X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Примеиеиие вычетов двв вычиевевив ивтегрввов 295 Точка зз = 1 является простпмм полюсом фрикции /(я). Поэтому, используя (8.5), получаем сЬя сЬ1 Вез/(») = 1пп Дз)(з — 1) = 1пп »-+1»-+1(»+1) 8 Согласно теореме 8.1, имеем ф сЬ»дг, /2яЬ1 — ЗсЬ1 сЬ1~ я»' (г + 1)з(» — 1) ~ 8 8 ! 2е ь б. Вычислим интеграл 1 яп1 — ~1я ь по окружности 5: ~г~ = 1. Функция Дг) = яш(1/я) имеет в С единственную особую точку г = О.
Используя стандартное разложение (6.20) для синуса, запишем 1 1 1 1 яш — = — — — + — —..., ф >О. г я 3!гз 5!гь Видно, что в лорановском разложении этой функции в окрестности точки з = 0 коэффициент при я равен и 1 = 1. Поэтому -1 в силу теоремы 8.2 Кеяяш(1/я) = с 1 = 1, и, согласно теоре- »=0 ме 8.1, имеем ф 1, . 1 я1п — еЬ = 2я1 Вея яш — = 2я». г в=в я ь в. Вычислим контурный интеграл ф е1~» — 1 ~Ь г4+ 1 по окружности Х: ф = 2.
Внутри этой окружности подынтегРаяьная функция /(г) = (е1/' — 1)/(яя + 1) имеет существенно 296 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ особую точку вв = О и простые полюсы гю й = 1, 4, являющиеся нулями многочлена ял+ 1. В силу теоремы Коши о вычетах и теоремы о сумме вычетов ф елюг~ — 1 4 ггз = 24гг у, Вев У(з) = — 24гг Вев У(я). з + 1 в=44 3=00 Ь /с=в Поскольку 1(г) 1/зв при в -+ оо, точка г = оо, согласно (7.10), является нулем функции Дз) кратности 5.
На основании (8.16) Нев г"(з) = О, т.е. искомый интеграл равен нулю. 8.5, Логарифмический вычет Пусть 7" (г) является аналитической функцией в проколотой окрестности точки в = а и не обращается в этой окрестности в нуль. Сама точка з = а может быть как точкой аналитичности этой функции, так и ее изолированной особой точкой. Определение 8.3. Лоеарифмичесним вычетпом функции Г"(з) в точке в = а называют вычет ее логарифмической производной 1'(г)/~(з) в этой точке, т.е. значение где в качестве контура Ь интегрирования можно взять любую окружность с центром в точке з = а, целиком лежащую в укаэанной проколотой окрестности этой точки. Ясно, что логарифмический вычет функции Г(з) может быть отличен от нуля в ее изолированных особых точках, а также в ее нулях, поскольку точка в = а будет особой точкой функции 1'(з)/Дз) лишь в указанных случаях. Теорема 8.5.
В нуле аналитической функции 1(х) ее логарифмическая производная Г"'(в)/,Г"(з) имеет простой полюс, а логарифмический вычет равен кратности этого нуля. 297 8.5. Логарифмический вычет м Пусть точка л = а — нуль кратности т функции /(г), аналитической в этой точке. Тогда, согласно теореме 7.1, в некоторой окрестности этой точки дл) = (л — а)в'~р(з), (8.18) /'(л) т(г — а)"" 1~р(г) + (л — а)в'у'(л) У() (л — а)и'~р(г) 1 пир(л) + (л — а)~р'(л) з — а р() 1 / <р'(л) ~ тп = — ~т+ (л — а) г — а1, ~р(л),/ «-~а л — а Согласно утверждению 7.1, заключаем, что точка л = а является полюсом функции /'(л)/Дл), а в соответствии с (8.6) находим, что вычет в этой точке равен Всв/'(л)//(л) = тп.
~в в=а Следствие 8.2. Если точка л = а — полюс функции Дл) порядка тп, то для логарифмической производной ~'(з)//(л) этой функции точка л = а является простым полюсом, и вычет в нем равен — т. < Если точка г = а является полюсом функции /(л) порядка т, то в окрестности этой точки имеет место представление ю() (л — а)™ в котором <р(л) — аналитическая в окрестности точки л = а функция и ~р(а) ф О (см.
7;2). Повторяя доказательство теоре- мы, получаем утверждение следствия. ° где ~р(л) — функция, аналитическая в точке л = а, причем у(а) рй О и, стало быть, у(л) ~ О в некоторой окрестности этой точки. Вычисляя логарифмическую производную функции /(л), получаем 298 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОВЫХ ТОЧЕАХ Пример 8.11. Вычислим логарифмический вычет функции ,т(я) = (яг — бя+ 6)/(я — 1)г в нулях этой функции и в полюсе. Эта функция имеет простые нули в точках гд — — 2 и гг = 3. Поэтому в силу теоремы 8.5 Точка я = 1 является полюсом второго порядка этой функции, так что на основании следствия 8.2 получаем Определение 8.4.
Если у (г) является аналитической функцией на замкнутом контуре Ь и не имеет нулей на этом контуре, то значение — — ~Ь т (е) 1 .У у (г) (8.19) ь Дя) 2ят' ~Р Дя) называют лоеарифмическим еычеттьом функции у(з) опт- носипгелъно коннгура Ь. Теорема 8.6 (тпеорема о лоеарифмическом еыченге). Пусть непостоянны функция Дя) аналитична всюду в одно- связной области Р и на ее границе — кусочно гладком контуре Ь, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть также функция имеет конечное число нулей, причем на контуре Ь нет ни нулей, ни полюсов функции.
Тогда (8.20) где М и Р— общее число соответственно нулей и полюсов функции Дя) в В, причем каждый нуль следует считать столько раз, какова его кратность, а каждый полюс — каков его порядок. 8.5. Логарифмический вычет 299 < Пусть ам аг, ..., а~ — нули функции 1(х) в Р кратностей пм пз, ...,пп а Ь1, Ьз, ..., Ь вЂ” ее полюсы в области Р порядков рм рз, ..., рог Все зти точки, согласно теореме 8.5 и следствию 8.2, будут простыми полюсами функции ~'(х)/('(х), аналитической на контуре Ь, так как по условию теоремы Дх) аналитична на Ь и не имеет нулей.
В силу теоремы Коищ о вычетах имеем Согласно теореме 8.5 и следствию 8.2, имеем Нев =и, и=1,1, и Нев = — р„, р=1,т. У'(х) — Г( ) в=а 1 (х) ' в=а„1 (х) Учитывая принятое соглашение о подсчете числа нулей и полю- сов в Р, по которому (8.22) п„=Ж и из (8.21) и (8.22) получаем (8.20). ь Следствие 8.3. Логарифмический вычет многочлена Р (х) степени и относительно простого контура Л, на котором нет нулей Р„(х), равен числу нулей многочлена (с учетом их кратности) внутри контура. Пример 8.12. Найдем логарифмический вычет функции (е' — 2)~ относительно контура ~х~ = 8.
В области, ограниченной этим контуром, данная функция не имеет полюсов, а ее нули определяются уравнением е' — 2 = О, из которого находим ха = =1п2 = 1п2+г2Ьг, я е У.. Чтобы найти все нули, попавшие 300 8. ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ внутрь окружности ~«~ = 8, надо найти все целые значения й, для которых ~«ь~ ( 8. Несложно установить, что этому условию удовлетворяют значения О, 1 и — 1, т.е. внутрь контура попадают «с = 1п2, «1 = 1п2+ 2хг и «1 = 1п2 — 2хг'. Каждый из этих трех нулей имеет кратность 2, так что по теореме 8.6 искомый логарифмический вычет равен 6.
ф Теореме 8.6 можно дать геометрическую интерпретацию. Так как по условию теоремы функция Д«) аналитична на контуре Ь и на нем отлична от нуля, то на этом контуре имеем ф — ~(« = 11,пУ(«). ~'(«) У(«) (8.23) Здесь под 1 пТ"(«) понимается ветвь многозначной логарифмической функции ЬпД«) = 1п~~(«)~ + 1 Агбар«), заданная своим значением в некоторой точке «е контура.
Так как функция 1п~~(«) ~ однозначна и непрерывна, то для выделения такой ветви достаточно выделить ветвь функции Аг8,г" («), задав значение аргумента в точке «е. При этом для произвольной точки «1 Е Ь будем иметь Агб~(«г) = Аг8Д«е)+ Ь, Агб~(«), (8.24) где Ь,„Аг8 У(«) — приращение функции Агб Д«) при движении точки «Е Ь из положения «е в положение «1 вдоль дуги Ч конту- ра Ь в положительном направлении в комплексной плоскости («) (рис.
8.3). с =УФ Рис. 8.8 8.5. Логарифмический ъычет 301 Если уравнение контура Ь можно задать в виде г = з(~), 1 Е [а, Д, то, используя (8.23) и (8.24), находим ф а.=~~с 3(.Я =с ~(иео-с у(а ц = ~'(к) У() = 1п~~(и(13)) ~ + т Агб~(ъ(Я) — 1пфк(а)) ~— — г Аг8у(к(а)) = еЬсАг8~(к), (8.25) поскольку в силу замкнутости контура и однозначности функции 1п (Дк) ( имеем 1п~ ~ (е(13)) ~ = 1п~(я(ст)) ~. В (8 25) Ьь Аг8 ~(к) есть приращение аргумента Агбш вдоль кривой в плоскости (ы), которую проходит точка Дг), когда точка к проходит в положительном направлении кривую ь. Из (8.20) и (8.25) получаем равенство 1 Ж вЂ” Р = — Ьь Аг8У(а), 2к (8.26) называемое врннцнаоле арзу.иентаа.
Этот принцип можно сформулировать так: разность числа М нулей (с учетом их кратности) и числа Р полюсов (с учетом их порядка) функции ~(к) в области Р, ограниченной контуром Ь, равна деленному на 2я приращению аргумента втой функции при обходе Ь точкой г в положительном направлении (при условии, что функция Дз) является аналитической во всех точках В, за исключением конечного числа полюсов, и на Ь не имеет ни нулей, ни полюсов). Выясним геометрический смысл Ьг. Аг8 у" (г).
Пусть Г является образом замкнутого контура Х при отображении и =,1(г) (см. рис. 8.3). При полном обходе Ь точкой г соответствующая точка и = Дк) описывает в комплексной плоскости (и) замкнутую кривую Г. Тогда приращение аргумента функции У(г) на Г будет равно числу полных оборотов, совершаемых точкой то = = у(к) вокруг точки и = 0 при однократном обходе точкой г 302 8.
ВЫЧЕТЫ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ Следствие 8.4. Если функция Х'(г) аналитична в области Х) и на ограничивающем Х1 кусочно гладком контуре Х, причем она не имеет нулей на Х, то 1 — ЬьАг8Дг) = Ф. 2я (8.27) Отметим, что вместо нулей функции Х(я) можно рассматривать так называемые ее а-точки, т.е. корни уравнения У(г) = а, а Е С.
Для этого во всех рассуждениях достаточно заменить Х (г) на функцию Дг) — а. Если при этом контур Х не содержит а-точек функции Дг), т.е. не содержит нулей функции Х(г) — а, то вместо (8.26) получим 1 М, — Р = — Ьь Аг8(,Х(г) — а), 2я (8.28) где 1ӄ— общее число а-точек (с учетом их кратности), а Р— общее число полюсов (с учетом их порядка) функции Х(г) в области Р, ограниченной контуром Х. Принцип аргумента может быть использован, например, для подсчета числа нулей многочлена Р„(г) в полуплоскости и их расположения по квадрантам комплексной плоскости (г).
контура Х в комплексной плоскости (г). Число оборотов считают положительным, если отрезок, соединяющий точку и~ = 0 с точкой ы = Х(г), поворачивается против часовой стрелки, и отрицательным — в противном случае. Если использовать векторную интерпретацию комплексного числа, то замкнутую кривую Г следует считать годографом радиус-еектора точки ю = Дг),поворачивающегося в плоскости (и). Итак, разность числа Ф нулей (с учетом их кратности) и числа Р полюсов (с учетом их порядка) функции Х(г) в области Р, удовлетворяющей условиям теоремы 8.6, равна числу поворотов радиус-вектора точки и = Х(г) вокруг точки и = 0 при однократном обходе точкой г границы области Р в положительном направлении. 8.о. Логарифмический вычет Пример 8.13.
Найдем число нулей многочлена Ра(х) = = хе+ 5х4 — 5 в правой полуплоскости Ва» > О. Поскольку любой многочлен имеет конечное число нулей в комплексной плоскости и, в частности, в правой полуплоскости, то можно рассмотреть контур Ь, состоящий из полуокружности ур —— = (х Е С: ф = р, Нег > О) и ее диаметра у — отрезка мнимой оси между точка- У '1р () х ми 1р и — хр (рис. 8.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
