X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Например, в случае точки яе следует в ее окрестности разложить функцию 1/(1 — я), используя (6.23), по степеням ж 1 =1+я+я~+...+г" +..., ф<1, (7.27) 1 — я а затем перемножить это разложение и разложение (7.26) для функции соя(1/я), что является довольно громоздкой операцией. В данном случае тип изолированных особых точек функции д(я) проще выяснить, анализируя ее предел в особых точках. В точке я = 1 имеем соя(1/я) 1 1пп = оо, 1ппд(г)(я — 1) = — 1пп соя — = — соя 1 ~ О, л-+1 1 — я а-+1 л->1 я т.е. точка я = 1, согласно определению 7.5, — простой полюс функции д(я).
Предел функции д(я) при я — ~ 0 не существует, так как 1/(1 — я) -+ 1 при я -+ О, а предел соя(1/я) при я -+ 0 не существует ни конечный, ни бесконечный. Следовательно, точка зо = 0 в силу определения 7.4 является существенно особой точкой функции д(я) Пример 7.6. Пусть функции Дя) и д(г) аналитичны в точке я = а, причем д(я) ф 0 в окрестности точки а. Тогда либо функция ~р(г) = /(г)/д(г) в точке я = а является аналитической (при этом функцию считаем аналитической и в устранимой особой точке), либо точка г = а — полюс.
В самом деле, если д(а) ~ О, то ~р(г) является аналитической в точке я = = а. Если же я = а — нуль кратности т функции д(я) и Да) ф О, то эта точка будет полюсом порядка т функции у(я) (см. утверждение 7.1). Наконец, если г = а — нуль кратности 1 для /(я) и нуль кратности т для д(г), то при 1 ) т функция у(а) является аналитической в точке г = а, а при 1 < т точка я = а — полюс порядка т — 1 этой функции. 7.3. Изолнронанные особые точки 261 Пример 7,8.
Покажем, что если точка х = а — полюс функции /(г), то для функции д(я) = ет(') эта точка будет существенно особой. Пусть т — порядок полюса г = а функции /(я). Полагая в асимптотической формуле (7.25), что А = ~А~е1о и я — а = те'", запишем /(я) щг и'еда-тат) а->а (7.28) Для точек я комплексной плоскости (я) на луче я — а = ге"'~"', проходящем через точку г = а под углом <р = а/т к действительной оси, из (7.28) имеем У(я) ~А~с '". При стремлении а-+а х -+ а вдоль этого луча г -+ О, а аргументы точек имеют значения, близкие к нулю.
Поэтому /(я) -+ оо, причем /(я) не выходит за пределы малого сектора — 5 < аг8щ < 5, а еУ(') -+ оо. Аналогично для точек луча я — а = тедо+ ~/™, проходящего через точку з = а под углом у = (а+ я)/т к действительной оси, из (7.28) имеем /(з) — ~А~т "'. При стремлении г -+ а а-+а вдоль этого луча г -+ О и /(г) -+ оо, но теперь /(н) имеет аргумент, близкий к я или — я, а еУ1*~ -+ О. Пример 7.7.
Пусть х = а — существенно особая точка функции /(х). Тогда для функции д(я) = 1/У(я) эта точка будет либо существенно особой, либо не будет изолированной особой точкой. Действительно, если существует кольцо О < ~г — а~ < < д, в котором /(г) ф О, то х = а является изолированной особой точкой функции д(я), а именно существенно особой, ибо в силу определения 7А не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции /(я) при я -+ а и, следовательно, не существует предела функции д(я) при я -+ а.
Если же в любой окрестности точки я = а расположены нули /(х), то для функции д(я) они являются полюсами и, следовательно, = а будет предельной точкой полюсов функции д(х) и не будет изолированной особой точкой (см. пример 7.2 для случая /(г) = = в1п(я/я) и д(я) = 1/в1п(я/я) ). 262 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Это означает, что функция д(з) не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного) при г — ~ а, и поэтому в силу определения 7.4 г = а — существенно особая точка для д(з). 7.3. Бесконечно удаленная точка как особая Определение 7.6.
Бесконечно удаленную точку г = оо назовем изолированной особой тпочной функции 7"(в), если в некоторой окрестности этой точки (т.е. вне некоторого круга с центром в точке з = 0) функция Дз) аналитична. Определение фактически подтверждает общепринятое правило, согласно которому бесконечно удаленная точка всегда считается особой точкой аналитической функции, если, конечно, эта точка является предельной точкой области определения функции.
Однако для некоторых функций г = со является изолированной особой точкой, а для некоторых — нет. Например, для функции 7'(з) = 1/ в1п з точка з = оо не является изолированной особой точкой, ибо в любой окрестности ф ) В этой точки есть особые точки функции Дг) (точки з = кя, й Е У, являющиеся полюсами Дз)).
В таких случаях бесконечно удаленную точку г = оо называют предельной точкой полюсов. Тип особой точки з = оо в зависимости от поведения функции в ее окрестности устанавливает следующее определение, аналогичное определению 7.4. Определение 7.7. Изолированную особую точку з = оо называют: 1) устранимой особой тпочной функции 7" (з), если существует и конечен предел этой функции при з -+ оо; 2) полюсом функцииДг), если существует предел 1пп Дз) = = оо; 3) сущвсгнвенно особой точкой функции 7'(г), если эта функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при з -+ оо.
7.3. Бешонечяо удаяекяяя точка как особая 263 Замечание 7.4. Если к = оо — устранимая особая точка функции /(к), то, доопределив функцию в этой точке значением ее предела при к ~ со, можно причислить точку г = оо к точкам аналитичности функции /(к). Пример 7.9. Для функции (1/к) сов(1/г) точка к = оо является устранимой особой точкой. Действительно, сов(1/я) -+ 1 и 1/г -+ О при г -+ оо. Следовательно, рассматриваемая функция имеет предел при г -+ оо, равный нулю. В таких случаях точку г = со называют нулем функции.
Для функции г~ точка е = оо будет полюсом. Для функций е', соек и япе точка г = оо является существенно особой, так как эти функции не имеют предела, ни конечного, ни бесконечного, при е -+ оо. Так как 1пп /(е) = 1пп /( — ), 1 то исследование функции /(к) в окрестности особой точки я = = оо можно свести к исследованию функции /(1/яо) в окрестности конечной точки и = О. В этом смысле очевидным является следующее понятие. Определение 7.8. Лораноесним разложением функции /(г) в окрестности изолированной особой точки к = со назовем рлд Лорана функции /(е) по степеням г, в который эта функция разложена в области ~г~ ) В, т.е.
вне круга достаточно большого радиуса Л с центром в точке е = О. Итак, если (7.29) то говорят о лорановском разложении функции /(е) в окрестности бесконечно удаленной точки. Если тип конечной изолированной особой точки а Е С функции /(г) определяли члены с отрицательными степенями е — а, 264 7.
НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АХАЛИТИЧЕСКОИ ФУНКЦИИ для которых точка а является особой, то в бесконечно удаленной точке поведение функции определяется членами ряда Лорана с положительными степенями ж Отрицательные степени л разложения Лорана имеют в л = оо устранимую особую точку и, как говорят, являются правильными. Поэтому главном частью лорановского разложемал (7.29) функции /(л) в окрестности бесконечно удаленной точки называют ту часть этого разложения, которая содержит все положительные степени л, а совокупность нулевой степени л и всех отрицательньпс степеней л образует правильную часть лораиовсмого разложенил.
Сравнивая определения 7.4 и 7.7, заключаем, что тип особой точки л = оо функции Дз) совпадает с типом особой точки ю = 0 функции /(1/ю). Но из лорановского разложения функции Дл) в окрестности точки л = оо легко получить лорановское разложение функции /(1/ю) в окрестности точки ю = 0 простой заменой л = 1/и в ряде Лорана.
Учитывая связь типа особой точки ю = 0 с видом лорановского разложения /(1/и) в окрестности точки и = 0 (см. 7.2), приходим к следующим выводам. Изолированная особая точка з = со функции Дл) является: 1) устранимой особой точкой, если лорановское разложение функции Дл) в окрестности л = оо не содержит положительных степеней з (отсутствует его главная часть), т.е. о СО 2) полюсом, если лорановское разложение функции /(л) в окрестности л = оо имеет конечное число ненулевых слагаемых с положительными степенями л, т.е.
7.3. Бесконечно удаленнан точка как осооан 265 где т ) 0 и с ф О. Целое число т равно порядку полюса и = оо функции 7" (н); 3) существенно особой точкой, если лорановское разложение функции у (н) в окрестности г = оо содержит бесконечное число ненулевых слагаемых с положительными степенями н, т.е. 7(н) = ~~ сея, )н( ) В, где среди коэффициентов см сч, ... при положительных степенях е бесконечное число ненулевых.
Например, для функций е', я1пн, соя г бесконечно удаленная точка является существенно особой точкой. Действительно, стандартные разложения этих функций по степеням к можно рассматривать как их лорановские разложения в окрестности г = оо, а они содержат бесконечное число слагаемых с положительными степенями ж Из представления (7.30) следует, что порядком полюса г = оо будет число т, для которого где А отлично и от О, и от оо. Последнее дает возможность записать следующую асимптотическую формулу в полюсе н = со порядка пп 7" (г) Аг™й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
