X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сумма элементов и-й диагонали, согласно биволед Ньюгпона, равна (21 + 22)"/и! При такой группировке все члены ряда будут учтены, причем по одному разу. В результате получим 88 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕГЕМЕННОГО тельной функции е' комплексного переменного» Е С при любых его значениях. Ясно, что е' ~ О, » Е С 2. Функция е' периодическая, и ее период Т = 21я. Действительно, согласно (3.26) и (3.27), для у(») = е' имеем 7" (»+ 2яг) = е'+~1 = е'еьч = е'(сов2я+1зш2к) = е' = Д»). Отметим, что если Т = Т1 + 1Т» является комплексным периодом функции е', то е'~~ = е', откуда, используя условие равенства комплексных чисел в тригонометрической форме, приходим к соотношениям е*+ ' = )е'+ ~ = )е') = е*, » = »+ 1у. В силу монотонности функции е* действительного переменного заключаем, что Т1 = О.
Из равенства е'+гг1 = е' получаем равенство аргументов у+ Т» = у+ 2яя, откуда находим, что Тз является кратным числа 2я. Итак, число 2ггг' действительно является периодом показательной функции. 3. Если т — целое число, то с учетом (3.27) имеем (е') = (е*(созу+1вшу)) = е *(солту+1апту) = е"'~*+'"1 = е™. 4. Из равенств (3.22) и (3.23) можно заключить, что функции сов» и ап» имеют период 2я, т.е. сов(»+ 2ггя) = сов» и з1п(»+ 2яя) = зш», и что для этих функций остаются в силе основные тригономе- трические тождества зш»+сов»=1, СОВ(»1 ~ »») = СОВ»1 СОВ»З + ап»1 В1П»») вш(»1 х»») = з1п»1 сов»2 т. сОз»1 з1п»» и т.п.
З.З. Элементарные функции компнекеного переменного 39 Докажем, например, первое тождество. Имеем зш я+сон г=( ) +( ) Е21к 2+ Š— 2М Е2М + 2+ Š— 2ке 4 4 Для доказательства второго тождества используем соответ- ствующие преобразования: СО881 СОЗЛ2 — ЗШН1 81ПЛ2 = Е"'+Е "' Е'"+Е 1не Егн -Е '" Е1н'-Е "' 2 2 2г 2г е1(м'~ «а) + е 1(н1 1 ее) = соз(81 + «2). 2 Аналогично доказываются и другие тождества.
Как и в случае действительного переменного, через синус и косинус определяют еще две функции комплексного переменного — тангенс и котангенс: вша СКЗ = —, сов н соз н с1бн = —. ЗШ е' — е ' ЗЬЗ = е'+е ' сЬЗ = 2 сЬЗ е'+е ' сФЬз = — = ЗЬЗ е' — е е ЗЬЗ е' — е ' ФЬЗ = — = сЬ» ее+е ' Первая из этих функций определена для всех г, кроме решений уравнения созг = О, а вторая — кроме решений уравнения зшг = О. 5.
Хотя (3.22) и (3.23) с учетом (3.27) позволяют вычислить созн и 81пн, на практике удобнее использовать связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями комплексного переменного. По определению полагаем 90 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Легко проверить, что сЬ~ г — зЬ' я = 1.
При помощи (3.27) можно установить и другие тождества для введенных гиперболиче- ских функций: (3.28) Проверим, например, первое иэ соотношений (3.28): е'Н') — е '0') е ' — е',е' — е ' зшы — — — г — гзЬг. 2г 2г 2 Иэ (3.28) и основных тригонометрических тождеств можно получить тождества зш(х~гу) =зшхсЬу~гсозхзЬу, соз(х х зу) = соя х сЬ у ~ г зшх зЬ у. (3.29) Отсюда (з1пя) = зш~х+зЬ у = сЬ у — соззх, )созг( = соззх+зЬзу= сЬзу — зшзх. Поэтому )зЬу( < (зшя) < сЬу и )зЬу) < (созг! < сЬу.
Так как функция зЬ'у может принимать сколь угодно большие значения, то последние неравенства убеждают в том, что зшя и созя не являются на комплексной плоскости ограниченными по мо- зшй = гзЬг, совись = сЬг, $8гг = гФЬЯ, сйбй = — зсФЬз, зЬЫ = гзш сЬьз = созя, ФЬы = гФЕг, сФЬй = -зс$8ю З.В. Элементарные функцнн комплексного переменного 91 дулю функциями.
Отметим, что при больших значениях ~у~ 1 ) совы! - ) вшг) - сЬу - — е~"~. 2 Воспользовавшись равенствами (3.29), можно решить уравнения сов в = 0 и в1п т = О. Рассмотрим первое из них. Равенство сов г = 0 означает, что сов хсЬу — 1вЬхвшу = О, откуда, разделяя действительные и мнимые части, находим совхсЬу = О, вшхвЬу = О.
Из первого уравнения с учетом сЬу ф 0 получаем совх = О. При этом вшх = ~1, и из второго уравнения заключаем, что вЬу = О, или у = О. Итак, уравнение сове = 0 в комплексных числах сводится к уравнению совх = 0 в действительных числах. Его решения: х = — + Йх, Й Е Ж. Аналогичным образом можно решить и второе уравнение вше = О, которое имеет только действительные решения л = Йх, Й Е Ж. С помощью (3.29) можно вычислить значения вшг и совг для произвольного значения в Е С.
Отметим, что под вычислением значения функции комплексного переменного понимают представление этого значения в алгебраической форме, т.е. вычисление действительной и мнимой частей этого значения. Вычислять значения функций $8 в (г ~ (2Й + 1)п/2) и с18 л (г ~ Йх) можно, либо представляя эти функции через вша и сова, либо используя совместно с (3.28) формулу элементарной тригонометрии для тангенса суммы двух углов. Для г = х + 1у имеем $8х+$8гу 18х+гФЬу юг = $8(х+1у) 1 — $8х 18гу 1 — г 18х ФЬу (18х+1СЬу)(1+1$8х ФЬу) (1 — 1 $8х ФЬу)(1+ 1 18х СЬу) 1-1Ьзу 1+$8зх 18х+т ФЬу. (3.30) 1+ юг х 1Ьзу 1+18вх 1Ьзу 92 3.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Несложно получить следующие оценки: 2е в 2е ~" < !СЕ(х+1у) — 1~ <, у) 0; 2е~" 2е~" 1+ е2в < ~ СЕ(х+ 1у) +1~ <, у < О. 1 — езв ' Отсюда, в частности, вытекает, что 1 1Еа-+1 и с1Ег= — -+ — 1 при 1шг= у — ~+со, Сая 1 1Еа-+ -ю' и с1Ел = — -+ г при 1ш» = у-+ — оо. 1Еа На рис. 3.9 представлена поверхность модуля р = ~Да)~ функции Дг) = вшю Эта поверхность в направлении действительной оси Ох является периодической с периодом ~г, и ее сечение вертикальной плоскостью, проходящей через эту ось, дает график функции ~вшх~, а сечения плоскостями х = Йз и Рис. 3.9 З.З.
Элементарные функция комплексного переменного 93 х = я/2+ /ен, к Е Ж, дают графики функций ~ яЬу~ и сЬу соответственно. По мере удаления точки г от оси Ох значения р = ~з1ах~ неограниченно возрастают и по форме поверхность модуля приближается к цилиндрической поверхности с уравнением р = е1"1/2. Ясно, что при параллельном переносе системы координат вдоль оси Ох так, чтобы ее начало перешло в точку (гг/2; 0; О), поверхность на рис. 3.9 будет рельефом функции соя г = зш(г+ н/2).
Пример 3.4. Используя (3.27), вычислим е" при х = иг/2, з = ен и з = 1п2+ тн/2: гя/2 е =соя — +4зш — =г, 2 2 е' = соек+ гяш1г = — 1, 1п 2+юг/2 1и 2 зп/2 2 ° г/рг Пример 3.5. Используя (3.28) — (3.30), вычислим сояг = сЬ1, зш(1+ 21) = яш1 соя21+соя1 яш24 = яш1 сЬ2+ гсоз1 яЬ2, соя1 — +41а21 =соя — соя(41а2) — яш — я1п(41п2) = (2 / 2 2 е!п2 е — 1п2 2 1/2 = — гяЫа2 — — 1' 2 2 (гг . 1 4 4 (1 — ФЬ21а2)З8 я (1+З8~ — ) ФЫа2 $8 — + 4 1п21 = „4 + 4 4 ~ 1-1- 282 -' ЗЬ21п2 1+ юг -" МР 1п2 4 4 1 — (3/5)2 . 1+ 1 3 8 15 1+1 (3/5)2 1+1 (3/5)2 5 17 17' поскольку 18(н/4) = 1, а е1п2 е-1п2 2 — 1/2 3 1Ыа2— е1п2+е-1п2 2.+ 1/2 5' 94 3.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.4. Многозначная функция Агя я Самые простые задачи приводят к необходимости рассматривать многозначные функции. Например, уравнение я = ю" при любом фиксированном я ф 0 имеет п различных решений, вычисляемых по формуле Муавра. Совокупность этих решений, которую обозначают через фБ, нельзя рассматривать как функцию переменного я, поскольку определение функции предполагает, что каждому значению переменного соответствует единственное значение функции ы = ~(я).
Попытка отказаться от однозначности в определении функции привела бы к значительным неудобствам. В самом деле, какой смысл, например, надо вкладывать в сумму фБ+ фя, если каждое слагаемое принимает п значений, и можно ли эту сумму заменить выражением 2,"у'я? Самые простые правила анализа при таком допущении оказываются под вопросом. Если каждому числу я е Е с С поставлено в соответствие несколько комплексных чисел, обозначаемых ш = Йя), то говорят о многоэначной фвннцнн номпленсного переменного, заданной на множестве Е.
Говорит, что в области В С Е выделена одноэначнал вегпвь многозначной фрннцин ~(я), если в каждой точке этой области выбрано одно из возможных значений многозначной функции Дя), причем так, что полученная однозначная функция является непрерывной в области В. Определение ветви многозначной функции можно было бы дать без условия непрерывности.
Однако в теории функций комплексного переменного, равно как и в теории функций действительного переменного, в основном рассматривают непрерывные ветви многозначных функций, что и учтено в данном вьппе определении. Многозначная функция может иметь как конечное число ветвей, так и бесконечное их число. Отметим, что не во всякой области, в которой определена многоэначнэя функция, можно выделить ее однозначную ветвь. 3.4. Мяогозяачяая фуяяцяя Агяа 95 В теории функций комплексного переменного особую роль отводят многозначной функции Агяж С этой функцией связаны многие другие многозначные функции: построение однозначных ветвей этих функций определяется выбором значения аргумента комплексного переменного, т.е. выбором однозначной ветви многозначной функции Асям.
Согласно определению аргумента комплексного числа, каждому числу г = х+1у ф 0 можно поставить в соответствие бесчисленное множество значений ~р = Агбз, которые отличаются друг от друга на слагаемое, кратное 2я. Эти значения ф определяются соотношениями сов ~р = /~2 + 92 в1п~р = "я' /~2 + Р2 Неоднозначное определение аргумента комплексного числа— первый и, пожалуй, самый важный пример неоднозначности в теории функций комплексного переменного. Однозначные ветви многозначных функций можно выделять, анализируя приращение функции вдоль непрерывных кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
