X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Согласно (5.3), имеем ~(л) дх = и(х,у) дх — е(х, у) ду+ + г и(х,у)г1х + и(х,у)г1у. (5.14) Для функции 1(я) как аналитической в Р выполнены услоеил Кожи — Римана: ди(х,у) де(х,у) ди(х,у) дп(х,у) дх ду ' ду дх Первое из этих условий совпадает с (5.13) при Р(х, у) = и(х, у), Я(х,у) = и(х,у), и его выполнение означает, что равен нулю второй интеграл в правой части (5.14). Второе условие совпадает с (5.13) при Р(х, у) = и(х, у), Щх, у) = — и(х, у), и его выполнение обеспечивает равенство нулю первого интеграла в правой части (5.14), что в итоге доказывает справедливость (5.12).
> Замечание 5.1. Теорему 5.2 часто формулируют так: если функция )(к) является аналитической в односвязной области Р, то интеграл от 1(х) по любому кусочно гладкому контуру Ь, целиком лежащему в этой области, равен нулю. Замечание 5.2. В условии теоремы 5.2 достаточно потребовать аналитичности функции 1(х) лишь в самой области Р, т.е. верен такой результат: если Т'(я) аналитична в односвязной области Р, ограниченной кусочно гладким контуром Х, и непрерывна в Р (иногда говорят: непрерывна в Р вплоть до границы), то интеграл Т (я) вдоль 5 равен нулю*. Теорема 5.3 (теорема Коше длл мноеосвлзноб области). Пусть многосвязная область Р ограничена внешним "Доказательство см., например, в книге: Шабага Б.В.
5.2. Иитеграиьиые теоремы Коши 155 кусочно гладким контуром Ьо и внутренними кусочно гладкими контурами Ь1, Ь2, ..., Х,„. Если функция Х(я) аналитична в области Р и на ограничивающем ее составном контуре Х, то ф и У()И*=2 фд )ы* фд )о=О, (Бщ 1е я=1 ь Ъ где интеграл по составному контуру Ь есть сумма интегралов по контурам Хе, Х1, ..., Ь„, ограничивающим область Р и проходимым в положительном направлении. ~ Проведем разрезы области Р по дугам у1, у2, ..., 7„, соедиюпощим последовательно контуры Ьо, Ь1, Х2, ... > Х„(рис. 5.4). При этом многосвязная область Р станет односвязной областью Р*, ограниченной замкнутым контуром Х', который соС1оиг иэ дуг контуров РО, .61, Х2, ..., Хо н ду1' 71, 72~ ° ° ° ~ 'уиОтметим, что при обходе контура Ь' против часовой стрелки обход дуг контуров Х1, Х2, ..., Х„происходит по часовой стрелке, а каждая из дуг у1, у2, ..., у„проходится дважды в противоположных направлениях. Рис.
б.4 Лля замыкания Р односвязной области Р*, ограниченной контуром Х*, выполнены условия теоремы 5.2, и поэтому о. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 156 Отсюда, учитывая свойства аддитивности и ориентированно- сти интеграла от функции комплексного переменного (см. 5.2) и принимая во внимание, что интегралы по дугам у1, уг, ..., у„ взаимно уничтожаются, получаем о= фл,~а -сфно= фл~~.-~ф/о~~., ьо я=1 ь ьо о=1 ь что равносильно (5.15). ~ь В частности, если Дх) является аналитической функцией в двусвязной области Х) и на ограничивающих ее внешнем Ье и внутреннем Ь1 контурах (рис. 5.5),то 1(Я) сЬ = Дх) ~Ь. (5.16) ьо Рис.
Ь.а Рис. 5.6 Отметим еще раз, что утверждение теоремы 5.3 записывают в той же форме, что и утверждение теоремы 5.2, т.е. в виде (5.12). В этом случае имеют в виду интеграл по составному контуру Ь, обходимому в положительном направлении. При таком обходе многосвязная область остается все время слева, что на внешнем контуре соответствует движению против часовой стрелки, а на каждом из внутренних контуров — движению по часовой стрелке. 5.3. Независимость интеграяа от пути интегрирования 157 Пример 5.5.
Вычислим интеграл от функции /(г) вдоль асгпроиды, заданной параметрическими уравнениями к = асоггс, Р = ав1пге, 1 Е (0,2к] (рис. 5.6), если этот контур обходится против часовой стрелки, а функция имеет вид: а) /(г) = е', б) /(г) = 1/г. а. Функция е* является целой (см. пример 4.2). Поэтому в силу теоремы Коши для односвязной области имеем (5.17) б. Функция 1/г является аналитической на всей комплексной плоскости (г) за исключением точки г = О, так как в этой точке она недифференцируема. Окружим точку г = 0 окружностью ~г~ = р, целиком лежащей внутри астроиды (см.
рис. 5.6). Тогда функция 1/г будет аналитической в двусвязной области Р, ограниченной астроидой и этой окружностью (на рис. 5.6 область затенена). Используя (5.16) и (5.11), получаем (5.18) — — = 2ке'. Ъ ~я~=р 5.3. Независимость интеграла от пути интегрирования Используя свойства аддитивности и ориентированности иктаеграла огн фрккциц кояеклексного переменного (см. 5.1), можно прийти к выводу, что если интеграл от функции У(г) по всякому замкнутому контуру, расположенному в некоторой обласгви Р, равен нулю, то интеграл от /(г) по любой кривой, лежащей в Р, зависит лишь от положения начальной и конечной точек этой кривой и не зависит от кути пнтпегрирования.
Действительно, рассмотрим любые две кусочно гладкие кривые 71 и уэ, соединяющие точки А и В в области Р (рис. 5.7). 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 158 Рис. 5.7 Эти кривые образуют замкнутый контур Ь,и поэтому в силу аддитивности интеграла и указанного выше условия имеем ф ~(я) дг = ~(я) ~Ь+ ~(г) ~Ь = О. ъ АпВ ВША Отсюда, принимая во внимание ориентированность интеграла от функции комплексного переменного, получаем 1(я) ~Ь = у (я) ~Ь.
АъВ А7а В С учетом сказанного и теоремы Коши для односвязной области приходим к следующему утверждению. Теорема 5.4. Если у(я) — аналитическая функция в некоторой односвязнои области Р, то для любых точ юбыхточек А В ЕР значение интеграла от у(г) вдоль кусочно гладкои кривой у, соединяющей точки А и В, не зависит от выбора этой кривой, лежащей в Р, а зависит только от положения ее начальной А и конечной В точек. Для такого интеграла часто используют запись В «в г ,)'(я) сЬ или у (я) ~Ь, 5.3.
Неаавиеииоеть интеграла от пути интегрирования 159 где ал и хв — комплексные числа, соответствующие точкам А и В комплексной плоскости. Теорема 5.5. Пусть Да) — функция, непрерывная в односвязной области .Р, и интеграл от Да) по любой кусочно гладкой кривой, лежащей в Р, зависит лишь от положения начальной и конечной точек. Тогда для любои точки ле е Р функция Е(я) = У(~) И~) з Е Р> (5.19) ло является аналитической в этой области и Р'(л) = = ~(л), н Е Р. Иг (а) Ыз (5.20) м Для доказательства теоремы необходимо установить справедливость (5.20). Для этого в б-окрестности Пл(г) с Р произвольной точки я возьмем некоторую точку г1 ~ а и покажем, что разность Е(л1) — г.
(н) л| л л1 л1 В( )= ПО й:= 1(0 К+ Ю) К=Г(я)+ 1(0 К. ло ло л есть бесконечно малая величина при г1 -о я. Зафиксируем некоторую кривую у, лежащую в Р и соединяющую точку го с точкой ж Соединим точку я1 с л прямолинейным отрезком длиной е1 = ~з1 — г~ (рис. 5.8). В силу свойства аддитивности интеграла от функции комплексного переменного (см. 5.1) можно запи- сать а 11н1 ~1 Р~~йнАния эунк~~Й 160 Отсюда с учетом того, что | м ,1 (Я) И~ = 1 (Я) (з1 л) (см. пример 5.1), получаем равенство В силу непрерывности функпии Дя) для произвольного е ) 0 существует такое Б, что для любого ~ при условии ~~ -я~ < < б будет выполнено неравенство ~~(~) — 1(я)~ < е.
Если ~ принадлежит отрезку, соединяющему точки з и я~, то ~~ — з~ < д и, следовательно, ~~(~) — ~(з) ~ < е. Используя оценку интеграла вида (5.9), получаем х! ! " ' „"'-л ~ =,,',, ~да-л.~) к~<,,"',=.. х Следовательно, Р(з~) — Г(г) Й~-+Й что, принимая во внимание определение 4.1 производной функции комплексного переменного, доказывает равенство (5.20), а вместе с этим и утверждение теоремы в целом. ь Отметим, что условиям этой теоремы удовлетворяет любая функция ~(я), аналитическая в односвязной области В.
Поэтому такая функция имеет в Х1 первообрззную, одной из которых будет интеграл (5.19) с переменным верхним пределом. 161 5.4. Формула Ньютона — ЛеМаица 5.4. Ф>ормула Ньютона — Лейбница Теорема 5.6. Если функции Дз) и д(з) аналитичны в области Р и ('(г) = д'(я), з Е Р, то ~(з) = д(з) + С, г Е Р, где С вЂ” некоторое комплексное чисю ~ В силу условий теоремы функция Цз) = Дз) — д(з) аналитична в Р и Й'(з) = 0 в Р. Пусть а(з) = и(х,у) +1и(х,у). Согласно формулам (4.10) — (4.13), имеем ди ди до до дх ду дх дх в области Р. Выберем произвольную точку а Е Р, и пусть ее окрестность Щх) целиком включена в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
