X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Функцию комп,некскоео переменного л называют дкФ~ерекцируемок е гпочке ло, если ее приращение Ь|(вэ) в этой точке может быть представлено в виде ~1У(ло) = Аул+о(Ьл), (4.3) где А — комплексное число, которое не зависит от Ьл, но может зависеть от яе, о(слк) обозначает функцию, бесконечно малую (б.м.) при Ьл -+ О более высокого порядка по сравнению с Ьл, т.е. 1пп о(Ьн)/Ьг = О. Д -+0 Как и в случае действительной функции [??], функция комплексного переменного У(л) дифференцируема в точке ло тогда н только тогда, когда в этой точке существует производная ?'(ге). В этом можно убедиться, используя определения 4.1 и 4.2, а также теорему о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией (?-7.5), верной и в комплексном случае (см.
замечание 3.1). Итак, дифференцируемость функции Дл) в точке ле можно отождествить с существованием у нее в этой точке (конечной) производной. Пример 4.1. Функция Дл) = л'" (1п — натуральное) дифференцируема в каждой точке г Е С, так как ( + ~ )тй со 1пп а о Ьл лги+пи 1Ьн+~( ~ )лн' 1(Ьл)г+...+(Ьл) — л = 1пп а -+о Ьл тл ~слк+ о(Ьл) 1?ш = гпл Ьл->О Ьл При этом со)ю со — 1 что по форме совпадает с производной степенной функции действительного переменного. 112 4.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Главную часть приращения ЬУ(зо), линейную относительно Ьг, называют диЯЯеренциалом фуннции номпленсноео kеременноео у(г) в шоине яо и обозначают ву(яо). Так же как и в действительном случае, получаем ф'(яо) = у'(яо) Ьж Учитывая, что <Ь = Ья, приходим к соотношению Ф(ЯО) = У'(Ло) СЬ. (4.5) Отметим, что функции комплексного переменного, дифференцируемые в каждой точке некоторой области, по сравнению с дифференцируемыми действительными функциями обладают многими дополнительными свойствами.
Причина состоит в том, что условия существования производной в комплексном случае являются более сильными, чем в действительном случае. 4.2. Необходимые условия дифференцируемости Теорема 4.1. Если функция у'(я) = и(х,у) + го(х,у) имеет конечную производную в точке зо = хо+ 4уо, то функции и(х,у) и е(х, у) являются дифференцируемыми в точке (хо, уо) и в этой точке выполняются равенства ди(хо уо) до(хо уо) ди(хо уо) до(хо уо) (4 дх ду ' ду дх м Пусть функция у(я) имеет производную г'(яо) = А+ зВ в точке «о = хо +1уо.
Тогда приращение Ь1(яо) этой функции в точке яо можно представить в виде 'М(зО) = 4 (яО)~2'я + о(~1я). (4.7) Обозначим Ья = Ьх+ ю' Ьу. Тогда ЬУ(яо) = у(хо+ Ья) — у(яо) = = и(хо+ ~1х, уо+ -"~у) +10(хо+ 41х, уо+ ~1у)— и(хо Уо) Жхо уо) = ~Мхо Уо) + 4~1о(хо Уо) 4.2. Необходимые усювив дифферевцируемоети 1И Условие Ьз -+ О равносильно одновременному выполнению условий Ьх-+О и Ьу-+О, или, чтото же самое, условию р= [Ьх[= = /7ьь7нм~Р о. пу,иео=~ы~-'~(в, д,,0Р) и оо(р) — б.м.
при р -+ О более высокого порядка по сравнению с р. Условие существования производной функции ~(х) в точке хо (дифференцируемости в этой точке) означает выполнение равенства Ьи(хо, уо) +1Ье(хо, уо) = (А+ гВ)(йх+1ЬУ) + о,(р) +1оз(р). Приравнивая в этом равенстве действительные и мнимые ча- сти, получаем < Ьи(хо,уо) = АЬх — ВЬУ+о1(р), '~го(хо Уо) = В ~х+ Агху+ оз(Р).
(4.8) Тем самым доказано, что в точке (хо;уо) функции и(х,у) и о(х,у) дифференцируемы [ в'[, причем (4.9) Из приведенных равенств вытекают условия (4.6). ~ Замечание 4.1. Из равенств (4.9) можно получить формулу для вычисления производной функции комплексного пе- ременного ди(хо уо) . до(хо уо) у'(зо) = А+ 1В = +3 дх дх Соотношения (4.6) обычно называют услов аллеи .Коши— Римана, хотя эти соотношения можно встретить уже в работах Ж. Даламбера и Л. Эйлера, относящихся к середине ХЧП1 в. Сто лет спустя немецкий математик Б. Риман использовал (4.6) в приложении к геометрии и математической физике.
дп(хо,уо) дх д~( о,уо) дх В д (хо уо) ду (хо Уо) ду 114 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 4.3. Достаточные условия дифференцируемости Теорема 4,2. Если функции и(х,у) и 0(х,у) дифференцируемы в точке (хо, уо) и в этой точке выполнены условия Коши— Римана, то У)унниил,)(х) = и(х,у)+40(х,у) комплексного переменноэо г = х+ 4у имеет в точке хо = хо + 4уо производную 1'(хо) > которую можно вычислить по одной из формул: ур( ) ( 0>УО) ( 0>УО) (4 16) ди(хо,уо) ди(хо уо) .р( ) до(хо,уо) ,. ди(хо>уо) (4.12) д (*,,у,) , д.(*,,у,) (4.13) (4.11) д (щ,р,) .д (,,р,)) < В силу дифференцируемости функций и(х, у) и 0(х, у) в точке (хо; уо) их приращения в этой точке могут быть представлены в виде <Ч) дли(хО уо) — д-'х+ ~)>у+о(р) ди(хо>уо) ди(хо уо) ди(хо,уо) ди(хо>уо) дх у р р=р(' ) р(Ь~р=(Ь (; (р) д(р) — б..
р р Р более высокого порядка по сравнению с р. Поэтому приращение функции У(з) в точке хо с учетом замены, согласно (4.6), ~1У(зо) =~1и(хо,уо)+4~10(хо,уо) = д ' (~1х+г(лу)+ ди(*о,уо) +4 ' (Ьх+дЬУ)+а(р)+в13(р) = дх 4.3. Доетаточаые условие диф4еревцируемоети 115 Теперь в силу определения 4.1 производной имеем /'( )= 11 Ь|(»о) Ье-ее / д (хе,че) . д (хе,ре) ст(р) + д(р) Ъ 1пп ~ +1 + а -+о~ дх дх Ь» + Ф д (хе,р,) де(х„„,) дх дх При вычислении предела учтено, что 1ш1 = 11ш — =0 Ь~-+О Ь» Ье-+О Р Ь» как предел произведения функции (а(р) +ад(р))/р, б.м.
при р = ~Ь»~ -+ О, и функции р/Ь» = )Ь»(/Ь», ограниченной по модулю (~ — ~ = 1). Итак, доказана справедливость (4.10). Любое из остальных равенств (4.11) — (4.13) следует из (4.10) с использованием условий (4.6) Коши — Римана. ~ Опираясь на доказанные в теоремах 4.1 и 4.2 необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного, можно сформулировать следующий критперит1 дифферекцируемостпи фрккт4кк комплекскоео переменного. Длятогочтобыфункция/(») =и(х,р)+1е(х,у) бь|ла дифференцируема в точке»е = хе + 1ре, необходимо и достаточно, чтобы: 1) функции и(х,у) и е(х,у) были дифференцируемы в точке (хе~ уе)~ 2) в точке (хе, уе) выполнялись условия (4.6) Коши — Римана. При выполнении всех усховий этого критерия производную Г(»е) можно вычислить по любой из формул (4.10) — (4.13). 116 4.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Пример 4.2. Функция У(х) = е' дифференцируема на всей комплексной плоскости. Действительно, используя формулу Эйлера, имеем е~ е~+ч> ехе>р х(с + . и (4.14) Стало быть, и(х,у) = ехсову и о(х,у) = е*в1пу. Эти функции дифференцируемы в Й2, причем х ехв ду дх' т.е. выполнены условия Коши — Римана. Следовательно, функция е' дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости. Согласно (4.10) и (4.14), находим (е')' = — + ю' — = ех сову+ ге*вшу = е'. (4.15) дх дх 4.4. Условия Коши — Римана в полярных координатах Пусть х = те'"'. Тогда можно записать у(г) = и(т,>р) + + ю(т,>р). По формулам вычисления частных производных сложной функции двух переменных (Ч) находим ди ди дт ди д>р — = — — + —— д д д дпдр = — — + —— дх дт дх д>р дх' + > дх дт дх д>р дх ' Учитывал формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки на плоскости у=твш>р, т =х +у, ся>р= —, 2 2 2 х х = т сов>р, дп до — = ехсову = —, дх ду' ду д ду дрду' до дю дт де д>р — = — — + —— ду дт ду д>р ду ' 4.4.
Условия Коши — Римана в полярных координатах 117 получаем х г сову — сову, ~/хг+ уг 1 ( у ~ 1'вшу вш~р 1+у21 г1 2! гг у г вшу /хг+ у2 г 1 1 т сову сову 1+ уг/хг х гг т Подставляя найденные выражения для частных производных в формулы дифференцирования функций и(х,у) и е(х,у), полуди да де дю чаем выражения частных производных —, —, —, — через дх' ду' дв' де дв ди дп дп переменные г и у и частные производные —, —, —, —: дг' дав' дг' д~о' ди ди 1 ди — = — СОЗУ вЂ” — — З1ПУ, дх дг т ду ди ди . 1 ди — = — вшу+ — — сову, ду дт т ду де де .
1 де — = — вшу+ — — сову. ду д1 7 ду де де 1 де . — = — СОЗУ- — — ЗШ дх дт г ду ди 1 ди . де . 1 де — сову- — — вшу = — з1пу+ — — сову, дг т ду дг г ду ди . 1ди де 1де — вшу+ — — сову = — — сову+ — — вшу. дг 1 ду дг гду Умножая первое равенство на сову, второе — на з1пу, а затем складывая, находим — (СОЗ У+ЗШ У) = — — (СОЗ У+З1П У). ди 2 ° 2 1 де 2 ° 2 д1 т ду Подставляя полученные выражения в условия (4.6) Кошев Римана, приходим к равенствам 118 4.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Умножая первое равенство на яшар, второе — на сову, а затем вычитая из первого второе, получаем 2 ° 2 де 2 ° 2 — — — (соз ~р+зш <р) = — (сов <р+зш ~р). т д~р дт ди 1 ди ди 1 ди (4.17) д. др' д .др Производную 7"'(в) удобно вычислять по одной из формул 7"'(в) = — ( — + г — ), т ди ,де дт дт (4.18) ~'() =-( — — — ), 1 дв ди дФ д~р ' (4.19) которые нетрудно получить подстановкой (4.16) в (4.10) — (4.13) с последующим учетом (4.17). Например, докажем формулу (4.18). Согласно (4.10) и (4.16), имеем ди .дс У'(я) = — + ' — = дх дх =( ди 1ди .
~,где 1ди, — сов~р — — — з1п~р) +1( — сов~р — — — яшар). д где ! 1д ду В полученном представлении производной функции 7" (г) заменим в соответствии с (4.17) частные производные — и— ди де ар Ор дв де частными производными — и —: дт дт' тди де . ~,где ди .
7'(я) = ( — совр+ — вппр)) + ь ( — соыр — — вшу) = (дт дт ) ~дт дт ди , . ди = — (сов ~р — гв1п<р) + — (зш~р+1сов~р). дт дт С учетом тождества сов~ ~о+ зш ~р = 1 приходим к доловил.н Хаши — Римана е полярных ноординатаах 4.4. Усаоаии Коти — Римана н иааираых координатах 119 Так как з = т(сазу> + т з1п~р), то з .а сезар — 1зш<р= —, зш<р+1созу=1(сезар — тзш~р) =1 —.
т Поэтому ди л,де л л /ди,де~ 7'(з) = — — +1 — — = — ~ — +1 — ). д ° д 1д д1 Наконец, учитывая, что лл = т~, получаем равенство (4.18). и(г,<р) = ~/т сов —, 'р 2' и(т,~р) = ~/г з1п— <~Р 2 ди 4г, ~р — =- — зш др 2 2' ди 1 ~р — = — соз —, дт 2~/т 2 ' дн ~/г р — = — соз —. др до 1 . <р — = — зш дг 2„/г 2' Стало быть, ди/дт = Ят)ди(др и ди/дт = — (Цт)ди(д~р.
Из (4.18) находим при г ~ 0 (при л ф 0) т/1 ~р, 1 . р1 ~'(я) = — ~ — соз — +1 — зш — ) = . = —. (4.20) з 12~т 2 2~/т 2) 2 ~ге'т1з 2у(л) Последнее соотношение можно записать в виде Ь~ )'=— 2~/г ' Пример 4.3. а. Функция ф! является двузначной. Рассмотрим в комплексной плоскости С с разрезом по отрицательной части действительной оси ту ее ветвь 7(л), для которой ~(1) = 1. Функцию ~(л) можно записать в виде ) (л) =,/ге'~/з, где я=те'и, — я < 1о < я. Эта функция при гфО (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
