X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Для случая бесконечно удаленной точки верно утверждение, аналогичное теореме 7А. Теорема 7.8. Бесконечно удаленная точка является полюсом функции 7" (н) порядка т тогда и только тогда, когда эта точка является нулем функции 1/7" (л) кратности т. Ф Отметим, что при рассмотрении лорановского разложения функции следует четко представлять, в окрестности какой 266 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ точки оно имеет смысл. Например, разложения 1 1 1 1 в1п — = — — — + — —..., 31 «3 5~ «в 1 1 1 сов — = 1 — — + — —... 2[«г 4~«4 1 =1+«+«+...+«" +..., 1 †« верное при ф < 1, является лорановским разложением функции 1/(1 — «) в окрестности точки « = О. Для получения лоранов- ского разложения этой функции в окрестности точки « = оо необходимо рассмотреть другую область ~«~ > 1 и построить другое разложение.

Проводя тождественные преобразования и используя стандартное разложение, получаем )«( > 1. ««г «3 "' «в Пример 7.10. Пусть Р„,(«) и Я„(«) — многочлены степени гп и п соответственно, не имеющие общих нулей. Тогда для рациональной функции В(«) = Р («)/Я„(«) нули знаменателя Щ,(«), и только они, являются полюсами. Других конечных изолированных особых точек у функции Н(«) нет. Точка « = = оо будет для В(«) полюсом порядка т — п, если т > п, и точкой аналитичности (при условии, что устранимую особую точку относим к таковой), если т < п. Пример 7.11. Для функции е'/И"* точки «ь = Ьг, я Е Ж, существенно особые (см.

пример 7.8), а бесконечно удаленная точка не является изолированной особой точкой, будучи предельной точкой последовательности («ь) существенно особых точек. являются лорановскими сответственно для функций в1п(1/«) и сов(1/«) как в окрестности точки « = О, так и в окрестности точки « = оо, поскольку они верны при всех « ~ О. А вот разложение 7.3. Бесконечно удаленная точка как особая 267 Пример 7.12. Для функции 3 ~(«) = 31п2 «+1 точки «ь = — 1+ —, lс Е я., Й ~ О, согласно утверждению 7.1, 1 будут полюсами второго порядка. Действительно, эти точки являются простыми нулями функции вш(«+ 1) 1 и поэтому будут нулями второго порядка для 31п2(«+ 1) 1, а «33 ~ О.

Точка « = — 1 при этом будет предельной для полюсов «ы а бесконечно удаленная точка « = оо — полюсом пятого порядка функции ~(«), так как 3 3 л( ) ««3( +1)2 5 яш2 1 ' ч'о ~ 1 З-есо «+1 Пример 7.13. Рассмотрим функцию у(«) = е1~'3Ь-. Ее 1 особыми точками являются « = О и « = оо. Используя известные стандартные разложения, получаем 1 1 1 1 1 1 ( ! 2 ! 3 ''')( 1 3 1 3 ''')' Такое представление функции у(«) верно в окрестности точек « = О и « = оо. Из него видно, что лорановское разложение функции в окрестности этих точек не содержит положительных степеней «. Поскольку все коэффициенты перемножяемых рядов положительны, коэффициент при произвольной отрицательной степени «в ряде Лорана положителен. Следовательно, ряд Лорана имеет бесконечное число ненулевых слагаемых с отрицательными степенями «. Точка « = О является существенно особой точкой у(«), а « = со — устранимой особой точкой (простым нулем) у («). Пример 7.14.

Найдем все особые точки функции 1/(« — «) 3 3 (включая бесконечно удаленную точку) и выясним их тип. Осо- 268 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ быми будут бесконечно удаленная точка « = оо и нули знаменателя, т.е. многочлена «з — «5 = «з(1 — «)(1+ «). В силу утверждения 7.1 точка «е = 0 будет полюсом третьего порядка, а точки «~ = 1 и «з = — 1 — простыми полюсами рассматриваемой функции, так как для ее знаменателя эти точки являются нулями. Поскольку 1/(«з — «~) -+ 0 при « -+ оо, то в силу определения 7.2 бесконечно удаленная точка « = оо будет нулем рассматриваемой функции, причем на основании (7.10) кратность этого нуля т = 5, так как 1 1 — 1 1пп « = — 1, или З 5 «3 «5 « +~~ «5 ' Замечание 7.5.

Если по виду функции 7'(«) ясно, что при некотором значении т Е И предел 1пп (« — «*)'"~(«) ( 1пп — ) 1(«) конечен и отличен от нуля, то целесообразно сразу приступить к нахождению т, т.е. к выяснению порядка полюса в точке «' (точке оо), не стремясь вычислить предел функции, так как ясно, что в данном случае этот предел бесконечен. е« Пример 7.15. Для функции точка «е = 0 являетз( г+9) ся полюсом второго порядка, а точки «цз = ~31 — простыми полюсами, так как числитель дроби — функция е' — не обращается в нуль, а знаменатель дроби — многочлен «~(«~ + 9)— имеет нуль кратности 2 в точке «е и нули кратности 1 в точках «цз. Точка « = оо является существенно особой точкой этой функции, так как не существует ее предела (ни конечного, ни бесконечного) при « -+ со. Действительно, е« ех 1пп = оо и 1пп = О.

«-++сю яз(«з + 9) -+ — О хз («2 + 9) 7Л. Классификалия фувкиий ио их особым точкам 269 7.4. Классификация аналитических функций по их особым точкам Из теоремы Лиува лл следует, что функции, совсем не имеющие особых точек (имеется в виду, что х = оо — устранимая особая точка), являются постоянными. Действительно, согласно замечанию 7.3 и определению 7.7, аналитичность функции 7"(х) в бесконечно удаленной точке х = оо означает, что существует и конечен предел этой функции при х — ~ оо. Поэтому 7'(х) ограничена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, т.е. при ф ) Н.

В остальной части плоскости— круге ф ( ( — эта функция ограничена как непрерывная на ограниченном и замкнутом множестве (см. 3.2). Следовательно, 7" (х) ограничена на всей комплексной плоскости С и, будучи на С аналитической, является в силу теоремы Лиувилля постоянной, т.е.

7"(х) = сопв$. Следующий по простоте класс составляют целые функции, не имеющие конечных особых точек и аналитические на всей комплексной плоскости С Для целой функции 7" (х) точка х = оо всегда является золврованной особой точкой. Если х = сов дстранимвл особам точка, то, в силу сказанного выше, 7'(х) = = сопвФ. Если же х = оо — полюс порядка т Е 1Ч функции 7 (х), то главнол часть лорановскоео разложения функции 7"(х) в окрестности точки х = оо имеет конечное число слагаемых с положительными степенями х, т.е. имеет вид д(х) = с1х+ сзх +... + сых Вычитая из 7'(х) эту главную часть, получаем также целую функцию <р(г) = 7" (х) — д(х), но с лорановским разложением в окрестности точки е = со, не содержащим слагаемых с положительными степенями х. Для такой функции х = оо будет дстранимой особой точкой, т.е. с учетом замечания 7.3 приходим к тому, что ~р(х) = сопв1.

Следовательно, целая функция 7(х) с полюсом порядка т в бесконечно удаленной точке х = со является многочленом степени т. 270 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Целые Функции, для которых г = оо является сдщесшвенно особой японкой, называют целыми тпраксцекдекпхкыми. Таковы, например, функции е', сове и в1пю Используя установленные только что результаты, нетрудно доказать следующую основную теорему алгебры. Теорема 7.9. Всякий многочлен степени и е1ч Р„(е) = аве" + а1е" +...

+ а„1е+ а имеет по крайней мере один нуль. < Пусть многочлен Р„(х) не имеет нулей. Тогда функция д(г) = 1/Р„(е) является целой. Так как д(г) -+ 0 при г -+ оо, то д(е) будет аналитической функцией на всей расширенной комплексной плоскости С и, следовательно, д(е) = сопеФ. Это противоречит построению функции д(г).

Поэтому исходное предположение неверно, т.е. многочлен Р„(е) имеет по крайней мере один нуль. а Теорема 7.9 подтверждает тесную взаимную связь всех разделов математики, в частности, связь теории функций комплексного переменного с алгеброй: методы теории функций действительного переменного позволяют доказать важнейшую теорему высшей алгебры о многочленах. Следующее определение вводит более общий по сравнению с целыми функциями класс функций. Определение 7.9. Жуккцию, не имеющую в комплексной плоскости С помимо полюсов других особых точек, называют мероморфкой. В каждом круге ф ( п е 1ч мероморфнзя функция может иметь лишь конечное число полюсов. Иначе существовала бы их конечная предельная точка, которая представляла бы собой неизолированную особую точку, а это противоречит определению 7.9, поскольку полюсы, согласно определению 7.4, являются изолированными особыми точками.

Следовательно, 7.4. Классификация функций ио ик особым точкам 271 мероморфная функция может иметь в комплексной плоскости С не более чем смешное л«ножестиао полюсов, т.е. все полюсы можно пронумеровать. Примерами мероморфных функций с бесконечным, но счетным множеством полюсов будут $3 л, с1я а, 1/а«па, 1/(е' — 1). Рациональнал функция как отношение двух многочленов является мероморфной функцией и имеет на всей расширенной комплексной плоскости С лишь конечное число полюсов. Справедливо и обратное утверждение. Теорема 7.10. Если функция имеет конечное число изолированных особых точек в расширенной комплексной плоскости С и все они — полюсы, то зта функция рациональная.

< Пусть с~ ~ г — а„ есть главная часть лорановского разложения функции Дк) в окрестности полюса а„. Обозначим д(г) =с«а+сзг +... +с к~ (7.32) главную часть лорановского разложения функции Да) в окрестности точки г = оо. Если а = оо является устранимой особой точкой для )'(а), то полагаем д(г) = О.

Рассмотрим теперь функцию Она является аналитической функцией на всей расширенной плоскости С, и, следовательно, д«(к) = сопвФ = со. Таким образом, (7.33) т.е. ~(а) является рациональной функцией. ь 272 1 НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Дополнение 7.1. сФизическое толкование полюсов аналитической функции Рассмотрим простейшую функцию комплексного переменного, имеющую в точке г = а полюс первого порядка: И'1(г) = (7.34) Эту функцию можно трактовать как комплексньи1 потенциал плоского векторного поля, которое является полем диполя, помещенного в точку г = а с моментпом дино и р= 2кс 1 (см.

Характеристики

Список файлов книги