X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

В противоположность этому две функции комплексного переменного, совпадающие на любом множестве, которое имеет предельную точку в области Р их аналитичности (например, в некоторой окрестности точки или на дуге, принадлежащей Р), совпадают тождественно во всей этой области. Очень часто в теории функций комплексного переменного используют следующий (ослабленный) вариант теоремы единственности. Следствие 4.1. Пусть функция 1(я) является аналитической в области Р и 1(з) о— я с = сопв1 на некоторой кривой у, лежащей в Р. Тогда 1(я) = с = сопв1 в области Р. Опираясь на теорему единственности, можно показать, что известные тождества для элементарных функций (например, общеизвестные формулы тригонометрии или функциональное тождество с*+я = е*е" для показательной функции) остаются верными при переходе к комплексным значениям переменных. Для элементарных функций также сохраняются все формулы дифференцирования, известные для действительных функций действительного переменного (П1.

4.а Воссеаноиление анаеигической функции 133 Пример 4.7. а. Покажем, что зш и+сов я=1, зЕС (4.36) Так как зшх и созз — аналитические в С функции, то 7(з) = = з1п2 «+ соз2 х — 1 также является аналитической в С функцией. Поскольку ~'(я) = О при х = х Е а1, то в силу следствия 4.1 1 (г) = О всюду в С б. Докажем справедливость равенства е"+" =е*'е" з х ЕС. ь 2 (4.37) При действительных з1 и х2 (4.37) справедливо. Пусть х2 действительно и фиксировано. Тогда левая и правая части (4.37) являются целыми функциями переменного з1 Е С При действительном х1 зти целые функции совпадают.

Следовательно, по теореме 4.4 эти функции совпадают при всех комплексных я1. Итак, равенство (4.37) верно при любых комплексных з1 и действительных 22. Пусть теперь фиксировано 21 Е С. Тогда обе части (4.37) являются целыми функциями переменного з2 Е С. Так как эти функции совпадают при любых действительных х2, то в силу той же теоремы они совпадают и при любых комплексных 22. Тем самым справедливость (4.37) доказана для любых комплексных чисел з1 и з2. Отметим, что в 3.3 справедливость (4.37) доказана путем перемножения двух абсолютно сходящихся рядов. 4.9.

Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части Пусть функция 7"(х) = и(х,у) +1о(х,у) является аналитической в области Р и, кроме того, функции и(х,у) и о(х>у) имеют непрерывные частные производные до второго порядка 134 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ включительно*. Дифференцируя первое нз условий Коши— Римана (4.6) по переменному х, а второе — по переменному 9, получаем дгп дг„дгп дгг дхг дхду' дрг фдх' Складывая зти равенства и учитывая, что смешанные производные функции и не зависят от порядка дифференцирования в силу их непрерывности [Ч), находим дп дп — + — = О.

дх дуг (4.38) Аналогично дгс дге — + — =О. д дг — . (4.39) Итак, действительная и мнимая части аналитической функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производ ныл~. Действительную функцию и(х,у), имеющую непрерывные частные производные второго порядка в области Р и удовлетворяющую дифференциальному уравнению (4.38), называют вармоничесзеой Яунмцией в Р, а дифференциальное уравнение — уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа часто записывают в виде Ьи = О или у ги = О, где д д сл = ~7г = — +— дхг ду~ 'Усювие существования частных производных на самом деле является взлишиим, так как всегда выполняется для аналитических функций.

Это станет ясным из дальнейшего наложения материала. обозначает оператор Лапласа. Приведенные рассуждения показывают, что действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями. Отметим, что не любая пара гармонических функций образует аналитическую функцию. Функция 4.9. Восстановление акааяткческой фуакакк ди ди — — дх+ — пу ду дх (4.40) Оно является полным дифференциалом, если у(г) = и(х,у) + ге(х,у) будет аналитической, если гармонические функции и(х, у) и е(х, у) связаны друг с другом условиями Коши — Римана (это следует из теоремы 4.2).

Пару гармонических функций и(х,у) и е(х,у), связанных условиями Коши — Римана, называют сопряженными гармоническими функциями. Таким образом, действительная и мнимая части функции, аналитической в некоторой области, являются в этой области сопряженными гармоническими функциями. Верно и обратное утверждение: парь сопряженных в области Р функций и(х,у) и е(х, у) составляют функцию комплексного переменного у(х) = и(х,у) + те(х,у), аналитическую в Р.

Отметим, что если функции и(х,у) и е(х,у) составляют пару сопряженных гармонических функций, то парой сопряженных гармонических функций являются также е(х,у) и — и(х,у). Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить для этой пары функций условия Коши — Римана: они сводятся к условиям Коши — Римана для пары функций и(х,у) и и(х,у). Зная одну из сопряженных гармонических в области .Р функций и(х,у) и и(х,у), можно восстановить другую.

А именно покажем, что для всякой гармонической в односвязной области Р функции и(х,у) существует сопряженная с ней гармоническая в Р функция е(х,у). При этом функция е(х,у) определена с точностью до постоянного слагаемого.

Действительно, условия Коши — Римана можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции е(х,у). При этом задача состоит в востановлении функции по ее частным производным. Составим выражение 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 136 дги дзи — + — = О. дх2 ду2 Но это равенство верно, так как функция и(х, у) является гар- монической. Поэтому в односвязной области Р существует такая функция о(х, у), что указанное выражение является диф- ференциалом о(х,у), т.е.

всюду в Р верны равенства до ди до ди дх ду' ду дх' Но зто и означает, что функции и(х,у) и о(х,у) являются со- пряженными гармоническими функциями. Остается добавить, что по своим частным производным функцию можно восстано- вить только с точностью до постоянного слагаемого [Ч1Ц. Функцию о(х, у) по ее дифференциалу (4.40) можно восста- новить с помощью криволинейного интеграла: (хгя) ди ди о(х,р) = 1 — — дх+ — ао+ Р, др дх (хо оо) Г ди о(х,р) = — / — е(х + ~р(у), / ду (4.42) где точки (хе; ре) и (х; у) принадлежат области Р. Твк как под знаком криволинейного интеграяа стоит полный дифференциал, рассматриваемый в односвязной области Р, этот интеграл не зависит от пути и представляет собой функцию верхнего предела, т.е.

переменных х и у [Ч1?]. Если область Р является многосвязной, то интеграл (4.41) может зависеть от пути интегрирования. В этом спучзе подынтегрзльное выражение не является дифференциалом функции во всей области Р и для функции и(х, у) сопряженной гармонической функции нет. Для определения функции о(х,р) можно непосредственно использовать условия Коши — Римана, и иногда зто более д~ ди удобно. Действительно, иэ уравнения — = — — находим, что дх ду 137 49. Восстаиоааеиие аиаеитической фуикиии ди где неопределенный интеграл в правой части от функции— У двух переменных х и у взят по переменному х.

Поскольку в этом случае переменное у рассматривается как параметр, то постоянная интегрирования может зависеть от этого переменного и входит в правую часть в виде некоторой функции ~р(у). Таким образом, с помощью второго условия Коши — Римана неизвестную функцию е(х,у) можно определить с точностью до функции одного переменного у. Эту функцию можно найти исходя иэ первого условия Коши — Римана. Подставим представление (4.42) неизвестной функции е(х, у) де ди в уравнение — = †.

В результате получим ду дх' д Г ди, дп — — ~ — «х+ д'(Р) = —, др/ ду дх' откуда ди д Гди р'Ь) = — + — ~ — дх. дх ду/ др Правая часть найденного уравнения не зависит от переменного х, поскольку да да Поэтому это уравнение позволяет найти функцию ~р(у) с точ- ностью до постоянного слагаемого. Замечание 4.3.

Если аналитическая функция восстанавливается по своей действительной или мнимой части через определение сопряженной гармонической функции, то ответ будет получен в форме Дх) = и(х, р) + го(х,у). На практике функции и(х,у) и е(х,у), как правило, задаются некоторыми выражениями, возможно включающими элементарные аналитические функции типа показательной функции или тригонометрических функций. В этом случае и саму функцию 1(х) можно представить некоторым выражением, включающим переменное 138 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ л.

Для этого в записи и(х,у) + 4е(х,у) достаточно выполнить формальную замену х = л, у = О: ,1(х) = (и(х,у)+ге(х,у)) (4.43) до д2 „д дзи — =2х+2, — =2, — = — 2у, — = — 2. дх ' дхэ ' ду ' дуз Таким образом, функция и(х,р) имеет непрерывные частные производные второго порядка и д~и д~и — + — =О х убей, дх др2 т.е.

она гармоническая на всей плоскости хОу и поэтому является действительной частью некоторой аналитической в С функции. Найдем гармоническую функцию с(х,у), сопряженную с функцией и(х, у). Из условий (4.6) Коши — Римана следует, что де ди д д — = — — = 2у — = — = 2х+2.

дх ду др дх Значит, можно записать е(х,у) = (2х+ 2) Ир+ 4 (х) = 2ху+ 2р+ фх). Дифференцируя это равенство по х и учитывая, что — = 2у, де получаем де дх — = 2р+ ф'(х) = 2у, Пример 4.8. Проверим, является ли функция и(х,у) = = х2 — уз + 2х действительной частью некоторой аналитической функции, и если является, то найдем эту аналитическую функцию. Имеем 4.9. Восстановление аиалитичесвой фувкиии 139 что приводит к условию ф'(х) = О, откуда ф(х) = С = сопзФ.

Характеристики

Список файлов книги