X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2«' Поэтому для суммы исходного ряда с учетом формулы Эйлера (3.20) получим р(«) у( М) ( «*1 « '~) (есс««+1«1а«сс«с — 1«1««) 2г 21 е1«1«$ е — $81«$ = есс«~, = есс««вшв1п1, $ Е [О, 2я]. 21 Вопросы и задачи 1 — сов«1 . е' — 1 6.1. Докажите, что 1пп = — и 1пп — = 1. «-ю «в 2 «-+в 6.2.
Докажите следующие тождества: б) ~~1 ( 1) (~+1)~Р~ /~! 1 1 =о 6.3. Разложите в ряд Тейлора следующие функции в окрестности точки « = 0: 2« — 5 1 4 4 ) «2 6~+6' ) («л 1)(«4+4)' 6.4. Разложите в ряд Лорана по степеням « — «в функции: Укажите области, где справедливы эти разложения.
«е а) ~ «О « — 1 1 б) — +сов —, «е =О. « — 1 ««' 238 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 6.5. Разложите в ряд Лорана в указанной области функции: а), 1 < ф < 2; б) сояг —, ~г) ) О. (г — 4)(г — 1)' з 6.6. Разложите в ряд Тейлора по степеням >, функции 1 я а) 1п(2 — г), ~=я; б), >, =я+2; в) сояя, 1",=г —. +Зг+' > Найдите радиусы сходимости полученных рядов. 6.7, Найдите все разложения по степеням з — зо функций: 2я+ 1 2 а), го=О; б) — > хо=-2' гг+ я — 2' гг — 1 «+2 1 в) з0=1> 1") г г> гО= — 2. г 4+8 (г 4)г Укажите области сходимости полученных рядов. 6.8.
Докажите, что если функция у(г) = ~~ апзп п=О является аналитической в круге ~я~ < 1, то среднее значение )п)=1 функции у(я)/гг на окружности ф = 1 равно а1. 6.9. Найдите три-четыре первых члена разложения в сте- пенной ряд по степеням г для функций: 1 1 а); б); в) 1п(1+ сов г); г) 1псояз. 1+е*' 5+е " Укажите радиусы сходимости этих рядов.
6.10. Просуммируйте в круге ф < 1 следующие ряды: >>О и гп+1 а) ~1 Ияп; б) ~~1 —; В) ~ —; Г) ~~1 (-1)в+в и ' 2и+1' и п=О п=О п=О п=а Т. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОк4КИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ<ФУНКЦИИ 7.1. Нули аналитической функции Определение 7.1. Точку а е С называют нулем функции Де) комплексного переменного е, если 1(а) = О. Пусть точка а е С является нулем аналитической в этой точке функции 1(я). Аналитичность функции 1(я) в точке а означает аналитичность Де) в некоторой окрестности этой точки.
В силу теоремы 6.7 в окрестности точки а существует разложение этой функции в степенной ряд (рлд Тейлора) вида (6.11) 1(е) = ~с„(е — а)". (7.1) Так как точка е = а является нулем функции 1(е), то из (7.1) и определения 7.1 следует, что се = Да) = О. Остальные коэффициенты в (7.1), согласно (6.16), будут равны ~Ой(а) се=, пЕК и! (7.2) Пусть с — младший по номеру коэффициент разложения в (7.1), отличный от нуля, т.е.
сь =О, й=О,т — 1, и с фО. Тогда число т е 1ч называют кратностью (иногда пор*дком) нуля е = а ана оптической функции 1(е), а саму точку я = а называют нулем кратности т функции Де). Из (7.2) следует, что кратность нуля я = а функции Дя) равна наименьшему порядку отличной от нуля в точке е = а производной этой функции. Нуль кратности единица (т= 1) называют простым нулем аналитической функции. 240 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Разложение (7.1) функции ~(»), имеющей в точке» = а нуль кратности т, имеет вид ~(») = ~1 с„(» — а)" =с,„(» — а) +с +~(» — а)~~~+..., (7.3) где с„„Ф О. Теорема 7.1.
Точка а Е С тогда и только тогда является нулем кратности т аналитической в точке а функции ~(»), когда эта функция может быть представлена в виде Д») = (» — а)~~р(»), у(а) -„е О, (7.4) где <р(») — аналитическая в точке» = а функция. ~ Используя представление (7.3) функции ~(»), можем записать Д») = (» — о)~(с +с ~ы(» — а)+...), где степенной ряд ~р(») =с +с +~(» — а)+... имеет тот же круг сходимости, что и ряд в представлении (7.3) (см. теорему 2.3). В силу следствия 6.1 функция <р(») как сумма этого ряда является аналитической в точке» = а, причем у(а) = =с ~0.
Обратно, пусть функция 7(») представима в виде (7.4) и в точке» = а функция у(») аналитическая. Тогда у(») можно разложить в окрестности точки» = а в ряд Тейлора по степеням» вЂ” а, причем коэффициент этого разложения при нулевой степени» вЂ” а, согласно условию ~р(а) ~ О, будет отличен от нуля. Подставляя разложение ~р(») в представление (7.4), получим представление (7.3), в котором с, с +~, ... обозначают коэффициенты ряда Тейлора функции у(»), причем с соответствует нулевой степени» вЂ” а. Мы получили разложение в ряд Тейлора функции Д») в окрестности точки а, из которого следует, что» = а — нуль функции у(») кратности т.
~ 241 7Л. Нуля аналитической функции Следствие Т.1. Если точка а Е С является нулем кратности т аналитической в точке а функции Дя), то для функции д(г) = (Дя))", р Е Я, эта точка будет нулем кратности рт. Замечание Т.1. Полагал в (7.4) А = ~р(а), находим, что ~-+а (я — а)~А з-+а (я — а)о'~р(а) Поэтому, сохраняя терминологию функций действительного переменного, можно сказать, что функции У(з) и (я — а)'"А являются эквивалентными бесконечно малыми при г -+ а. Итак, Дя) ° А(я — а)™, А ~ О, (7.5) является необходимым и достаточным условием, чтобы анали- тическая в точке а Е С функция 1(г) имела в этой точке нуль кратности т.
Определение 7.2. Бесконечно удаленную точку я = оо называют нулем функции Дз), если существует предел Доо) = 1по 1(г) = О. (7.6) Предположим, что функция 1(г) аналитична в окрестности точки я = оо, т.е. 1(я) аналитична в области ф > В, В > О, и точка з = оо является нулем 1(я). Тогда в силу теоремы 6.11 функцию Дз) можно разложить в рлд Лорана по степеням ьч (7.7) Поскольку Доо) = О, то в окрестности бесконечно удаленной точки функция ~(г) ограничена, т.е. для некоторого числа М выполняется неравенство )~(з)! ( М, ф > В'. При этом 242 7.
НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ число В' можно взять настолько большим, что В' > В. В силу неравенств Ко1аи дяя коэффициентов ряда Лорана имеем М (с„(( — „, пай, Р" где р > В' можно выбрать произвольно. Но за счет выбора Р в правой части этих неравенств при п = 1, 2, ... можно получить сколь угодно малое значение. Значит, коэффициенты для указанных номеров равны нулю. Отсюда следует, что 1пп у(е) =се.
Но по условию этот предел равен нулю, т.е. св = О. Следова- тельно, разложение (7.7) фактически имеет вид Пусть в представлении (7.8) с „, — первый отличный от нуля коэффициент, т.е. с в = О, к = О,т — 1, с „, ф О. Тогда число т Е М называют кратпностпью нуля функции У(е) в бесконечно удаленной гпочне (или кратностью нуля е = оо функции Де)). В этом случае вместо (7.8) имеем У(е)= ~~', свя"= — (с ~+ '+...) =е ™ф(е), (7.9) где ф(г) — функция, представимая степенным рядом, содержа1цим лишь неположительные степени ж Поэтому ~Р(я) является аналитической функцией в окрестности точки е = оо, причем 1пп ф(г) = ф(оо) = с „, фО. Аналогично теореме 7.1 и замечанию 7.1 устанавливаем, что представление аналитической функции ) (г) в окрестности 7.1.
Нуля авалитичесяой фулкяяя 243 точки я = оо в виде (7.9) необходимо и достаточно для того, чтобы бесконечно удаленная точка была нулем кратности т функции /(я). Это ~~~~~~~о в том и ~~~~~~ в том случае, когда А У(Я) —, А = сонями ф О. » ~»„»»я' (7.10) Таким образом, асимптотические формулы (7.5) и (7.10) можно принять в качестве определения кратности нуля функции /(г) в точке а Е С и в бесконечно удаленной точке.
/'(я) =соя — (- — ), /'( — ) =-(Ьг) сояйя фО. 1 1, 1 Точка г = оо также будет, согласно (7.10), простым нулем, поскольку я1п(1/я) 1/з при я -+ оо. 2 б. Функция /(а) = (е» + 1) имеет нули в точках, определяемых равенством е»+1 = О, или г =1п( — 1) = 1п1+1(ягц( — 1)+2Ьг) = (2й+1)яг, й Е У. Все эти точки для функции д(я) = е*+ 1 являются простыми нулями, так как с учетом формул Эйлера д((2й+1)яг) =е(~я+ц"=соя(2й+1)я+гяш(2й+1)к= — 1ФО. Следовательно, для исходной функции /(я) = д~(я) = (е'+ 1), согласно следствию 7.1, точки я = (2й+ 1)я», й Е Ж будут нулями кратности 2.
Пример 7.1. а. Функция /(я) = яш(1/») имеет нули в точках, определяемых равенством яш(1/я) = О. Отсюда 1/я = Ьг, й Е У, или я = 1/(йя). Функция имеет нуль и в точке я = оо, поскольку /(оо) = 1пп /(я) = О. Точки» = 1/(йи), й Е Ж, являются простыми нулями, так как младшей отличной от нуля производной в каждой из этих точек будет производная первого порядка. Действительно, 244 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ в. Рассмотрим функцию (23 + 1)661/я (~2 + 4)11 Так как е1~' ф О, то зта функция имеет нули в точках, определяемых условием 88+ 1 = О, т.е. «ь = е(2" +01 /8, й = О, 1, 2, а также в точке л = оо, ибо Доо) = 1пп Дл) = О. В силу следствия 7.1 л-Кю точки 86, 81, 82 являются нулями кратности 6, поскольку для функции д(л) = лз + 1 это простые нули (д'(88) = Зг~ь ~ 0), а 882+ 4 ф О.
Точка г = оо будет нулем кратности 4, так как 18 Дл) - — еН' "" — 4~ ~ +<~ 822 д ~~ 84 " В заключение приведем доказательство теоремы 4.3 о нулях аналитической функции: если функция у(2) аналитична в точке а Е С, являющейся нулем Дг), то либо Дг) ы 0 в некоторой окрестности точки 8 = а, либо существует проколотая окрестность этой точки, не содержащая нулей функции Да). В силу аналитичности у (2) в точке г = а в некоторой окрестности этой точки имеет место разложение (7.1). Возможны два случая: 1) все коэффициенты ряда Тейлора (7.1) равны нулю и тогда Дл) ве 0 в некоторой окрестности точки 2 = а; 2) существует такое натуральное число т, что в представлении (7.1) сг =О, )4=0,т — 1, но с,„ФО. Во втором случае точка с=а является нулем кратности т функции Да) и поэтому, согласно теореме 7.1, Дг) = (г — а)™у(л), где ~р(г) — функция, аналитическая в точке в = а, причем у(а) ф О.
В силу непрерывности функции ~р(л) в точке 2 = а из условия у(а) у4 0 следует, что эта функция отлична от нуля и в некоторой окрестности данной точки. Это означает,что существует окрестность точки 2 = а, в которой нет нулей функции ~р(г). Итак, если Да) = О, но Дл) 46 0 в некоторой окрестности точки а = а, то существует окрестность этой точки,не содержащая нулей функции Дл), отличных от а, т.е. нули непостоянной аналитической функции являются изолированными. 245 7.2. Изоляроваяяые особые точки 7.2. Изолированные особые точки В комплексном анализе многие важные замечательные результаты связаны с особыми точка««и функций, в которых эти функции утрачивают свойство аналитичности.
Определение 7.3. Точку а е С называют изолированной особов «почкой функции у(я), если у точки а существует о проколотая окрестность 1!(а) = (г е С: 0 < !« — а! < г) некоторого радиуса г, в которой данная функция аналитична, но в самой точке а функция у(«) не определена или теряет аналитичность. В зависимости от поведения функции у(я) вблизи точки г = а различают следующие три типа изолированных особых точек. Определение 7.4. Изолированную особую точку я = а функции ) (г) называют: 1) уск«рани«яой особой гаочкой, если существует предел 1Ьп у («) = А ф оо; 2) ко««юсом, если 1пп у(л) = оо; 3) сущестпвенно особой «почкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции у(г) при я -+ а. еьа « Пример 7.2.
а. Для функции — точка«= 0 будет устранимой особой точкой. Действительно, эта функция является аналитической при всех я ф 0 как частное аналитических функций. Стаю быть, проколотая окрестность точки г = 0 является ее областью аналитичности. Используя стандартное разложение (6.20), вычислим я(пя 1пп — = 11щ — ~г — — + — —...) = «-+о л «-+с л 3! 5! я« я4 = 1пп ! 1 — — + — —...) = 1. «-+с ~ 3! 5! 246 7. НУЛИ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Здесь мы использовали то обстоятельство, что степенной ряд под знаком предела имеет бесконечный радиус сходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
