X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 53
Текст из файла (страница 53)
постоянной в силу теоремы Лиувилля. В этом случае 7'(г) = Аэ +  — линейная функция. Линейную и дробно-линейную функции удобно использовать для построения конформных отображений областей, границы которых состоят из отрезков прямых и дуг окружностей. Если же граница области иная, то для построения конформного отображения, скорее всего, придется привлекать другие аналитические функции. Для таких функций важно прежде всего выяснить, в каких областях они однолистны. Если установлены области однолистности функции 7(г) и область Р лежит в одной из них, то образ Р* области Р можно найти, определив его границу дР* = 7(дР).
Зная, куда переходит контур ОР при отображении 7'(г), по принципу соответствия границ находим и область Р*. Если э(~) = х(1) + ту(Ф), 1 Е Т, — комплексное уравнение кривой в плоскости (г), то комплексное уравнение образа этой кривой в плоскости (ю) при отображении и = ~(э) имеет вид ю = 7 (г(1)) = и(х(1), у($)) + ге(х(8), у(1)).
В общем случае исследование отображения, осуществляемого данной функцией, лучше всего проводить следующим образом: выбираем семейство кривых, покрывающее интересуюшую нас область, и находим образы кривых этого семейства. Ясно, 10.3. Целая етеиеииая 4уикиия 379 что выбор семейства кривых зависит от конкретного вида области и отображающей функции. Покажем, как таким образом можно исследовать отображения, осуществляемые основными элементарными функциями. Это даст нам некоторый запас простейших отображений, которыми можно оперировать в дальнейшем как стандартными (или „табличными" ). При изучении различных отображений приходится иметь дело с областями, границы которых включают лучи, выходящие из начала координат. Такие лучи можно задать уравнением ах3з = еа. Рассмотрим сначала наиболее популярную из степенных функций ю = а~, некоторые сведения о которой были приведены в 3.1.
Ясно, что эта функция однолистна в области Р тогда и только тогда, когда в Р нет точек иа и лз, связанных равенством за = — зз, т.е. симметричных относительно точки а =О. Итак, функция ю = из однолистна в области Р в том и только в том случае, когда эта область не содержит ни одной пары точек, симметричных относительно начала координат г = О. В частности, эта функция однолистна в любой полуплоскости, граница которой проходит через точку я = О. Так как йю/аЬ = = 2я ~ 0 при з ~ О, то отображение ю = иа конформно во всей плоскости (и), кроме точки г = О.
При з = 0 конформность отображения нарушена, причем оказывается, что углы между кривыми в этой точке при отображении удваиваются. Рассмотрим, куда функция ю = яз отображает координатные сетки полярной и декартовой систем координат. Начнем с нахождения образов лучей аг3г = ~р = сопв$ и окружностей ф = г = соней. Из примера 3.1 следует, что луч аг3з = са переходит в луч аг3ю = 2ее (рис. 10.17), а дуга окружности ~и~ = г, ее < аг3и < 13 (Д вЂ” са < х) — в дугу окружности ~ю~ = г~, 2ее < аг3ю < 2Д. В примере 3.1 показано, что полуокружность |и~ = гд, 0 < агни < и переходит при этом в окружность |ю~ = гв с выколотой точкой 2 .2 — о. 380 Нь КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ щ 22 — в Рис.
10.17 Пример 10.14. В силу сказанного в 3.1 функция га = гг конформно отображает кольцевой сектор Хг = (2 Е С: г < )2! < В, 0 < ах8г < а1, о < и, г ) О, на кольцевой сектор Р* ~га ~ 1. „г < )г~ < Нг 0 < аг8ш < 2о~ (рис. 10.18). 4~ Рис. 10.18 Из примера 3.2 следует, что функция ш = 22 взаимно однозначно отображает прямые 1шх = у = да ф 0 и Вел = х = ха ф 0 на параболы (10.14) В случаях ра = 0 и ха = О, т.е. при отображении действительной и мнимой осей, зти параболы вырождаются в полуоси действительной оси и > 0 и и < О, проходимые дважды.
Отметим, что Ю аа 2 4„г 2 2 и и=х — —. о 4хг о 10.3. Цеяая стеленная функция параболы (10.14) пересекаются под прямым углом в силу сохранения углов при конформном отображении. Фокусы всех парабол расположены в одной и той же точке и = О. Пример 10.15. Функция и = яз конформно отображает квадрат Р=(яЕС: а<Нея<Ь, а<1шг<Ь), а>0, с вершинами А, В, В1 и А1 на криволинейный четырехугольник А" В*В1А1 (рис. 10.19), ограниченный дугами парабол вида (10.14), а полуплоскость 1шя > 0 с разрезом по отрезку мнимой оси, соединяющему точки з = 0 и я = гп (Ь > 0), — на плоскость (ы) с разрезом по лучу и > — Ьх действительной оси ею = 0 (рис. 10.20).
ф 2 х Рис. 10.10 Рис. 10.20 Перейдем теперь к более общему случаю иелоя1 супепенной фукииин ю = г", и Е К При и > 2 отображение, осуществляемое такой функцией, является конформным во всей плоскости (я), кроме точки я = О. Действительно, при я ф 0 имеем йо/Ия = = пя" ~ ф О. Нетрудно убедиться в том, что в точках я = 0 и г = оо исследуемое отображение изменяет углы между кривыми, т.е. в этих точках нарушается конформность. Покажем это, например, для точки г = О. Рассмотрим в плоскости (я) лучи агяя = я/(20) и агяя = я/и.
Эти лучи при отображении и = яа перейдут в лучи агбю = и/2 и агяш = я — угол между лучами увеличивается в и раз. Функция и = г" однолистна в области Р тогда и только тогда, когда в этой области нет различных между собой точек я~ и гз, связанных равенством г1~ — — яз, или (яз/я1)" = 1. Ис- 382 20. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ пользуя формулу Муавра, получаем лв = е~ез '"~", я = О, п — 1, т.е.
для однолистности этой функции в области Ю необходимо и достаточно, чтобы в этой области не было точек, которые переходят друг в друга при повороте на угол, кратный 2я/и. Область между действительной осью и лучом агбе = 2п/и (неограниченный сектор с углом при вершине 2я/н) функция и = е" конформно отображает на всю плоскость (ю) с разрезом вдоль положительной части действительной оси, причем лучу агяе = 0 соответствует верхний берег разреза, а лучу агбе = = 2я/и — нижний (рис. 10.21). Тот же образ соответствует любому из секторов, ограниченных лучами агяе = 2н(й — 1)/н и асям = 2яй/и (к е е.), причем первому из этих лучей отвечает верхний берег разреза, а второму — нижний.
Рис. 10.21 Функцию ю = г" удобно использовать тогда, когда нужно отобразить угол с прямолинейными сторонами на другой угол также с прямолинейными сторонами, но в п раз больший первого. Пример 10.16. Найдем функцию ш = У(е), конформно отображающую полукруг ~г~ ( 1, 1ше > 0 на верхнюю полуплоскость 1пио ) 0 при условии, что ю( — 1) = О, ш(0) = 1 и ш(1) = оо. Рассмотрим сначала дробно-линейное отпображенне Де), переводящее три заданные граничные точки полукруга в точки О, 1и оо плоскости (~): Д вЂ” 1) =О, ДО) = 1 и Д1) = со. Используя (10.11) и учитывая замечание 10.2, находим 383 10.3.
Целая степенная функция Отсюда получаем ~ = (1+ я)/(1 — я). Согласно замечанию 10.1, образом диаметра полукруга является действительная полуось 1ш~ = О, ВеС > О, так как ей принадлежат точки с,( — 1) = 0 и ~(0) = 1, а образом окружности ф = 1 — мнимая полуось Ве~ = О, 1тп~ > О, поскольку Д1) = сю и прямой угол между диаметром и полуокружностью в точке г = — 1 при конформном отображении останется в точке Д вЂ” 1) = 0 прямым (рис. 10.22).
Итак, образом полукруга является первый квадрант плоскости (~), отображаемый функцией и = ~2 на полуплоскость 1п1 и > О. В итоге получаем Ьй ~ Рис. 10.22 Пример 10.1Т. Построим конформное отображение области Р = (зЕС: ф >1, 1шя >0) на верхнюю полуплоскость 1пио > О. Дробно-линейная функция ~ = (1+ з)/(1 — я), рассмотренная в примере 10.16, в данном случае отображает область Р на второй квадрант плоскости (('), который функцией тп = ~~ переводится на нижнюю полуплоскость 1пип ( О. Искомое отображение ю(г) будет отличаться от отображения, построенного в примере 10.16, лишь знаком. Отметим, что можно было бы использовать другое дробно-линейное отображение ~ = (я — 1)/(з + 1), которое отображает область Р на первый квадрант плоскости (~), а затем применить степенную функцию и = ~з (рис. 10.23).
384 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Рис. 10.23 Пример 10.18. Построим отображение, переводящее криволинейный двуугольник Р=(гЕС: )г(>1, (з — (((Ц, в верхнюю полуплоскость 1пию > О (такой криволинейный двуугольник обычно называют .ауночиой, рис. 10.24). 4 о1 Рис. 10.24 Построим сначала дробно-линейное отображение, переводящее обе окружности, ограничивающие луночку, в прямые на плоскости (~). Для этого достаточно перевести одну из точек г( и яя пересечения окружностей (одну из вершин луночки) в бесконечно удаленную точку ~ = оо. Переходя к полярным уравнениям окружностей р = 1 и р = 2я1п<р, для точек пересечения получаем условие я)ну=1/2.
Отсюда я( =е '~~ и яя =е~~'~~. Нетрудно проверить, что отображение ~ = а(г — е"'~е)/(я — ез'"'~Я) переводит точку я1 в ~ = О, а точку зз — в точку ~ = оо. Значение а найдем, задав, например, условие Д1) = 1, что дает 385 10.3. Целая стеленная функция а = е ~ '/з. Получим отображение зк4/з н — е '/ эя4/з н — ~/3/2 — 1/2 Дз) =е =е и — е6"4/6 н + ~/3/2 — г'/2 которое в силу условий г,(н1) = О, Дт) = 1, ~(зз) = оо переводит окружность ф = 1 в действительную ось плоскости (г,). Участок границы нашей области, являющийся частью этой окружности, перейдет в положительную часть действительной оси. Угол, на который нужно повернуть касательную к окружности ~н~ = 1 в точке нм чтобы получить касательную к окружности ~н — 4~ = 1, равен — я/3.
Это нетрудно вычислить через угол между двумя радиусами этих окружностей, проведенными в точку зь Поэтому образом окружности ~н — г~ = 1 является прямая, которая составляет с действительной осью угол — я/3. Обходу границы луночки в положительном направлении соответствует обход по границе образа этой луночки, причем образом луночки будет область, остающаяся слева при движении точки г, (см. рис.
10.24). Отображением пг4 = е '/зг„означающим поворот на угол я/3, переведем выделенную в плоскости (г,) область в стандартное положение в плоскости (пг4), а затем используем целую степенную функцию пг = пг~з. В итоге получим искомое отображение — =("" ~'- -(- "* """--'" ""-'" кг/6 к 3 ге=пг4 — — е г, =е е . ) = — ~ ) . н — е6"/6 2н+ ~/3 — 1 Пример 10.19. Отобразим на верхнюю полуплоскость луночку Р=(нЕ С: )н! > 2, (н — ~Г2! (~/2) (рис. 10.25). Перейдем к полярным уравнениям г = 2 и г = 2~/2 сонг/г окружностей, дуги которых ограничивают луночку, и найдем точки н4 = 2ек4/4 и нз = 26 и'/4 пересечения этих окружностей.
Отображение г, = а(н — 2е ™/4)/(н — 2е"'/4) переводит точку н4 в точку /' = оо, а точку не — в точку г", = О. Дополнительно потребовав, чтобы г, (О) = 1, находим а = 41 Таким образом, при 13 — 2054 386 1а кОИФОРмные ОтОБРАжения ч а) Е=д4:,$ ' о 4 Рис. 10.25 отображении е -2е — '/4 е — (1 — 4) /2 0~) — 4 2елн/4 (1 ( ) /2 та часть границы луночки, которая является дугой окружности (я — ь/2! = ~/2, в силу условия ДО) = 1 перейдет в отрицательную часть действительной оси. Угол в точке е2 между окружностью )е — ~Г2! = 1/2 и окружностью ф = 2 равен и/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
