X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом, о(х,у) = 2ху+ 29+ С. Используя (4.43), окон- чательно находим Дз) = (и(х,у)+4о(х,у)) ~ в=з = (х2 — 9~+ 2х+4(2ху+ 29+ С)) ! = 2~+ 22+ С4. в=О Пример 4.9. Проверим, является ли функция о(х,у) = = — 2зш2х зЬ2у+ 9 мнимой частью аналитической функции, и если да, то найдем аналитическую функцию Г(в), для которой Г(0) = 2. Вычислим д2е — = 8зш2х зЬ29, дх2 д е — = — 8з1п2х зЬ29. д92 де — = — 4 сов 2х зЬ29, дх дю — = -4зш2х сЬ29+1, дд ди де д д — = — = -4зш2х сЬ29+ 1, — = — — = 4соз2х зЬ29 дх ду ду дх гармонической функции и(х, у), сопряженной с заданной функ- цией о(х,у).
Тогда Г ди и(х,у) = 1 — ох+ со(9) = / дх — — (4зш2х сЬ2у — 1) Их+ у(у) = 2соз2х сЬ29+ х+ р(у). Отсюда следует, что е(х,у) является гармонической функцией в и' и поэтому является мнимой частью некоторой аналитической в С функции. Используя условия (4.6) Коши — Римана, запишем частные производные 140 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Дифференцирование этого равенства по у с учетом выражения для ди/ду дает ~р'(у) = О, т.е. ~р(у) = С = сопзс.
Итак, и(х,у) = = 2соз2х сЬ2у+х+ С и, согласно (4.43), ~(з) = (2соз2х сЬ2у+ х+ С+1(у — 2зш2х зп2у)) я=о = 2соз2г+ х+ С. Для нахождения постоянного слагаемого С используем условие ДО) = 2, которое приводит к равенству 2 = 2+ С, откуда С = О. В итоге искомой аналитической в ч.. функцией будет Дя) = 2соз2г+ г. /ди(х,у), ди(х,у) ~ ~ я=о (4.44) а в случае применения формулы (4.13) имеем (д (х,у) д (х,у)~ ду дх ! я=* Вводя, как и в действительном случае, понятие первообрззной и неопределенного интеграла (при этом остаются в силе все обозначения и правила вычисления неопределенных интегралов), заключаем, что функция у(г) будет являться первообразной, Замечание 4.4.
К восстановлению аналитической функции можно подойти иначе. По заданной действительной и(х,у) (или мнимой е(х,у)) части, которая является гармонической в односвязной области В функцией, находят производную искомой функции. Для этого сначала используют одну из формул (4.11) или (4.13) и находят производную в форме „действительная часть плюс мнимая часть". Затем выполняют преобразование так, как отмечено в замечании 4.3. Тогда в случае применения формулы (4.11) имеем 4.9. Восстанонление аналитической функции 141 найденной в односвязной области Р функции Г'(г): (4.45) Можно показать, что множество всех первообразных имеет вид Г(х) + С, где Г(х) — одна из первообразных, а постоянное слагаемое С может принимать любые комплексные значения.
В данном случае зто позволяет найти функцию 1(г) с точностью до произвольного комплексного слагаемого. Но по условию задачи действительная часть (или мнимая часть) функции известна. Значит, из уравнения Кеу(х) + КеС = и(х,у) (или 1т.~(х) + 1тС = е(х,у)) можно найти действительную (мнимую) часть слагаемого С. В результате получаем искомую функцию с точностью до мнимого (действительного) слагаемого. Пример 4.10. Восстановим аналитическую функцию Дн) по ее действительной части и(х,у) = ехсову+ х~ — у + Зх и значению ДО) = О. Функция и(х,у) гармоническая в Кз, так дхи дзи х . 2 — + — = ех сову+ 2 — ех сову — 2 = О, (х; у) Е К . дхз дуз Поэтому и(х,у) является действительной частью некоторой аналитической в ч.
функции у(н). Используя (4.44), находим (ди(х,у), ди(х,у) ~ дх ду / х=х и=О = (ехсоау+2х+3) ~ ., = е'+2г+3 и=О и, согласно (4.45), имеем 1(х) = (е'+ 22+ 3) ~Ь = е'+ г + Зг+ С. Из условия ДО) =0 получаем 0=1+С, или С= — 1. Итак, Пг) =ел+як+За — 1. 142 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 4.10. Понятие об аналитическом продолжении В теории функций комплексного переменного находит широкое применение понятие продолжения опьображепия. Определение 4.5. Пусть выполнены следующие условия: 1) функция /(л) определена на множестве Е С О) 2) функция Ф(я) аналитическая в области Р Э Е; 3) Ф(я) = /(г) при г Е Е.
Тогда функцию Ф(л) называют епалптвичесппм продолжеппем фупмцпе /(л) (с множества Е в область Р). Важнейшим свойством аналитического продолжения функции является его единственность при простом дополнительном условии. Теорема 4.5. Если множество Е имеет предельную точку а, принадлежащую области Р, то аналитическое продолжение Ф(я) функции /(я) с множества Е в область Р единственно.
~ Допустим, что функция /(я), определенная на Е, имеет два аналитических продолжения Ф~(я) и Фя(я) в область Р. Так как в силу определения 4.5 Ф~(л) = Фг(л), г Е Е, и по условию теоремы точка а Е Р является предельной для множества Е, то, согласно теореме 4.4 о единственности аналитической функции, Ф~(я) = Ф2(х) в области Р. ~ь В частности, если Е является кривой, лежащей в области Р, или подобластью области Р, то существует не более одного аналитического продолжения функции с Е в область Р. Пример 4.11. Найдем аналитическое продолжение функции .~(х) =,~, л".
=о Этот степенной ряд сходится в круге ~я~ < 1, и сумма зтого ряда равна 1/(1 — я) (см. примеры 2.5 и 2.6). Итак, /(я) = = 1/(1 — г) при ф < 1. Функция Ф(л) = 1/(1 — «) является Вопросы и задача 143 в силу определения 4.3 аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точки з = 1 и Ф(я) = /(х) при ~г~ < 1. Следовательно, согласно определению 4.5, Ф(х) = 1/(1 — а)— аналитическое продолжение функции /(я) из круга ф < 1 в область С~ (Ц, по теореме 4.5 — единственное.
46 Примером аналитического продолжения может служить переход от действительных функций е*, созх, зйпх действительного переменного х (т.е. функций, определенных на множестве Е = К) к функциям е*, созг, зшг комплексного переменного я, аналитическим в области Р = С и совпадающим на Е с соответствующими функциями действительного переменного.
Такой переход был осуществлен заменой действительного переменного х в степенных разложениях этих функций комплексным переменным ж Ранее отмечено (см. 3.3), что полученные при этом ряды сходятся абсолютно на всей комплексной плоскости С. Теорема 4.5 единственности аналитического продолжения фактически не только позволяет строить аналитические продолжения, но и переносит в комплексную плоскость известные соотношения длясоответстветствующих функцийдействительного переменного (см. пример 4.7). Вопросы и задачи 4.1. Проверьте на аналитичность функции зшз, 1пя и докажите, что (зшя)' = созз, (1пз)' = 1/ж 4.2, Найдите постоянные а, Ь и с, при которых функция /(г) = х+ ау+1(Ьх+ су) будет аналитической.
4.3, Найдите области, в которых функция /(г) = хз — уз+ + 21 ~ху~ является аналитической. 4.4. Проверьте, являются ли функции фз+2я и Я+я)/2 аналитическими. 4.5. Докажите, что функция У(я) = У нигде не является дифференцируемой. 144 4.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 4.6. Докажите, что если для аналитической в области Р функции /(х) выполнено в этой области условие ~/(х) ~ = сопвФ, то /(х) в Р является постоянной. 4.7. Определите, существуют ли аналитические функции /(х+»у) = и(х,у)+ге(х,у), для которых: а) и = хе — у~; б) и = = х» — у»> в) и = у/(х» + у»); г) и = х/у». Ксли такие функции существуют, то найдите их. 4.8.
Найдите аналитическую функцию /(а), если известна ее мнимая часть и(х,у) = с*вшу+ 2ху+ бу и задано условие /(0) = 10. 4.9. Установите области сжатия и растяжения плоскости (х) при отображениях: а) и = аз; б) и = 1/х; в)»л = е'. 4.10. Пусть и и и — сопряженные гармонические функции в области Р, одновременно не обращающиеся в этой области в нуль. Будут ли функции и/(и2+ и') и — и/(и~ + с~) гармоническими в Р2 4.11. Используя (4.33), найдите площадь области, являющейся образом прямоугольника ((х;у) Ейз: 0<х<2; 0<у<4) при отображении и = е». 4.12.
Найдите область С, на которую функция е* отображает прямоугольник ((х; у) Е Ж2: 0 < х < 2, 0 <у <8), и объясните, почему применение (4.33) для вычисления площади этой области дает неверный результат. 4.13. Используя (4.34), найдите длину участка спирали, который является образом отрезка у = х (О < х < 2я) при отображении »л = е'. 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АУ'НКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5.1. Понятие и вычисление интеграла от функции комплексного переменного Пусть на плоскости (я) дана кусочно гладкал кривая АВ (А и  — начальная и ковечвал точки этой кривой соответственно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
