X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 52
Текст из файла (страница 52)
б. В общем случае для нахождения образа заданной кривой следует выделить действительную и мнимую части отображающей функции, положив х = х+ гу и и = и+1о. В данном случае имеем 1 1 х — 1у г 2 "+'" х+1у х2+у2 т.е х у И= о=— х2 + у2 ' хз+ у2 ' Теперь, используя уравнение параболы у = хз, найдем связь между и и е. Последовательно находим и2+ оз = 1/(хз+ у2), х = = и/102 + о2) у одп2 + е2) и о/(п2 + оз) п2/(02 + о2)2 372 Ну КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ тт ц2~(ц2 + тт2) откуда получаем уравнение ц2 ттз((1 + и) кривой Г (рис.
10.11), называемой ццссвцдой Дцонлеса (древнегреческий математик Диоклес применил зту кривую во П в. до н.з. для графического решения задачи об удвоении куба). Образом точки « = О, лежащей на параболе у = «з, является точка ю = оо, а образом точки « = оо — точка ю = 0 (циссоида проходит через точку ю = 0 и является неограниченной кривой). Рис. 10.11 Пример 10.9. Найдем образ правой полуплоскости Ке «> 0 при отображении ю = — т'(« — 1)/(«+ 1). Границей правой полуплоскости является мнимая ось В.е« = = О.
При заданном отображении зта ось переходит в окружность |ю| = 1. Действительно, |ю| = — т' = =1, ,ту-1| |1-1у| =!- ту+ 1 | |1+ ту| поскольку комплексные числа 1 — ту и 1+ ту являются комплексно сопряженными, а значит, имеют равные модули. Согласно принципу свотпветпстивия границ, образом правой полуплоскости является либо круг |ю| < 1, либо область |ю| > 1, так как окружность |ю| = 1 является общей границей двух областей. Взяв точку «т = 1 в правой полуплоскости, находим ее образ ют = О, который попадает в круг |ю| < 1. Следовательно, образом полуплоскости Ке« > 0 является круг |ю| < 1 (рис. 10.12). 373 10.2.
Дробно-линейное отображение . л-1 еу= — 2— а+1 Рис. 10.12 2х — 1 (2х — 4)(2 — 4х) Зх, 1+ хг 2+йх (2+1х)(2 — йх) 4+хг 4+хг Стаю быть, 2(1 + г) 4+ хг Зх 4+ хг Отсюда хг = — (4е+ 2)/(о+ 2) и 9хг 9(4о + 2) (4э+ 2)(о+ 2) (4+х )' ( +2)(4 4е+г)' или 4иг + 4ег + 10е + 4 = О. Приводя зто уравнение окружности к каноническому виду иг + (е + 5/4)г = (3/4)г, устанавливаем, что В = 3/4 и юе = — 51/4.
Итак, образом действительной оси будет окружность |ю+ 5е/4~ = 3/4 (рис. 10.13). Поскольку точке Пример 10.10. Выясним, на какую область Р* отображается полукруг Р = (я Е С: ф (1, 1щя > О) с помощью функции в = (2я — 1)/(2+ 1н). Граница области Р состоит из верхней полуокружности ф = 1, 1шя > 0 и отрезка [ — 1, 1) действительной оси. Найдем образ границы.
Отрезок действительной оси, не проходящей через точку н = — 2/1 = 2а, согласно замечанию 10.1, переходит в дугу окружности некоторого радиуса те с центром в некоторой точке шб. Для нахождения В и юб в заданную функцию подставим я = = х и выделим действительную и мнимую части: 374 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ э = г/2 полукруга Р соответствует точка ю = О, то область Р', очевидно, будет располагаться во внешности этой окружности.
2~-~ ю= 2+и Рис. 10.13 Рассмотрим оставшуюся часть границы области Р. Образом окружности ~л~ = 1, которая не проходит через точку г = 21, согласно замечанию 10.1, является окружность. Чтобы установить уравнение этой окружности, в заданную функцию подставим л =ею; 2е'~ — г 2+е яОэе '~ 2+е Ця7~+~~ ю= . =еол ез ф 2+1еьл 2+еЯНэелл 2+еФ~/э+~) ' Переходя в этом равенстве к абсолютным величинам и учитывая, что числитель и знаменатель дроби справа являются комплексно сопряженными числами и их модули равны, получаем ~ю! = 1. Следовательно, образом окружности )г) = 1 является окружность ~ю~ = 1, а образом полукруга Р будет область Р', полученная пересечением внутренности окружности ~ю~ = 1 и внешности окружности )ю+ 51/4) = 3/4 (см.
рис. 10.13). Пример 10.11. Найдем образ полосы 0 < Вел < 1 при отображении ю = (л — 1)/э. Граница области Р состоит из двух прямых: Вез = 0 и Вез = 1. Образом первой прямой, проходящей через точку г = О, согласно замечанию 10.1, является прямая, которую можно найти, определив образы ю~ и юэ двух точек прямой Вез = О.
375 10.2. Дробно-линейное отображение Возьмем, например, точки «2 = 1 и «2 = — г: г — 1 — 1 (1 — 1) ш~ = —. =1+г, 1 1 — г — 1 1( — 1 — 1) Ш2— — 1 1. — 1 1 Следовательно, образом прямой « = 0 является прямая и = 1 (рис.
10.14). Рис. 10.14 Прямая Ве« = 1, не проходящая через точку « = О, при этом отображении переходит в окружность. Подставим в заданную функцию « = 1+ гу и выделим действительную и мнимую части: ед(1 — 1У) 1+ гу — 1 2О 1+ еу (1+ 1р)(1 — гу) 1+ у2 1+ у2 Отсюда и =у2/(1+у2), о =у/(1+у2), у2 = и/(1 — и) и и и (1+ р2)2 ( „) 2 нли и2 — и+ о2 = О, что приводит к каноническому уравнению (и — 1/2)2+ о2 = (1/2)2 окружности радиуса 1/2 с центром в точке и = 1/2 (см.
рис. 10.14). Итак, образом прямой Ве« = 1 является окружность ~и~ — 1/2~ = 1/2. Точка « = 1/2 заданным отображением переводится в точку 2о = — 1, лежашую во внешности этой окружности. Поэтому образом полосы 0 < < Ве«< 1 будет область Р* = (2о б С Веш < 1, )ш — 1/2( > 1/2) (см. рис. 10.14).
376 НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пример 10.12. Построим отображение круга ~г — 4|~ (2 на полуплоскость |шю ) Нею так, чтобы центр круга перешел в точку ю = — 4, а точка 2 = 21 окружности перешла в начало координат ю = О. По условию искомое отображение должно переводить окружность ~л — 4г~ = 2 в прямую е = и (рис. 10.15), а точку 22 = 4| — в точку ю1 = — 4. Точка 22 = оо симметрична точке 22 относительно окружности ~г — 4г~ = 2. Искомое отображение, согласно теореме 10.6, должно переводить точку 22 в точку ю2 = — 42, симметричную точке ю~ = — 4 относительно прямой е = и. Наконец, точка 22 = 2| должна переходить в точку юэ = О.
Используя (10.11) и учитывая замечание 10.2, получаем 2-41 1 ю-(-4) 0-(-44) 1 2| — 4| ю — ( — 4|) 0 — ( — 4) ' или (ю+4)/(ю+42) = (2 — 4г)/2. Итак, искомым отображением будет ю = — 4(42+ 2)/(г — 2 — 4|). ю 4 и+2 2 — 2 — 4~ Рнс. 10.15 Пример 10.13. Выясним, какая область является образом области Р при отображении ю = (2 — 1)/(2+ 1), если область Р ограничена двумя окружностями Ь и Ьы имеющими общую точку 2 = 1 касания с прямой |. При этом прямая 1 составляет с действительной осью угол о, а окружность 1 проходит через точку 22 = — 1 (рис. 10.16).
377 10.3. Целая стецекиая функция Рис. 10.16 Очевидно, что действительная ось 1ша = 0 при заданном отображении переходит в действительную ось 1шю = О, точка з = 1 — — в начало координат и = О, а точка г1 = — 1 — в точку ы~ = оо. Поэтому в силу теоремы 10.4 образом окружности Х будет прямая Х', проходящая через начало координат и = = О. Согласно теореме 10.2, дробно-линейное отображение конформно в точке з = 1 и сохраняет угол с~ между образами действительной оси 1шз = 0 и окружности Х.
Следовательно, прямая Х* будет составлять тот же угол еа с действительной осью 1пзш = 0 (см. рис. 10.16). Окружность Х1 и прямая 1 ые проходят через точку з1 —— — 1, и поэтому они переходят в окружности Х ~ и Г соответственно, касающиеся прямой Х* в точке и = О. Итак, искомая область Р' ограничена прямой Х* и окружностью Х г Прямая Х* и окружность Х 1 разделяют комплексыую плоскость (и) на три области, но лишь у одной из этих трех областей граница включает и окружность, и прямую (см. рис.
10.16). Эта область, расположенная левее прямой Х* и вые окружности Ц, и является образом области Р при рассматриваемом отображении. 10.3. Целая степенная функция Лиыейная и дробно-линейная фуыкции (см. 10.1 и 10.2) являются однолистными в С и осуществляют нонформное отображение расширенной комплексной пяосностн на расширенную комплексную плоскость. Других функций, обладающих таким свойством, не существует. Действительно, согласно табл. 9.1, 378 НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ такая функция (обозначим ее через 7" (э) ) должна быть аналитической всюду в расширенной комплексной плоскости, за исключением одной точки, являющейся простым полюсом.
Если этот полюс — конечная точка гз и вычет в ней равен А, то функция д(я) = )'(я) — А/(э — эс) аналитична в области С ~ (гс) и точка гс для д(г) оказывается устранимой особой точкой. В силу теоремы Лиувиллл функция д(э) постоянная, а функция 7" (э) — дробно-линейная. Если же полюс функции 7" (э) — бесконечно удаленная точка, то в этой точке главная часть лоранов- ского разложения имеет вид Аг, а функция 7" (э) — Ал является ограниченной аналитической функцией в С, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
