X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Напомним (см. 4.7), что для аналитической функции Дк), удовлетворяющей условию ~'(кз) ~ О, значение агб~'(лз) есть угол, на который нужно повернуть касательную в точке кз к кривой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной к образу этой кривой при отображении 332 д. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ и = Т («) в точке ио = Д«о) (часто об этом угле говорят как об угле поворота кривой в точке «о при отображении и = Д«) ).
Кроме того, значение ~~'(«о) ~ представляет собой коэффициент линейного растяжения в точке «о при отображении и = Д«). Поэтому аналитическая функция Д«), в точке «о удовлетворяющая условию У'(«о) ~ О, обладает следующими свойствами: 1) все кривые, проходящие через точку «о, отображаются функцией Т" («) в кривые, проходящие через точку ио = У(«о), причем все они поворачиваются на один и тот же угол агя Т"'(«о), так что углы между такими кривыми в точке «о сохраняются; 2) при отображении и = Т"(«) у всех кривых, проходящих через точку «о, линейное растяжение в этой точке одинаково.
Отображение и = Д«), которое в точке «о сохраняет углы между кривыми, согласно определению, является коиформнмм в этой точке. Из сказанного вьппе вытекает, что условие Т"'(«о) ~ О является достаточным для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным в точке «о. Можно показать, что условие Т"'(«о) ~ О является и необходимым для конформности отображения и = Д«) в точке «о, осуществляемого аналитической функцией Д«). Таким образом, согласно теореме 9.3, конформность аналитической функции в точке « ~ оо равносильна ее однолистности в этой точке.
Отметим два очевидных свойства конформных отображений: 1) если отображение и = Д«) конформно и однолистно, то обратное к нему отображение « = Т" 1(и) также конформно и однолистно, причем, если при отображении и = Д«) кривые в точке «о поворачиваются на угол 1о, то при отображении « = Т' '(ю) кривые в точке ио = Т"(«о) поворачиваются на угол — ~р (т.е. на тот же угол, но в противоположном направлении); 2) композиция Т'од двух конформных отображений Т' и д есть конформное отображение, причем угол поворота кривых в точке «о при отображении Т'0 д равен сумме угла поворота кривых в точке «о при отображении д и угла поворота кривых в точке д(«о) при отображении Т".
9.2. Свойства конформных отобраненнй Остановимся на понятии конформного отображения в бесконечно удаленной точке. В данном случае естественно в качестве модели расширенной комплексной плоскости взять сферу Римана, а кривые, проходящие через бесконечно удаленную точку, рассматривать как кривые на сфере Римана, проходящие через „северный полюс". Определение 9.2. Углом между кривыми 71 и 72 в точке н = оо называют угол между изображениями этих кривых на сфере Римана в „северном полюсе".
Отметим, что отображение и = 1/н осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости на себя, причем точка н = со переходит в точку ш = О. Можно показать, что зто отображение осуществляет поворот сферы Римана на 180' вокруг оси, параллельной действительной оси комплексной плоскости и проходящей через центр сферы. Ясно, что при этом отображении углы между кривыми в точке г = оо сохраняются. Другими словами, угол между двумя кривыми в точке н = оо равен углу между образами этих кривых в точке ш = 0 при отображении и = 1/г. После этого уточнения ясно, что следует понимать под отображением, конформным в точке г = со: такое отображение должно сохранять углы между кривыми в точке г = оо. Понятие угла между кривыми в бесконечно удаленной точке позволяет определить конформность отображения и = /(г) расширенной комплексной плоскости в себя в тех точках я, для которых либо н = оо, либо /(г) = оо.
Прбверять конформность отображения в таких точках удобно с привлечением отображения и = 1/г. Это дает возможность провести нужное исследование так же, как и в обычных точках области. Так, чтобы проверить конформность отображения ю = /(н) в точке гш в которой /(яо) = оо, нужно рассмотреть отображение и'1 = д(з) = 1//(н) и выяснить, является ли оно конформным в точке го. Действительно, отображение ю = /(я) является ком- 334 д.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ позицией отображений и~ = 1/ы1 и и~1 = д(я). Конформность отображения ю1 = д(я) в точке зе влечет за собой конформность в этой точке отображения и = Дя). Но отображение ю1 = д(з) переводит точку я = аз в точку ы1 = О. Критерием конформности этого отображения в точке ге является условие д'(Яе) Р' О, означающее, что точка ге ЯвлЯетсЯ нУлем пеРвого порядка функции д(я).
В этом случае эта точка является простым полюсом функции ~(я). Таблица 9.1 Как уже было отмечено, если функция Дз) аналитична в окрестности точки ге ф оо, то для конформности отображения ы = у(я) в точке яс необходимо и достаточно, чтобы функция у(я) была однолистной в точке ге. Однолистность как критерий конформности сохраняется и в бесконечно удаленной точке, т.е. в случае, когда гс = оо или Дзе) = оо. В табл.
9.1 указаны критерии конформности, которые в конечном счете сводятся к проверке локальной однолистности функции. Далее под отображением, нонформным е области, будем понимать отображение, которое конформно в каждой точке области и осуществляется аналитической функцией, однолистной в этой области. 335 9.а Теорема Римана 9.3. Теорема Римана В теории конформных отображений фундаментальной является следующая теорема*. Теорема 9.4 (тпеорема Римана). Пусть Р— односелзнол область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек.
Тогда: 1) существует аналитическая в Р функция и = Дн), конформно отображающая Р на единичный круг С: ~то~ < 1; 2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполняться условия (9.5) У(но) = тоо, агбУ (го) = о, где го е Р, шо Е С вЂ” заданные точки, се — заданное действительное число. При этом функция этими условиями определяется однозначно.
Область расширенной комплексной плоскости С, граница которой состоит из единственной точки, есть расширенная комплексная плоскость с выколотой точкой и в частном случае, когда выколота бесконечно удаленная точка, представляет собой комплексную плоскость С. Единственной областью в С без границы является вся расширенная комплексная плоскость. Не существует конформного отображения (с помощью аналитической функции) комплексной плоскости или расширенной комплексной плоскости на единичный круг ~то~ < 1. В самом деле, пусть аналитическая функция то = Т(н) конформно отображает С или С на единичный круг ~ю~ < 1.
Тогда эта аналитическая функция будет ограниченной на всей комплексной плоскости. По теореме Лиуеиллл такая функция постоянна и поэтому не может отображать плоскость на круг. Аналогично, если аналитическая функция ш = Т" (н) конформно отображает расширенную комплексную плоскость с одной выколотой точкой но на единичный круг, то эта функция является "Доказательство этой теоремы см., например, в книге: Шабат Б.В. 336 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ аналитической и ограниченной в области С 1(ге). В этом случае ле является устранимой особой точкой функции у(г).
Это означает, по сути, что у (я) является аналитической на всей расширенной комплексной плоскости. Согласно теореме Лиувилля, у(я) = сопя$, такая функция тоже не может отображать расширенную комплексную плоскость с одной выколотой точкой на единичный круг. Из теоремы 9.4 вытекает следующее утверждение. Следствие 9.3. Пусть границы односвязных областей Р и Р* в расширенной комплексной плоскости состоят более чем из одной точки. Тогда существует аналитическая в Р функция ю = у(я), конформно отображающая Р на Р*.
Эта функция определяется однозначно условиями (9.5), в которых юе Е Р*. < Докажем сначала существование такой функции. По теореме 9.4 существует такое конформное отображение ~ = ~р(я) области Р на единичный круг Ц < 1, что ~р(яе) = 0 и агя~р'(яе) = = 0 (рис. 9.1). Аналогично, существует конформное отображение ~ = Ь(ю) области Р* на тот же единичный круг Ц < 1, такое, что Ь(юе) = 0 и агяЬ'(юе) = — а. Тогда функция ю = = Ь )(~), обратная к функции (' = Ь(ю), конформно отображает круг Ц < 1 на область Р' так, что Ь '(0) = юе и агя(Ь ')'(0) = = а. Следовательно, функция ю = 1(я) = Ь ) (~р(я)) конформно ~=г(с) Рис.
9.1 9 3. Теорема Римана ЗЗТ отображает область Р на область Р* и удовлетворяет условиям (9.5). Перейдем к доказательству единственности функции Т(з). Пусть две функции Т1(з) и Яз) конформно отображают Р на Р* и удовлетворяют условиям Д,(яо) = юе и ахба(го) = с~ й = 1, 2. По теореме 9.4 существует конформное отображение ~ = 6(ю) области Р' на единичный круг Ц ( 1, такое, что 6(и~а) = О и асям(ше) = О. Функции ра(з) = 6(Яз)), а = = 1,2, конформно отображают область .Р на круг Ц ( 1 и удовлетворяют условиям ра(зо) = О и агбар~а(ло) = а, й = 1, 2.
По теореме 9.4 имеем ~р1(х) = рз(з) в Р, или Ьф(н)) = Ь(5з(г)) в Р. Вследствие биективности отображения ~ = 6(ш) заключаем, что 11(з) = ~г(з) в Р. а Замечание 9.2. Следствие 9.3 показывает, что в качестве канонической области можно выбрать не единичный круг ~г~ (1, а любую другую односвязную область, имеющую не менее двух граничных точек. В дальнейшем, как правило, в качестве канонических областей будем рассматривать либо единичный круг, либо верхнюю полуплоскость 1шг ) О. Итак, если границы односвязных областей Р и Р* состоят более чем из одной точки, то существует конформное отображение Р на Р*, причем это отображение не единственно. Для однозначного определения конформного отображения достаточно задать условия (9.5), которые часто называют норааировиой коифорааново отображения.
Эта нормировка содержит три произвольных действительных параметра: действительную иа и мнимую из части комплексного числа ше, а также аргумент производной а. Условия нормировки (9.5) можно заменить другими, также содержащими три независимых действительных параметра. Например, если области Р и Р* ограничены простыми контурами, то конформное отображение Р на Р* непрерывно вплоть до границы (см. теорему 9.5). В этом случае в условия нормировки можно ввести значения функции на границе: Дге) = ше и Дз|) = ш1, где хо Е Р, 338 У. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ело Е Р*, а г1 и ют — граничные точки областей Р и Р* соответственно, или Дль) = тою и = 1, 2, 3, где га и тоь — различные граничные точки областей Р и Р', пронумерованные в направлении положительного обхода границ этих областей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
