X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В этом случае )В (г)) = = )н"+11/11 — н) < (1 — д)"+1/6. Взяв любое в > О, потребуем, чтобы было выполнено неравенство (1 — Б) "+1/б < е. Отсюда (и+1)1п(1 — д) < 1п(вб), или, принимая во внимание, что 1п(1-Ю) < О, 1п(вб) 1п(1- 6) Таким образом, выбрав и* = [ — 1~, где квадратные скоб- Г 1а(ее) 1!а(1 — 6) ки обозначают некую часть числа, убеждаемся, что при и > пв действительно 1В„(н)~ < е для всех точек н, принадлежащих замкнутому кругу ф < 1 — 6. Следовательно, в силу определения 6.3 рассматриваемый ряд сходится равномерно в этом круге, ,утверждение 6.1. Если ряд (6.1) равномерно сходится на множестве М и )р(г) — ограниченная по модулю на множестве М функция, то ряд ~ у)(н) /„(н) равномерно сходится на М.
~ Пусть ряд (6.1) сходится равномерно на множестве М, а )р(н) — ограниченная по модулю на этом множестве функция, т.е. на множестве М верно неравенство ))р(н) ~ < А, где А — ненулевое действительное число. Согласно определению 6.3, для произвольного с > О можно указать такой номер и', вообще говоря зависящий от в, что при н > и' для всех н е М выполняется неравенство 1В„(г) ( < е/А. Значит, 202 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Теорема 6.1 (нритпернй льошн). Для равномерной сходимости ряда (6.1) на множестве М необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовал такой номер и* Е»»(, что для всех точек з Е М при любых п > п* и р Е 1Ч было выполнено неравенство ~Яд»л(з) — Яд(3)~ = ~~» 1д(я) ( е.
(6.4) Теорема 6.2 (признан Веберштпрасса). Если существует сходящийся знакоположительный числовой ряд ~; а, и=О такой, что, начиная с некоторого номера и' Е И, выполнено неравенство Щз) ~ < а„(п > и'), г Е М, то ряд (6.1) сходится равномерно на множестве М. Как и в случае функционального ряда с действительными членами, числовой ряд ,'» , 'а„, используемый в признаке Вейери=О штрасса, называют маз»сорантпой ряда (6.1), а сам ряд (6.1) именуют маз»сорнруемым (имеющим мажоранту) на множестве М. Используя признак Вейерштрасса, исследуем степенной ряд с точки зрения его равномерной сходимости.
Теорема 6.3. Степенной ряд ~,~ (л — ло) а=О (6.5) при п > п* и я Е М. Это по определению 6.3 означает, что ряд »р(заел) сходится равномерно на множестве М. ~ я=О Приведем формулировки критерия Коши и признака Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда, которые в комплексном случае доказываются так же, как и в действительном случае [1Х]. 6я. Равиомериая сходимость фуииииоиальиых рядов 203 с кругом сходимости ~» — »е~ < В сходится равномерно в любом замкнутом круге ~» — »е~ < Вы где В1 < В. м Выберем произвольное положительное число В1 < В и рассмотрим такую точку»*, что ~»' — »а~ = В1. В этой точке ряд (6.5) в силу теоремы 2.2 Абеля сходится абсолютно, т.е.
сходится числовой знакоположительный ряд ~~~ (с (»" — »о) ~. а=О Для любой точки» в замкнутом круге ~» — »е~ < В1 имеем (» — «е) < )»* — »а(, откуда )с (» — »е)"! < (с (»* — »а)"!. Поэтому, согласно признаку Вейерштрасса (см. теорему 6.2), ряд (6.5) сходится равномерно в замкнутом круге ~» — »е ~ < В1. > Замечание 6.1. Если функциональный ряд сходится равномерно на любом ограниченном замкнутом подмножестве данной области Р, то такой ряд называют равпояаерно сходлпфидасл ви1итари области Р. Обратим внимание на то, что новое понятие получается простым добавлением слова „внутри а и по звучанию схоже с понятием равномерно сходящегося ряда.
Однако смысл двух понятий разный. Если ряд сходится равномерно в области Р, то он сходится равномерно и на любом подмножестве Р, в том числе на любом замкнутом ограниченном подмножестве. Таким образом, из равномерной сходимости в области Р вытекает равномерная сходимость внутри области Р, но обратное утверждение неверно. Поскольку любое замкнутое подмножество круга ~» — »е ~ < В можно заключить в некоторый замкнутый круг ~» — »е ~ < Вм то, согласно теореме 6.3, степенной ряд сходится равномерно на любом замкнутом подмножестве, содержащемся внутри круга сходимости, или, другими словами, сходится равномерно внутри круга сходимости. Пример 6.1 показывлет, что степенной ряд может не сходиться равномерно в круге сходимости.
204 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 6.2. Свойства равномерно сходящихся рядов Рассмотрим произвольный комплексный функциональный ряд ~ /„(»). Через о(»), о„(»), В„(») обозначим соответственн=1 но сумму этого ряда (определенную в области с»одимостн этого ряда), его и-ю настпинную сумму и и-й остаток. ТеоРема 6.4. Если члены фУнкционального РЯда 2 /о(») п=1 непрерывны на множестве М, а сам ряд сходится на этом множестве равномерно, то сумма о(») этого ряда также будет непрерывной на М.
М Выберем произвольную точку» Е М. Согласно определению 3.2 непрерывности функции комплексного переменного, надо доказать, что разность о'(»+ Ь») — о'(») является бесконечно малой при Ь» -+ О. Используя и-й остаток функционального ряда, запишем его сумму в виде о'(») = о„(») + В„(»). Для любого Ь», удовлетворяющего условию»+ Ь» Е М, имеем Я(» + Ь») Я(») Ян(» + д») Он(») + Вя(» + д») Вн(») Рассмотрим произвольное е > О. В силу равномерной сходимости ряда на множестве М найдется такой номер и' Е 11, что при всех и > и* и»+ ьъ» Е М вьтолняются неравенства ~В (») ~ < е/3 и ~В„(»+ Ь») ~ < а/3. В силу непрерывности функции о'„(») как суммы непрерывных функций /1(»), ..., /„(») существует такое б > О, что при у(ь») < б имеем (Я„(» + Ь») — о„(») ! < с/3.
При таких Ь» получаем /Я(»+ Ь») — о(») ~ ~ (!Ян(»+ Ь») — он(»)! + +(В ( +~, ))+)В„())< — +-+ — =, 3 3 3 6.2. Свойства равномерно сходящихся рядов 205 что означает непрерывность Я(х) в произвольно выбранной точке я ЕМ. ~ Теорема 6.5. Пусть все члены функционального ряда ~,,/„(г) непрерывны на некоторой кусочно гладкой дуге .у и в=1 этот ряд сходится на дуге ч равномерно.
Тогда этот ряд можно почленно интегрировать,т.е. /е(ем=/Ф"~ ))~ с'/~" ~ ~в' О=О в=от ~ В силу теоремы 6.4 сумма Я(х) равномерно сходящегося функционального ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна на дуге у. Поэтому интеграл от функции Я(г) по дуге у существует (см. 5.1).
Пусть «тв — частичная сумма ряда, стоящего в правой части (6.6), т.е. Согласно свойству линейности интеграла (см. 5.1), имеем Рассмотрим произвольное с > О. В силу равномерной сходимости функционального ряда на дуге ч можно найти такой номер и' Е 1(, что при всех и > и* и х Е у будет выполнено неравенство ~Н (х) ~ < с/(2(т), где ~. — длина дуги у. Используя оценку интеграла (см. 5.1), получаем р„= Я(х)~Ь вЂ” ст„= В (х)йх < — Ц <с (67) 2Ц~ 206 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Итак, р„-+ 0 при и -+ оо. Стало быть, из (6.7) следует, что | яОм*= .= Е~в~ *=1/~м, ч я=О ч й О ч что доказывает утверждение теоремы.
° Теорема 6.6. Если члены функционального ряда ~,1 (г) п=1 являются аналитическими функциями в области Р и этот ряд сходится равномерно внутри Р, то справедливы утверждения: 1) сумма Н(я) этого ряда является аналитической функцией в области Р; 2) функциональный ряд можно дифференцировать почленно в области Р любое число раз, т.е. для любого Й Н 1Ч верно равенство Ь'( )(я) = 2 У( )(з), г Е Р; (6.8) п=е 3) ряд в правой части (6.8) сходится равномерно внутри Р.
~ Рассмотрим произвольную точку яО Н Р. Выберем число г ) 0 настолько малое, что замкнутый круг (я — яе~ ( т будет целиком попадать в область Р. Обозначим через У, открытый круг ~г — хе~ ( г. Рассматриваемый функциональный ряд сходится равномерно в У„. Поэтому в силу теоремы 6.4 его сумма о(я) непрерывна в У„и ее можно интегрировать по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в У„.
Согласно теореме 6.5, функциональный ряд можно почленно интегрировать вдоль любого замкнутого кусочно гладкого контура 7 С У„т.е. (6.9) Но так как все члены ряда — аналитические функции в У„, по теореме Коши для односвязной области все слагаемые ряда в правой части равенства равны нулю (см. замечание 5.1). 6.3. Свойства равномерно сходвщихсв радов 20Т Следовательно, интеграл от суммы ряда вдоль любого кусочно гладкого замкнутого контура у С 11, также равен нулю. Согласно твеореме Морерм, функция Я(г) является аналитической в круге У„, или, другими словами, в окрестности точки хе Е Р. Так как эта точка была выбрана произвольно, то Я(г) аналитична в Р. Тем самым доказано первое утверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
