X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Теорема 9.1 (тпеорема об обратной фуннцни). Пусть функция ю = У(я) аналитична в точке г = зю, юю = Дзю) и У (лю) И О. Тогда: 1) существуют такие к ° К = (ю Е С )ю — юю( < р), что для каждого ю б К' уравнение 1(з) = ю имеет единственное решение г = ф(ю) в круге К, т.е. в круге К' определена функция ф(ю), обратная к функции Дг); 2) функция я = ф(ю) аналитична в круге К', 3) в круге К' справедлива формула 327 9.
К Взаимно однозначные отобраьнениа Рассмотрим круг К' = (ю Е С: ~ю — юо~ < д~ и выберем в нем произвольную точку юь, т.е. считаем, что ~юь — юе~ < д. Функция д(л) = ~(г) — юь может быть представлена в виде д(а) = 7 (а) — юь = Пз) — юо + (юо — юь) где функция ь'(н) — юс и постоянная функция 6(н) = юс — юь аналитичны в замкнутом круге К и на его границе 7 удовлетворяют неравенству Дг) — юо) > ьь > ~юь — юс~ = !6(г) ~. В силу пьеоремьь Рдюе функции Дз) — юе и У(г) — юо+ ьь(а) = = д(г) в круге К = (г е С: (г — го( < т) имеют одинаковое число нулей с учетом их кратности, т.е. один нуль, так как функция ~(н) — юо в этом круге имеет один простой нуль в точке «с.
Итак, функция Да) — юь в круге К имеет единственный нуль. Это значит, что функция 7(з) принимает в этом круге значение юь только один раз. Так как точка юь Е К' выбиралась произвольно, заключаем, что в круге К' определена функция з = 4 (ю), которая каждой точке ю е К' ставит в соответствие ее прообраз а при отображении ю = Дз), т.е. функция, обратная к функции ю = ~(а).
Отметим, что функция з = ф(ю) отображает круг К' радиуса р в круг К радиуса г. Приведенным выше рассуждениям можно придать следующий смысл. Каков бы ни был круг К радиуса т с центром в точке зс существует круг К' радиуса д с центром в точке юе, образ которого при отображении а = ф(ю) целиком содержится в круге К. Но это означает, что функция ььь(ю) является непрерывной в точке юс.
Эти рассуждения можно провести для любой точки в круге К', т.е. функция ь)ь(ю) непрерывна в круге К'. Выберем произвольную точку ю е К', и пусть ю+ Ью Е К'. Рассмотрим отношение ьан/Ью, где Ью ~ О, а ьаз = ьр(ю+ьаю)— — фю). Заметим, что если ьаю ~ О, то также и ьан ~ О, поскольку функция ю = 7'(г) взаимно однозначно отображает 328 9.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ достаточно малую окрестность точки ле на окрестность точки юе. Запишем тождество (9.4) Если Ью — ~ О, то в силу непрерывности функции г = 4(ю) имеем Ьл -+ О. Перейдем в (9.4) к пределу при Ью -+ О. Так как функция у(г) дифференцируема в точке л = ф(ю), причем 1'(г) ~ О, то предел правой части при Ьз — ~ 0 (а значит, и при Ью — ~ 0) существует и равен 1/~'(л). Следовательно, при Ью -+ 0 существует предел и левой части (9.4), представляющий собой значение производной ф'(ю) функции ф(ю) в точке ю.
Поскольку точка ю Е К' бь|ла выбрана произвольно, всюду в круге К' верно соотношение (9.2), а в силу определения 4.3 функция л = Ф(ю) аналитична в каждой точке круга К'. ~ Теорема 9.2. Пусть функция Дг) аналитична в точке ге, юв = Дле), и ее производная ('(х) имеет в этой точке нуль порядка т — 1.
Тогда существуют такие круги К = = (г Е С: )л — Щ < г) и К' = (ю Е С: (ю — юе! < И), что для любого числа ю Е К', ю ф юе, уравнение Дл) = ю имеет в круге К ровно т различных корней. < Из условий теоремы следует, что функция у(х) — юе имеет в точке хе нуль т-го порядка.
Как и в доказательстве теоремы 9.1, выберем замкнутый круг К = (л б С: )л — хе( < г), в котором у функций Дх) — юе и ~'(л) нет нулей, кроме точки ге. Выбрав действительное число д согласно формуле (9.3) и повторив рассуждения из доказательства теоремы 9.1, заключаем, что для любой точки ю1 из круга К' = (ю Е С: ~ю — ю1~ < р) функция Дг) — ю1 имеет в круге К = (г Е С ~г — ге~ < т) столько же нулей (с учетом кратности), что и функция Дг) — юе, т.е. т. Все эти нули простые, так как производная 1'(л) функции Дг) — ю1 в круге К при л ф ле не обращается в нуль. Поэтому функция Дг) — ю1 имеет т различных нулей, а уравнение У(л) = ю~ имеет т различных корней.
~ 9.1. Вэннмно однозначные отобрнженнн 329 Определение 9.1. Будем говорить, что функция у(г) одколистна в точке я = а, если существует окрестность этой точки, в которой Дя) однолистна. Теорема 9.3. Функция )'(г), аналитическая в точке а ф оо, однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда )'(а) Ф О. < Если г'(а) ~ О, то, согласно теореме 9.2, существуют такие круги К = (я е С: )я — а( < г) и К = (ю е С: )и — и ! < д), ю, = У(а), что для любого комплексного числа и Е К' уравнение У(я) — и = О в круге К имеет только одно решение.
В силу непрерывности функции Дя) в точке и = а существует такой круг ко = (г е с: )н — а( < гб), целиком содержащийся в круге К, что для любого н б Ко имеем у (я) Е К'. В круге Кб функция однолистна. Действительно, равенство Дг~) = Дяз) означает, что я~ и го являются решениями уравнения Дя) — и = О из круга К, где и = Дн~) = Дгз) принадлежит К'. Но в круге К такое уравнение имеет единственное решение, т.е. г~ = го.
Если ~'(а) = О, то точка я = а является нулем функции ,)" (г) некоторой кратности т — 1, где т > 1. Согласно теореме 9.2, можно выбрать такие круги К = (г Е С: ~з — а~ < г) и К' = (и Е С: ~и — и,~ < р), и, = ~(а), что для любого комплексного числа и Е К' уравнение Дн) — и = О в круге К имеет т > 1 решений. Стало быть, функция ~(г) не является однолистной в круге К. Из доказательства теоремы 9.2 можно заключить, что ее утверждение сохраняется при уменьшении радиуса т круга К.
Это значит, что Дг) не является однолистной в круге К, сколь малым бы ни был этот круг, т.е. в точке я = а функция У(я) не однолистна. ь Рассмотрим теперь понятие однолистности функции в бесконечно удаленной точке. Аналитичность функции в точке я = оо означает, что у(я) аналитична вне некоторого круга на комплексной плоскости (т.е. в проколотой окрестности точки я = оо) и имеет конечный предел при г -+ со.
Заметим, что функция ~ = 1/г осуществляет ззо 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИИЦИПЫ взаимно однозначыое отображение окрестыости точки з = оо на окрестность точки ~ = О. Если функция Дя) аналитична в точке л = оо, то для функции д(~) = Д1/~) точка ~ = 0 является устпранимоб особой точкой, в которой функцию д(~) можно считать аналитической. Функция /(г) однолистыа в точке з = оо тогда и только тогда, когда функция д(~) однолистна в точке ~ = О. В этом случае, согласно теореме 9.3, выполняется условие д'(~) ~ О, а лорановское разложение фуыкции д(~) в некоторой окрестности Ц ( т точки ~ = 0 имеет вид д(~) =се+с~~+сг~ + ", где с~ = д'(0) ,-Е О.
Стало быть, У( ) =д(1/ ) = е+ — + — +", ~4> — =Л, С1 сз 1 л2 т причем -с~ ~ 0 — это вычет функции Дх) в бесконечно удаленной точке. В итоге приходим к следующему утверждению. Следствие 9.1. Аналитическая в точке л = оо функция Дг) однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда ВевДз) ф О. Рассмотрим теперь понятие однолистности функции в ее полюсе (конечном или бесконечном).
Пусть теперь точка г = а (конечная или бесконечно удаленная) является полюсом функции /(з). Тогда зта точка является нулем функции 1//(з). Очевидно, что однолистность Дз) в точке а равносильна однолистности в этой точке функции 1/Дл). Функция 1/У(з) однолистыа в своем нуле л = а тогда и только тогда, когда производная функции в этой точке не равна нулю, т.е. этот ыуль простой. Поэтому критерием однолистности Дг) в полюсе з = а является условие, что этот полюс простой.
Сформулируем полученный результат. Следствие 9.2. Функция Дг) однолистна в своем полюсе л = а (конечыом или бесконечно удаленном) тогда и только тогда, когда этот полюс простой. 9.2. Свойства конформкых отоеражеккм Пример 9.1. Функции Дк) = к2 и д(к) = 1/г2 имеют производные, не обращающиеся в нуль в С ~ (0). Поэтому они однолистны во всех точках расширенной комплексной плоскости, кроме точек О и ос. В точках к=О и к = со эти функции не являются однолистными, так как каждая из этих точек является полюсом второго порядка или нулем кратности два.
Этот же вывод можно сделать с помощью непосредственного анализа функций. Действительно, в любой окрестности точки г = 0 (или к = оо) можно выбрать пару точек к1 и к2, для которых к2 = — к1. Тогда в этих точках обе рассматриваемые функции будут иметь одинаковые значения. Замечание 9.1. Необходимым условием однолистности функции в области является ее однолистность в каждой точке области (т.е. локальная однолистность).
Однако это условие не является достаточным. Например, функция е' является локально однолистной на всей комплексной плоскости, так как ее производная нигде не обращается в нуль, но она не является однолистной в плоскости, поскольку принимает одинаковые значения в точках г и к + 2хг. Проверка однолистности функции в области значительно сложнее, чем в точке. 9.2. Свойства конформных отображений Перейдем к геометрическим свойствам, характерным для отображений, осуществляемых однолистными аналитпическими функциями. Отличаясь удивительным разнообразием и богатством особенностей, такие отображения вместе с тем имеют и нечто общее, а именно сохраняют неизменными углы между соответствующими кривыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
