X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В случае нногоселзнмх областей вопрос о существовании конформного отображения является гораздо более сложным и этот вопрос далее рассматривать не будем. 9.4. Принцип соответствия границ Согласно следствию 9.3, две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий тьрнтет4втз соотпветпстпви* гратеиц.
Теорема 9.5*. Пусть Р и Р* — односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами Г и Г*, а функция Дг) однолистно и конформно отображает область Р на область Р'. Тогда: 1) функция т(г) имеет непрерывное продолжение на границу Г области Р, т.е. ее можно так доопределить в точках контура Г, что получится функция, непрерывная в замыкании Р области Р; 2) функция ~(г), доопределенная на границе, отображает контур Г взаимно однозначно на контур Г*, причем так, что положительному обходу контура Г будет соответствовать положительный обход контура Г'.
Верно также и обратное утверждение. Теорема 9.6. Пусть функция у(г) аналитична в односвязной области Р С С, ограниченной кусочно гладким контуром Г, 'Доказательство см. в книгах: Маркуезееич А.И. Теория аналитических функций, т. 2; Гурвиц А., Куранто Р. ЗЗ9 9.4. Принцип соответствия траиии и непрерывна в замыкании Р этой области.
Ксли функция у(г) осуществляет взаимно однозначное отображение контура Г на некоторый простой кусочно гладкий контур Г*, то 1(я) отображает область Р конформно и однолистно на область Р*, ограниченную контуром Г*, причем обходу контура Г в положительном направлении соответствует обход контура Г* также в положительном направлении м По сути, нужно доказать, что: 1) для каждой точки юе Е Р' существует только одна такая точка «о Е Р, что г'(те) = юе, т.е. функция г(и) — юе имеет только один нуль в области Р; 2) для каждой точки ю1 р Р* функция г'(т) не принимает значение юг ни при каком я Е Р.
Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция у(я) — юе не обращается в нуль на контуре Г, так как при и е Г точка ю =,г(я) попадает на контур Г', а юе лежит в Р* и не может принадлежать Г'. Значит, согласно принципу аргуягентпа, число нулей АГ функции г'(я) — юе в области Р равно 1 1 М = — ЬгАгб(~(я) — юе) = — Ьг Аги(ю — юе). 2и 2и Так как точка юе лежит в области Р*, ограниченной контуром Г* (рис. 9.2), то Ьг Аги(ю — юе) = ~2гг, где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура Г*. Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области Р полюсов функции Рис.
9.2 84О а ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ Т'(г), а по условию Т" (я) аналитична в Р. Следовательно, М = 1 и уравнение Т'(я) = шв в области .0 имеет только одно решение. Если точка т1 расположена во внешности контура Г', то Ьг. Агб(ю — ш1) = О и уравнение Т" (я) — ю1 не имеет решений в области Р. ~ Замечание 9.3. Теоремы 9.5 и 9.6 верны и для областей .0 и Р* расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами Г и Г*.
Теорема 9.7 (принцип сохранения области). Если функция Дз) аналитична в области Р и не является постоянной, то образ,0* = Т(Р) области Р также является областью. < Нужно доказать, что множество Р' линейно связное и открытое. Так как ю = у(я) в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связного множества при этом отображении является линейно связным множеством [1-5.8). Следовательно, Р* — линейно связное множество. Докажем теперь, что Р* — открытое множество, т.е.
любая точка юв Е Р' входит в Р* вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть яв б Р— один из прообразов точки юв. Если Т'(яв) ф О, то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности )яо — ивов( ( р точки юв определена функция ф(ы), обратная к функции у (з). Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении ш = у(з) и она целиком принадлежит Р*. Если ~'(яв) = О, то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему 9.2. > 9.5. Принцип максимума модуля функции Теорема 9.8 (принцип максимума модуля). Если функция Дя) аналитическая в области Р, а ее модуль ~Дг)~ достигает локальноео максимума в некоторой точке яв Е Р, то Дг) постоянна в Р. 9.5.
Принцип максимума модуля функции 341 Пусть ыо = у(»о). Для точки»о выберем произвольную окрестность ~» — »е~ < г, целиком принадлежащую области Р, и предположим, что у(») не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга ~» — »о ~ < г при отображении ял = у (») является областью. Значит, все точки некоторой окрестности ~ш — яре~ < д точки юе являются образами точек из круга )» — »о( < г.
В этой окрестности выберем точку юм для которой )ю1~ > (юо( (если юз ф О, то можно взять и~1 = (1+ 0,5р/)юо))яре, а если юо = 0 то в качестве яо1 можно взять любую точку указанной окрестности). Существует точка»1, удовлетворяющая неравенству ~»1 — »е( < г, для которой у(»1) = яоь Для этой точки имеем (Д»1)) = )ял1! > )и~о( = )Д»е)!. Поскольку окрестность точки»о можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка»е не является точкой локального максимума функции !П П.
Итак, если функция у (») не является постоянной в окрестности (» — »о( < г точки»з, то )~(») ) не имеет максимума в точке»о. Если же )~(»)! достигает максимума в некоторой точке»о области Р, то функция у(») постоянна в некоторой окрестности точки»о, т.е. у (») = С при )» — »о! < г. Согласно теореме о единстаенносупи апиаьтической функции, аналитические функции У(») и Ц») = С совпадают в области Р. Другими словами, функция у (») постоянна в Р. ~ь Из принципа максимума модуля вытекает следующее утверждение. Теорема 9.9. Если функция Д») аналитична в ограниченной области Р и непрерывна на замыкании Р этой области, то функция ~Д») ~ достигает наибольшего значения на границе дР области .Р.
~ Если функция у(») постоянна в Р, то в силу непрерывности она постоянна в Р и утверждение теоремы очевидно. Если же у(») не является постоянной в Р, то, согласно теореме 9.8, функция ~Д»)~ не может достигать наибольшего 342 д. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ значения в области Р, так как в противном случае она имела бы в Р точку локального максимума. Но ~~(г)~, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве Р, достигает на этом множестве своего наибольшего значения [У).
Это может произойти только на границе дР области Р. ~ Аналогичное утверждение для наименьшего значения модуля функции, вообще говоря, неверно. Действительно, любой нуль функции Т(г) является точкой локального минимума модуля функции ~Дг) (. Например, функция у (я) = я в круге ф < 1 достигает минимального значения модуля в точке я = О. Однако справедлива следующая теорема. Теорема 9.10. Если функция Дг) аналитична в области Р, не имеет в Р нулей и ее модуль достигает в Р локального минимума, то 1 (г) постоянна в этой области.
Полученные результаты показывают, что поверхность модуля р = ~~(я)~ аналитической в области Р функции у(я) не может иметь локальных максимумов, а локальные минимумы могут располагаться только на уровне р = О. Принцип максимума модуля приводит к следующему результату, установленному немецким математиком Г. Шварцем (1843-1921). Теорема 9.11 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге Р = (з Е С: ф < 1) функция у(г) удовлетворяет условиям у (О) = 0 и (Дг) ( < 1, г Е Р, то )~ (0)! < 1 и !Дя)! < !г!, я Е Р. (9.6) При этом равенство !~'(0)/ = 1 или /~(яо)! = !го/ возможно хотя бы в одной точке го Е Р лишь тогда, когда Т'(я) = яе"*, о Е Й.
< Для доказательства достаточно применить теорему 9.8 к функции д(я) = 1/Дя), являющейся аналитической в Р, так как у(я) ф 0 при я Е .Р. в 9.5. Принцип максимума модуля функции 343 м В силу того, что точка л = 0 является нулем 4уюсции /(г), эту функцию можно представить в виде /(я) = гф(я), где ф(г)— аналитическая функция в Р, причем ф(0) = /'(0). Рассмотрим круг Р1 С Р, ограниченный окружностью ~г~ = г < 1. Функция ф(л) аналитична в Р1 и непрерывна в Р1.
Поэтому, согласно теореме 9.9, она достигает наибольшего значения на границе дР1. При этом (4 (л)) = (/(я))/)г! < 1/г при л Е д11м так как по условию теоремы ~/(г) ~ < 1. Следовательно, всюду в Р1 имеем ~ф(г)! < 1/г. Предположим, что в некоторой точке ге е Р выполнено неравенство )ф(г)( > 1. Выберем г < 1 так, что г > (ло! и г > 1/)ф(ло)!. Тогда ло Е Р1 и, следовательно, )ф(го)) < 1/г < < )ф(го)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
