим уравнениям искомого образа в плоскости (): и(1) =г~ — Зг~+2, иЯ =2г~ — Ф, ге.
( — р,р). Как и в примере 8.13, и(1) является четной функцией, а е($)— нечетной. Поэтому кривая Г' симметрична относительно дей- ствительной оси плоскости (ю). При 2 этом точке з = 0 (г = 0) будет отвечать точка юо = 2, двум точкам лг г = Ы~Г2/2 (г = ~Л/2) — точка ю' = 3/4 саиопересечекил кривой Г', а точкам л = ~гр— ю, юс точки юцг = Р4 — 3Рг + 2 ~1Р(2Рг — 1) 8 г с (рис. 8.6). При движении точки ю из Г' положения юг в положение юо ее радиусвектор поворачивается против часовой стРелки на Угол — аг8юм а пРи ДальнейЮ1 шем движении в положение юг — в силу симметрии еще на тот же угол.
Таким Рис. 8.8 образом, 1пп Ь,„Аг8Рз(г) = 1пп 2( — аг8ю1) = 2 1пп агс18 = О. р(2р~ — 1) о-+сО о-+ 00 о+со о4 3,ог+2 Подставляя вычисленные значения пределов в (8.30), получаем М = (4я + 0)/(2к) = 2. Следовательно, характеристическое уравнение Р4(Л) имеет корни в правой полуплоскости, т.е. их действительные части положительны. Это означает, что 307 В.5. Логарифмический вычет рассматриваемая система автоматического регулирования неустойчива (Ч111]. Пример 8.15.
Выясним, как расположены по квадрантам комплексной плоскости (х) корни уравнения х~ + х+ 3 = О. Сначала убедимся, что это уравнение не имеет действительных и мнимых корней. В самом деле, при х =хЕ К имеем х > — х — 3, а если бы корнем уравнения хе + х+ 3 = 0 было чисю х = гу, то из равенства — де+ ар+ 3 = 0 следовало бы одновременно — у4+ 3 = = 0 и у=О, что неверно.
Подсчитаем число корней данного уравнения в первом квадранте. Для этого построим замкнутый контур Ь, состоящий из дуги ур окружности ф = р в первом квадранте (Кех > О, 1шх > 0) и отрезков 74 и .ух действительной и мнимой осей (на рис. 8.7 стрел- Р ки указывают положительное направление обхода этого контура). Выберем ра- уе диус р окружности столь большим, чтобы контур Ь охватывая все корни уравнения у1 р х из первого квадранта.
Тогда по принципу аргумента, используя (8.27), имеем Рис. 8.7 1 М = — 11ш ~Ьх, Аг8Ре(г)+ 2яр-+с ~ + Ь~, Аг8Ре(х) + Ь.„, Аг8Ра(х)), (8.31) где Ре(х) = х~+х+ 3 = х~(1+1/х~+ 3/х~) и 1 3~ Аг6Ре(х) = 6Аг8х+ Аг8(1+ — + — ). х5 хе) ' Ясно, что 1пп Ь,ь Аг8 Ре(х) = 6 — = Зи. Образы Г4 правой части действительной оси и Гх верхней части мнимой оси при отображении 4о = Ре(х) описываются 308 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ соответственно параметрическими уравнениями < и(г) =1 + 1+ 3, 1>О, и(1) =О, и(г) = — 1~+3, 1>О, и(1) =1, 1пп Ь.„,Аг8Ре(з) = 1пп ( — ах8юз) = ~7-+ СО ф-+СО ф->00 = — 1пп (я+ агс18 ) = — ~г. Р— (р' — 3) Подставляя найденные значения пределов в (8.31), получаем, что в первом квадранте плоскости (з) число корней даыного уравнения равно АГ = (О+ З~г — я)/(2я) = 1.
Рис. 8.8 Таким образом, многочлен Ре(г) с действительными коэффициентами имеет комплексный нуль гг в первом квадранте. Но тогда нулем этого многочлена будет и комплексыо сопряженное число г1 [1-4.4], т.е. уравнение Ре(я) = О имеет также один кореыь и в четвертом квадранте. Так как всего у этого причем точке г = О отвечает точка юс = 3 (рис. 8.8). При движении точки з по действительной оси из положения з = О в положение я = р (см. рис. 8.7) точка ю = Ре(я) движется в плоскости (ю) также по действительной оси из положения юс в положение юг = р + р+ 3 (1 = р), так что Ь.„Аг8Ре(х) = = О.
Движению точки з по мнимой оси из положения з =1р в положение з = О соответствует движение точки ю = Ре(ъ) в плоскости (ю) по дуге Гз из положения юз = — р + 3+ гр (1 = р) в положение юс. При этом радиус-вектор точки ю = = Ре(я) поворачивается (с учетом направления поворота) на Угол -аг8юз. СлеДовательно, 309 8.5. Логарифмический вычет уравнения шесть корней, то во втором квадранте должно быть два комплексных корня яг и «з, а в третьем — два сопряженных им корня лз и зз (возможно, что яз = яз, т.е. корни кратные). Теорема 8.7 (тпеорема Руизе).
Пусть 7(л) и зр(г)— функции, аналитические на замыкании В области В, ограниченной контуром Ь, и во всех точках этого контура удовлетворяют неравенству (8.32) )зр(з)! > (У(г)~, з Е Ь. Тогда их сумма зр(я) + 7'(я) и функция зр(г) имеют в Р одинаковое число нулей (с учетом их кратности). < Так как (Дг)) > О, я Е Х), то, согласно (8.32), )зр(з)) > 0 на контуре Ь и в силу (1.15) )зр(л)+Дз)! > ~~р(з)! — )Дз)! > О. Итак, функции зр(л) и зр(л) + Дз) отличны от нуля на Ь. Запишем р( )+У( ) = р( ) 1+ — ~, У( )1 ю( )у' откуда к азы з;-к зЗ =к,з зз( );-к зз(зз — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
