X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть граница области Р1 содержит интервал у некоторой прямой Х, а граница области Р*, содержит интервал у" некоторой прямой Х*, причем Р1 и Р,* находятся по одну сторону от прямой Х и Х*. Если функция Х1(я) конформно отображает область Р1 на область Р1, преобразуя интервал у в интервал у*, то эта функция имеет аналитическое продолжение Х(з), которое конформно отображает область Р1 0 у 0 Рз на область Р', 0 у" 0 Р~, где Рз и Р2 — области, симметричные Р1 и Р,* относительно прямых Х и Х*. При этом функция Х(г) отображает точки, симметричные относительно прямой Ь, в точки, симметричные относительно прямой Ь". Вопросы и задачи 9.1. Докажите теорему 9.1 об обратной функции с помощью теории функций многих действительных переменных.
9.2. Пусть функция Х(г) аналитична в круге ф < В, непрерывна в замкнутом круге ф < 1 и Х(г) > а при (з( = В. Докажите, что если )Х(0)) < а, то в круге (з~ < Н есть хотя бы один нуль функции Х(г). 9.3. Пусть функция Х(з), аналитическая в круге ф < 1 и непрерывная в замкнутом круге ф < 1, удовлетворяет условиям (Х(з)( < М, ~г( = 1, и Х(а) = О, где а — некоторая точка круга ф < 1. Докажите, что в круге )г( < 1 верно неравенство 9.4. Пусть функция Х(г) аналитична в круге /г! < 1, причем Х(0) = О, !У(з)! < 1 при /з! < 1, а в точке з = 1 функция Х(з) 351 Воиросы и задачи непрерывна и 1 (1) = 1.
Докажите, что если существует производная У'(1), то ~~'(1) ~ > 1. 9.5. Докажите, что функция 1(л) = л/(1 — л)з однолистна в круге ф < 1/2, но не является однолистной ни в каком круге ф < г радиуса г > 1/2. 9.6. Докажите, что если многочлен Р(х) = ао + а1 г +... + + а„я", а„ф О, является однолистной функцией в круге ф < В, то п)а„! < )а1(В~ ". 9.7. Пусть функция 1(л) = с1з+ сззз+ ... аналитична в некоторой окрестности точки л = О и с1 ~ О. Докажите, что в некоторой окрестности точки и = О определена обратная к 1(з) функция д(ш), представимая степенным рядом д(ю) = = а1ю + азиР +..., козффициенты а„которого удовлетворяют равенствам м= „[*у'( )( ) 1, ея, и равенствам 10. КОН<РОРМНЫЕ ОТОБРА:~КЕНИЯ Теория конформных отображений подчинена решению двух основных задач: 1) найти образ области при заданном отображении; 2) найти конформное отображение одной заданной области на другую.
Практические пути решения этих задач открывает прежде всего принцип соответствия границ, согласно которому конформное отображение одной области на другую определяется непрерывным и взаимно однозначным соответствием между их границами. Для решения первой задачи нужно найти образ границы заданной области, а для решения второй — аналитическую функцию, устанавливающую взаимно однозначное соответствие между границами двух областей.
Помощь в решении этих задач теории конформных отображений могут оказать и другие геометрические принципы теории функций комплексного переменного. В теории конформных отображений нет универсального метода, обеспечивающего решение какой-либо из двух задач. Нет общего алгоритма, позволяющего найти образ заданной области при заданном конформном отображении, а тем более нет алгоритма построения конформного отображения иэ одной области в другую. Ситуация здесь та же, что и во многих других разделах математического анализа: решение конкретной задачи можно найти, хорошо зная конформные отображения, осуществляемые элементарными аналитическими функциями, а также конформные отображения типовых областей.
Решение конкретной задачи сводят к решению одной из стандартных задач. Перейдем к рассмотрению конформных отображений, осуществляемых основными элементарными функциями. 353 1а1. Линейное отображение 10.1.Линейное отображение Оп2ображение, осуществляемое линейной функцией ю=ая+6, а,6ЕС, а~О, (10.1) аналитической в комплексной плоскости, называют,аинейным. Добавим к (10.1) условие ю(со) = со (10.2) Рис. 10.1 12 — Ю54 в бесконечно удаленной точке я = оо. Соотношения (10.1) и (10.2) определяют однолисн2ное отображение расширенной комплексной плоскости (е) на расширенную комплексную плоскость (ю). Однолистность нетрудно проверить: если ю1 = аг1 + 6 и ю2 = = ая2+ 6, то ю1 — ю2 = а(я1 — 22) и, следовательно, равенство ю1 = ю2 возможное то~~ко при 21 = 22.
Однолистность меж~о доказать и так: выражаем из (10.1) г = (ю — 6)/а и убеждаемы, что при различных ю е С соответствующие значения г е С различны. Так как бю/4Ь = а ~ 0 при любых г, то отпображение является кону1орленым всюду в плоскости (г) (см. табл. 9.1). Кроме того, линейная функция имеет в точке я = оо простой полюс. Поэтому линейное отображение конформно и в бесконечно удаленной точке.
Таким образом, это отображение конформно во всей расширенной комплексной плоскости. Установим геометрические свойства линейного отображения (10.1), рассмотрев сначала некоторые частные случаи этого отображения. 354 НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1. ю = »+ 6, 6 е С. В этом случае, каждая конечная точка» смещается в точку»+ Ь, т.е. происходит параллельный перенос всех точек комплексной плоскости (») на вектор, соответствующий комплексному числу 6 (рис. 10.1). 2. ю = е""», а Е 2.
Это отображение осуществляет преобразование поворота вокруг начала координат на угол а (рис. 10.2), так как для» = геня имеем ю = геди ~ ). Рис. 10.2 3. ю = г», г ) О. В этом случае отображение оставляет неизменным аргумент комплексного числа», но его модуль изменяется в г раз (рис. 10.3). Такое отображение представляет собой преобразование подобия с центром подобия в точке» = 0 и коэффициентом подобия г. Рис. 10.3 Любая линейная функция ю = а» + 6, где а = ге"", может быть представлена в виде композиции трех линейных функций частного вида: ю1 = е'~», ю» = гю~, ю = ю»+6. Отсюда заключаем, что линейное отображение общего вида (10.1) можно осуществить путем последовательного применения: 1) поворота около начала координат на угол о = агяа; 2) преобразования подобия с центром подобия в точке» = 0 и коэффициентом подобия г = )а); 355 10.1.
Лннейное отображение 3) параллельного переноса на вектор, изображающий комплексное число Ь. Так как каждое из трех составляющих отображений преобразует окружность в окружность, а прямую в прямую, то любое линейное отображение преобразует окружность в окружность и прямую в прямую. Его неподвижные точки можно найти из условия з = аз+ 6. Отсюда при а ~ 1 получаем 21 = = 6/(1 — а) и 22 = оо. При а = 1 получаем преобразование параллельного переноса, которое имеет единственную неподвижную точку 21 = оо. Отметим, что при а ~ 1 линейное отображение го = аз+ Ь можно представить в виде го — гв = а(з — еб), где зо— неподвижнзл точка отображения (для этого достаточно из равенства го = аз+ Ь вычесть тождество зе = ало + Ь).
Из этого представления видно, что линейное отображение то = аз+ 6 при а ~ 1 представляет собой композицию поворота комплексной плоскости вокруг точки еб на угол а = агяа и преобразования подобия (растяжения) с центром в точке ле и коэффициентом растяжения (а). Линейное отображение определено однозначно условиями, при которых однозначно определены параметры а и 6. Можно, например, потребовать, чтобы две различные точки 21 и 22 переходили соответственно в произвольно заданные, но различные точки шг и шг. Тогда параметры а и Ь будут удовлетворять системе уравнений гог = азг + Ь и гог = азг+ Ь, имеющей относительно а и Ь единственное решение.
Соответствующее отображение имеет вид то — го1 3 — 21 (10.3) Ш2 те1 аг 21 Линейное отображение будет определено однозначно и в том случае, когда в некоторой точке 21 заданы значение функции гог и значение ее производной (эта производная постоянна и на самом деле не зависит от точки 21). При этих условиях отображение можно записать в виде то — тог = а(2 — зг). гг 356 10.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пример 10.1. Найдем линейное отображение с неподвижной точкой г = 1+ 21, переводящее точку 2 = з' в точку ю = — з. Для нахождения параметров а и Ь в (10.1) составим условия 1+21 = а(1+21)+Ь и — з = аз+ Ь. Отсюда а— 1+ Зз (1+ Зз)(1 — з) — 2+ з, Ь = — з — (2+ з) з = 1 — Зз'. 1+1 2 Итак, искомое отображение имеет вид ю = (2+ 1)2+ 1 — Зз. Этот же результат следует иэ равенства (10.3), если в нем положить 21 з~ ю1 з и 22 ю2 1+21. ю = юз + 1 = 2юз+ 1 = 2зю1 + 1 = 21(з — з) + 1 = 212+ 3. и~=21в.вЗ 122 х в в Овз) ввз — -2~вз 1Д вз Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
