X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Иначе Ь переходит в окружа' ность. 364 Нь КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Переходя ко второму геометрическому свойству дробно- линейного отображения, введем следующее определение. Определение 10.1. Точки «и «* называют симметричными огпноситпельно окружностпи Г в С, если они лежат на одном луче, выходящем из центра «о окружности Г, и произведение их расстояний до центра окружности равно квадрату радиуса В окружности (рис. 10.6), т.е.
(«* — «о()« — «о) = В«и аг6(«* — «о) = аг6(« — «о). Рис. 10.6 Так как для точек «и «*, симметричных относительно окружности Г: )« — «о! = В, верно соотношение агя(« — «о) = аг6(«' — «о), то (« — «о) («* — «о) равно действительному положительному числу. А поскольку, согласно определению, !(« — «оН«* — «о)! = 1« — «о!1«* — «о~ = 11~, то (« — «о)(«' — «о) = Л или Аз « — «о = « — «о (10.10) Так как при приближении точки «к центру окружности Г симметричная ей точка «* стремится к бесконечно удаленной точке, то центр «о окружности Г и бесконечно удаленную точку естественно считать симметричными относительно окружности Г.
Введенное понятие симметрии относительно окружности (ее в элементарной геометрии называют инверсиег1) можно рассматривать как развитие понятия симметрии относительно прямой. Общность двух симметрий становится понятной, 365 10.2. Дробно пннейное отображение если для них сформулировать единый критерий. Напомним, что точки я и з* называют симметричными относительно прямой у, если они лежат по разные стороны от этой прямой на одинаковом от нее расстоянии, а соединяющий их отрезок перпендикулярен 7 (рис. 10.7). Рис. 10.7 Теорема 10.5 (ириптерий симметпричностпи тпочеи).
Две несовпадающие точки г и г* симметричны относительно окружности (прямой) Г тогда и только тогда, когда любая окружность или прямая, проходящая через эти точки и пересекающаяся с Г, перпендикулярна Г в точке пересечения. — радиусы двух окружностей, проведенные в точку пересечения, перпендикулярны; — радиус одной окружности, проведенный в точку пересечения окружностей, касается другой окружности.
< Перпендикулярность окружности и прямой означает, что прямая перпендикулярна касательной к окружности в точке пересечения. Это возможно в том и только в том случае, когда прямая проходит через центр окружности. Пусть точки г и з' симметричны относительно прямой Г. Через зти точки можно провести единственную прямую, и эта прямая, согласно определению симметрии относительно прямой, перпендикулярна Г. Рассмотрим окружность С, проходящую через точки н и г'. Центр окружности С равноудален от точек г и н*, а потому лежит на прямой Г.
Значит, окружность С перпендикулярна Г. Теперь перейдем к случаю, когда à — это окружность. Отметим, что две пересекающиеся окружности перпендикулярны, если перпендикулярны касательные к этим окружностям в точке пересечения. Но касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания. Поэтому в качестве критерия перпендикулярности двух окружностей можно взять одно из двух условий: 366 Нь КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пусть точки л и л* симметричны относительно окружности Г: ~л — лс~ = В. Единственная прямая, проходящая через точки г и г*, согласно определению симметрии относительно окружности, проходит через центр Г, а значит, перпендикулярна Г. Рассмотрим произвольную окружность С, проходящую через точки л и л*.
Из точки гс проведем касательную к окружности С, и пусть г~ — соответствующая точка касания. Согласно известной теореме элементарной геометрии, произведение секущих постоянно и равно квадрату касательной. В нашем случае, учитывая определение симметрии относительно окружности, получаем равенство (рис. 10.8) Рис. 10.8 Но равенство ~з~ — лс~ = В означает, что точка л~ лежит на окружности Г, т.е. касательная, проведенная из точки го, совпадает с радиусом окружности Г. Следовательно, окружности Г и С перпендикулярны.
Итак, доказано, что если точки з и г* симметричны относительно прямой 1окружности) Г, то любая прямая или окружность, проходящая через г и г* и пересекающая Г, перпендикулярна Г. Теперь докажем обратное утверждение. Пусть Г— прямая, а любая окружность или прямая С, проходящая через точки л и г*, перпендикулярна Г. Через точки г и л* проходит единственная прямая Ь и, как условлено, она перпендикулярна Г. Рассмотрим произвольную окружность, проходяшую через точки л и г'.
Так как эта окружность перпендикулярна Г, ее центр расположен на Г. Но тогда хорда окружности С, соединяющая точки л и г* и перпендикулярная Г, делится прямой Г пополам. Следовательно, точки л и л' симметричны. Пусть à — это окружность, а любая окружность или прямая, проходящая через точки г и л*, перпендикулярна Г. Это значит, что прямая Ь, проходящая через точки л и г', проходит и через центр гс окружности Г. Рассмотрим какую-либо 367 10.2. Дробно еинейное отображение окружность С, проходящую через точки г и н' и пересекающую Г в некторой точке нь Так как С перпендикулярна Г, радиус окружности Г, проведенный в точку пересечения н1, касается окружности С.
Согласно теореме о секущих, верно равенство !н — эо1!э' — но! = !э1 — эо| = Н Остается показать, что точки я и э* лежат на одном луче, выходящем из точки яо, или, иначе, на прямой Ь точка «о находится вне отрезка с концами г и н'. Но если бы точка го попала на отрезок с концами э и н*, т.е. находилась бы на хорде окружности С, то из этой точки нельзя было бы провести касательную к окружности С и окружность С не была бы перпендикулярна окружности Г.
Все условия определения симметрии относительно окружности выполнены. Значит, точки и и н* симметричны относительно Г. ~ Теорема 10.6. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любые точки н и н*, симметричные относительно окружности Г в С, в точки щ и то*, симметричные относительно образа Г' этой окружности.
< Рассмотрим семейство (7) всех окружностей на С, проходящих через н и г*. Каждая из этих окружностей перпендикулярна Г. Дробно-линейное отображение переводит каждую окружность .у в окружность 7' в С, перпендикулярную (в силу теоремы 10.1 о конформности этого отображения) образу Г' окружности Г. Согласно критерию симметричности точек, получаем, что точки и и то', через которые проходят все окружности семейства (7'), симметричны относительно окружности Г'. ь Теорема 10.7*. Для любых трех различных точек нп нэ, эз в С и трех различных точек ы1, ю2, щз в С существует дробно-линейное отображение щ = ~(з), для которого то = 1(э;), 1 = 1, 2, 3, и такое отображение единственно.
"Доказательство теоремы см. в книге: Прнеаное И.И. 368 10. КОНФОРМНБ1Е ОТОБРАЖЕНИЯ Замечание 10.2. Дробно-линейное отображение ы = 1(з), переводящее три различные точки я1, яг, зз в три различные точки ю1, юг, юз, можно определить уравнением З вЂ” 21 ЗЗ вЂ” Яг ш — 1Л1 1ЛЗ вЂ” шг (10.11) Зг ЗЗ 31 Ш Ш2 Е13 Ш1 Каждая из точек я1, и шь входит в равенство дважды, один раз в числителе, один раз в знаменателе.
Отметим, что соотношение (10.11) имеет смысл и тогда, когда одна иэ точек яь и шь является бесконечно удаленной. В этом случае разности, в которые входит эта точка, следует заменить единицей. Например, для 31 = со и юг = оо равенство (10.11) будет иметь вид 1 зз — зг ш — ш1 1 или З вЂ” Зг Шз — Е11 Пример 10.5. Найдем дробно-линейную функцию, отобрз жающую верхнюю полуплоскость 1тя ) 0 на единичный круг ~ю~ < 1 так, что заданная точка з1 (Ьп з1 ) 0) переходит в центр ш1 =0 круга.
Искомое отображение переводит действительную ось 1шз = = 0 в единичную окружность рс! = 1 (рис. 10.9). Но усяовию ю(з1) = О. В силу свойств дробно-линейного отображения точка 21' = я1, симметричная точке з1, перейдет в точку, симметричную ю = 0 относительно окружности ~и~ = 1, т.е. в бесконечно Рис. 10.9 369 10.2. Дробно-линейное отображение удаленную точку. Таким образом, ю(аз) = оо. Используя (10.11) и учитывая замечание 10.2, получаем г-з1 зз — зз ю — 0 1 а — х1 зз — з1 1 юз — 0 или, обозначая А = юз(хз — зз)/(зз — з1), (10.12) ю=А 3 — з1 Покажем, что (А! = 1. Если г = х Е К, то (з — з1( = (з — ф.
Поэтому из (10.12) следует, что отображение (10.12), переводящее действительную ось 1пзх = 0 в единичную окружность ~ю~ = 1, удовлетворяет условию М! = 1 = !А! (х — Я откуда ~А~ = 1 и А = е"". Значение а Е К можно выбрать произвольно, а чтобы оно определялось однозначно, нужно дополнительное условие.
Например, можно потребовать, чтобы при отображении точка гз = Кег1 переходила в точку юз = 1. Тогда получим А=1. Везз — (Вех1 — 11тз1) г 1тз1 — — 1, Кех1 — (Йех1 +11тз1) — 1 1пзз1 т.е. о = к. Пример 10.6. Найдем дробно-линейное отображение, переводящее единичный круг ф < 1 в единичный круг (ю( < 1 так, что точка з1 первого круга переходит в центр ю1 = 0 второго. Согласно (10.10), точкой, симметричной точке г1 относительно окружности ф = 1, является точка х' = 1/з1 = зз, которая в силу теоремы 10.6 и определения 10.1 искомым отображением переводится в точку ю(1/з1) = юз = оо. Используя (10.11) 370 3 О.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ и принимая во внимание замечание 10.2, получаем « — «1 «з — 1/«1 и — 0 1 « — 1/«1 «з — «1 1 из — О ' или, обозначая А = -из(«3«1 — 1)/(«з — «1), и=А ««1 1 — ««1 (10.13) Так как точка « = 1 искомым отображением переводится в точку единичной окружности (и! = 1, то из (10.13) находим 1 = )А)! ! = (А! = (А(, т.е. А = е"", где гг б К можно выбрать произвольно. Пример 10.7. Построим дробно-линейное отображение круга ф < 1 на круг (и! < 1 так, чтобы и(1/2) = аг8 и'(1/2) = О.
Используя (10.13) при «1 — — 1/2 и А = е'а, получаем -1/2; 2 — 1 и(«) = еаза = е1а 1-«/2 2-« Дифференцируя, находим 2(2 — «) — (2« — 1) ( — 1) Зе' и'(«) = е' (2 «)3 (2 «)г Из условия аг8и'(1/2) = 0 следует, что аг8(4е""/3) = о = О. Значит, искомое отображение имеет вид и(«) = (2« — 1)/(2 — «) Пример 10.8. Для функции и=1/«найдем образы: а) окружности яз + уз = ая, а ) 0; б) параболы у = «3. а. Согласно замечанию 10.1, отображение и = 1/«переводит любую окружность или прямую, проходящую через точку « =О, в прямую. 371 10.2. Дробно-линейное отображение Рис. 10.10 Окружность х2+ у2 = ах (рис. 10.10) проходит через начало координат х = О, которое при отображении щ = 1/х переходит в точку ю = со. Поэтому образом данной окружности является прямая.
Так как прямая вполне определяется двумя точками, то достаточно выяснить образы двух точек, лежащих на окружности. В качестве таких точек, как правило, берут те, положение которых можно легко определить. На окружности хз+ у~ = ах также расположена точка г = а, переходящая при отображении щ = 1/х в точку щ = 1/а, и точка х1 = а/2+1а/2, переходящая в точку 1 2 1 — г 1 а/2+1а/2 а (1+ ти1 — г) а а Сравнивая образы точек г = а и х1, заключаем, что заданная окружность при отображении ю = 1/х переходит в вертикальную прямую Веы = и = 1/а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
