X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Параметр сс в 186 л. интеГРиРОВАние Функций этом случае будет определять интенсивность линейного источника, приходящуюся на единицу его длины. Гидромеханическая интерпретация рассматриваемого векторного поля дала ему название гголе псгпочнвка, причем центральную точку поля называют псгпочипноМ, а значение Я— вмгпеисивносгтгью псгпочнггка. Но это векторное поле может иметь и другие интерпретации. Например, оно описывает электростатическое поле вектора напряженности для зарядов, равномерно распределенных по прямой, или же поле вектора плотности теплового потока, порожденного источниками, равномерно распределенными на прямой. Для полей плотности теплового потока линии равного потенциала называют нзотермами, т.е.
линиями равной температуры. Г Пример 5.12. Функция Дг) = —,, где à — ненулевое 2зггз ' действительное число, аналитична в области ?2 = С ~ (0). НоГ этому в этой области функция Дя) = г — определяет плоское 2ггт векторное поле. Комплексный потенциал этого поля имеет вид à — Г Г Г Иг(з) = /,?(я) г?г = / — г?я = —.?.пя+ сг+ гс2. (5.58) ,/ 2хЫ 2хг' Выделяя в комплексном потенциале И'(я) потенциальную функ- цию и функцию тока, полагая, что я = ре'~', приходим к урав- нениям линий равного потенциала и линий тока в полярных координатах: à — — 1п р = сопвФ. 2х à — у = сопвФ, 2х (5.59) Линии равного потенциала — это лучи Ф = соввФ, а линии тока — окружности с центром в точке я = 0 (на рис. 5.19 стрелки на линиях тока соответствуют случаю Г > 0).
Сравнивая (5.57) и (5.59) (соответственно рис. 5.18 и 5.19), заключаем, что линии равного потенциала и линии тока меняются местами. Д.оЛ. Комплексный потенциал плоского векторного панк 187 Комплексный потенциал (5.58) описывает ноле вииря. При этом центральную точку к = 0 поля называют виирела, а параметр Г— интенсивностью виирл. Интенсивность вихря равна циркуляции векторного поля по любому простому замкнутому контуру Х, охватывающему вихрь и обходимому в положительном направлении. Действительно, используя формулы (5.11), (5.16) и (5.58), находим Рис. 5.19 — .У вЂ” Г .Х сгк Г у(к)г1г = Г)(1 Цл)гЬ = —, Г)(1 — = —, 2кг'= Г.
2к1 )г к 2к1 )в(=3 )в(=г Сравнивая с (5.55), устанавливаем, что поток векторного поля вихря через такой контур равен нулю. Отметим, что аналогично полю источника равны нулю поток и циркуляция для любого контура, целиком лежащего в односвязной области, не содержащей точку г = О. Гидром~ганическую интерпретацию поля вихря дает плоскопаралельное движение жидкости, частицы которой вращаются относительно некоторой оси.
Поле вихря также описывает напряженность магнитного поля, создаваемого постоянным током силой Г, протекающим по прямолинейному проводнику, проходящему через точку к = 0 перпендикулярно плоскости (г). Я вЂ” 1Г Иг(к) = Ьпг+сг+1сз. 2к (5.60) Пример 5.13. Если в точку г = 0 поместить одновременно источник интенсивностью Я и вихрь интенсивностью Г, то получим плоское векторное поле, задаваемое функцией у(к) = = (Я + гГ)/(2кк) и имеющее комплексный потенциал 5.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 188 Полагая я = реги и выделяя в комплексном потенциале потенциальную функцию и функцию тока, приходим к уравнениям линий равного потенциала и линий тока Я1пр+ Г~р = сопее и Г1пр- срр = сопеС. (5.61) Этим уравнениям отвечают семейства взаимно перепендикулярных логарифмических спиралей (на рис. 5.20 стрелки на линиях тока соответствуют случаю Я > 0 и Г > 0). Говорят, что комплексный потенциал (5.60) описывает поле вихреистпочника, а точку г = 0 называют вихреистпочником. Значение Я вЂ” тГ называют комплексной интпенсивностпъю вихреистпочника. Рис.
5.20 Пример 5.14. Поместим в точки я = — Ь и я =0 источники интенсивностью Я и — Я соответственно. Тогда возникшее плоское векторное поле будет суммой векторных полей этих источников, а его комплексный потенциал в силу аддитивности интеграла (см. 5.1) можно представить в виде Иl(я) = — Ьп(я+Ь) — — Ьпз+ст+тсз. (5.62) Я 2т 2т Д.о.й Конплексвый потенциал плоского векторного поля 189 Таким образом, нз аддитивности интеграла следует свойство аддитпиеностпи нолапленсноео потпенииала. Потенциал (5.62) определен при условиях к+ Ь ~ О и к ф О, нли при (л+ Ь)я ~ О. Выделяя в комплексном потенциале действительную и мнимую части, приходим к уравнениям линий равного потенциала и линий тока: 1п = сопяФ, Агя(л+ Ь) — Агбк = сопеФ.
(5.63) )и+ Ь) 14 После упрощения эти уравнения принимают вид к+Ь~ «+Ь ~ = сопвФ, Агя = сопеФ. Линиями тока рассматриваемого векторного поля являются дуги окружностей, соединяющие точки — Ь и О. Линиями равного потенциала также будут окружности, которые разделяют точки «+ Ь и О и перпендикулярны линиям тока. Действительно, полагая я = я+ ту и принимая для определенности Ь ) О, из (5.63) находим соответственно ( -:- в ' ~- г У У =Й>0, ~ф — ~ф — =Й ак (5.64) ,5тгр' ' ' + й или с учетом формулы для тангенса разности двух углов (.—,,~ "=, Ь ~2 Ь2Ь2 Ь2 1/ +У (Ь2 Ц21 Ьг Ь г Ь2 (* —,) ("-,"") =.
Эти формулы определяют радиусы Вф =, и центры я = йеЬ (й~~ — Ц Ь линии равного потенциала, а также радиусы лге = йет — 1 Ь и центРы Я = — — — т — с16йе линий тока. ЦентРы Ь .Ь 2)майе) 2 2 190 с. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ линий равного потенциала лежат на действительной оси, а центры линий тока — на прямой Вез = — Ь/2, перпендикулярной мнимой оси и равноудаленной от точек г+ Ь и 0 (рис.
5.21). Эти окружности взаимно перпендикулярны, а плоское векторное поле симметрично относительно действительной оси, на которой расположены линии тока, соответствующие дугам окружности бесконечно большого радиуса при Йи -+ О. Прямая Вез = — Ь/2 будет одной из линий равного потенциала (окружностью бесконечно большого радиуса при Йе -+ 1). Линии равного потенциала левее этой прямой соответствуют значениям Йи Е (О, 1), а правее — Йе > 1.
Рис. 5.21 Полученные геометрические соотношения, исключив из них параметры Йф и Йи, можно привести к двум равенствам с( +Яа = 1й и д +1й„— — Ве, (5.65) где д = Ь/2, 1н — расстояние от точки з = -6/2 до центра окружности Ф(я) = сопя1 радиуса Вф, а 1н, — расстояние от этой точки до центра окружности Ф(з) = сопя1 радиуса Ви. Комплексный потенциал векторного поля, порожденного двумя источниками интенсивности Я и -Я на некотором расстоянии Ь = 2с( > 0 друг от друга, часто применяют при ре- Д.5.1. Комплексный потенпнвл плоского векторного полн 191 шенин прикладных задач. Пусть эти источники расположены в точках»* и»„соответственно (~»* — »,~ = 2д).
Тогда, если опустить постоянные, комплексный потенциал векторного поля, создаваемого этой системой источников, можно записать в виде И1(») = — 1п (5.66) 2х» — »„ Ясно, что центры окружностей, являющихся линиями равного потенциала Ф(») = сопз1 этого полл, будут лежать на прямой, проходящей через точки»' и»„а центры окружностей— линий тока Ф(») = сопз1 — на перпендикулярной ей прямой и проходящей через точку»о = (»*+»,)/2 (рис. 5.22).
Если расстояния от точки»о до центров окружностей радиусов Вф и Ви обозначить 1н и 1нв соответственно, то сохраняют силу соотношения (5.65). Рис. 6.22 Рассматриваемое векторное поле порождается, например, электростатическим полем двух раэноименно заряженных тонких прямолинейных проводников, параллельных друг другу и расположенных друг от друга на расстоянии 6.
Интенсивность Я ) 0 будет соответствовать положительному заряду, приходящемуся на единицу длины проводника. Пример 5.15. В ряде случаев векторное поле двух Разноименных (противоположной по знаку интенсивности) источни- 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 192 ков, рассмотренное в примере 5.14,исследуется на расстояниях от источников, значительно превьппающих расстояние Ь между источниками, т.е.
на удалении 1>) Ь. Согласно примеру 5.14, комплексный потенциал векторного поля двух разноименных источников интенсивности Ч, помещенных в точки я = — Ь и г = О, равен (с точностью до постоянного слагаемого) Иг(я) = — 1п = — 1п~1+ — ). э+Ь 9 г Ь~ 2я г 2я На значительном удалении от источников величина Ь/я мала по модулю. Поэтому комплексный потенциал Иг(э) при больших значениях я приближенно можно заменить функцией — Я Ь Иг(я) = — —. 2я г Влияние векторного поля с таким потенциалом зависит от величины Р = ЯЬ.
Если мы хотим сохранить эту величину, то при сближении источников следует увеличивать их интенсивность. Векторное поле с комплексным потенциалом р И'(2) = — +с, 2яэ где Р— фиксированное действительное число, с б С, называют полем диволл. При этом Р определяет моменгп диполя. Точка я = О, в которой совмещаются два разноименных источника, соответствует дпволю. Отметим, что поле диполя можно рассматривать как предельный случай поля двухисточников я+ Ь и О, когда Ь вЂ” ~ О, а интенсивность источников растет обратно пропорционально расстоянию Ь. Полагая я = к+ гу, в комплексном потенциале И'(я) = Р( (2ггх) поля диполя выделим действительную и мнимую части: Ря Рэ 2тээ 2„фэ 2я(хэ+рз) '2т(яэ+рг)' Д.5.1. Комплекснъпи потенциал плоского векторного полл 193 Отсюда можно получить уравнения линий равного потенциала и линий тока: (х — се) +у =се и х +(у — си) =с,, 2 2 2 2 2 2 где сф, се Е И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
