X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(2.27) 1 — г ос о 64 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДИ Аналогично для ряда с общим членом ( — 1) "2" находим + 2+ +( 1)о я+ 1+2 = ,'1 ( — 1)"г", ф <1. 41 (2.28) Пределы в формулах (2.24) и (2.25) для радиуса сходимости степенного ряда могут не существовать. В некоторых таких случаях круг сходимости можно найти, непосредственно применяя радикальный признак Коши или признак Даламбера. Пример 2.7. Найдем круг сходимости степенного ряда Е 22п 22 24 яб + + + ° ° ° , и 1 2 3 Здесь с1 = О, с2 = 1, сз = О, с1 = 1/2 и т.д.
Коэффициенты степенного ряда имеют вид 2 — и — четное; с„= О, и — нечетное. Следовательно, пределы и 1пп !— 1пп ~Я не существуют. Применим к ряду из модулей рассматриваемо- го степенного ряда признак Даламбера: ) 2(о4-1)( 1пп ~21 ~ ~2 о-+оо ~22" ~ и+ 1 о-+оо и+ 1 Отсюда заключаем, что при ф~ < 1, т.е. при ф < 1, ряд из модулей сходится, а исходный ряд, стало быть, сходится абсолютно. При )г)2 > 1, т.е.
при ф > 1, ряд из модулей расходится вследствие нарушения необходимого признака сходимости. 2.4. Круг сиодииооти 65 Значит, расходится и исходный степенной ряд. Из приведенных рассуждений вытекает, что круг сходимости есть |я) < 1. Пример 2.8. Найдем радиусы сходимости степенных рядов: оо оо оо а) ~1 — „я"; б) ~> Пис " (я — 1)", аЕК; В) ~) (3+(-1)") З". и=о и=О и=о а. Для нахождения радиуса сходимости используем формулу (2.25): с ~ .
~ и!(и+ 1)"+11 . ~ 11 В= 1пп ~ — ~ = 1пп 1= 1пп ~1+ — 1 =е. и — ~»о~ си+1! и-+оо~ (и+ 1)(пи ~ и->»о~ и/ б. Предварительно запишем ~/Я= ъlпиие " еи" Если а > 1, то у =п п=уи, 11= — >О 1 о — 1 уд 1пп — = О, я-++о» ея и 1пп —, = и-+со Еи» и 1пп, = со, и-+со еи» а степенной ряд имеет радиус сходимости Л = О. Следователь- но, ряд сходится только в точке я = О. так как показательная функция ея при у ~ +со является бесконечно большой функцией более высокого порядка по сравнению со степенной функцией уи [1Ц. Значит, радиус сходимости ряда бесконечен (В = +со) и ряд сходится в любой точке г комплексной плоскости (г). Если а<1, то и 1-+О при и-+ос. Если же а=1, то и 1=1, пЕК И в томи в другом случае 66 2.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ в. Для этого ряда ~,/Я= 3+( — 1)", т.е. в последовательности 1 ~/Щ чередуются два значения 2 и 4. Ясно, что эта последовательность не сходится. Определить радиус сходимости по формуле (2.24) не удается. Запишем Согласно радикальному признаку Коши, при 4~э~ < 1, т.е. при ~г~ < 1/4, ряд из модулей сходится и исходный степенной ряд сходится абсолютно. При г = 1/4 степенной ряд имеет вид 1 1 1 1 ~ (З+ (-1)")" — =1+ -+1+ — +1+ — +... 4 2 2а 2з п=о и является расходящимся из-за нарушения необходимого признака сходимости.
Стало быть, значение 1/4 является точной нижней гранью множества расстояний от точек расходимости до точки я = О, г.е. равно радиусу сходимости ряда. Итак, В = 1/4. В заключение отметим хотя и очевидное, но важное в решении задач свойство степенных рядов. Теорема 2.3. Степенные ряды Со(» — гО)" = СО + 01(г — Яо) + ...
+ С„(З вЂ” ЗО)" + ... 0=0 со(я яо) = се+ ъи1(я яо) + + ъ1а(я зо) + ° ° о=т имеют один и тот же круг сходимости. М Если первый из указанных рядов сходится в точке я ф го, то в этой точке сходится и его остпаток 2.5. Двусторонний степенной рвд 3начит, в той же точке сходится и второй ряд, который получается умножением остатка первого ряда на число (г — хо) Наоборот, сходимость в точке г ~ го второго ряда означает сходимость в этой точке остатка первого ряда, а значит, и самого ряда. В точке е = го оба рассматриваемых ряда сходятся. Таким образом, области сходимости двух рядов совпадают. Следовательно, совпадают и их круги сходимости.
~ 2.5. Двусторонний степенной рнд Рассмотрим ряд — + +...+ „+..., (2.29) ~ "' (в во) х во (х ео) (х хе) содержащий целые отрицательные степени х — ео. Сделав подстановку 1/(г — хо ) = и, получим степенной рлд с общим членом с „эР. Если  — радиус сходимости этого степенноео ряда, то для всех точек г, удовлетворяющих неравенству ~г — хо~ > 1/т1, исходный рлд (2.29) будет являться абсолютно сходящимся. При ~х — го~ ( 1/В этот ряд будет расходиться. В точках х на окружности ~г — хо~ = 1/В ряд может как сходиться, так и расходиться: для этого ряда остаются в силе все замечания относительно сходимости в ераничнмх точках (см.
2.4), в том числе указанный там порядок исследования сходимости. Областью сходимости ряда (2.29) (как и степенного ряда (2.16) ) будем называть множество точек сходимости этого ряда. Отсюда следует, что областью сходимости ряда (2.29) является множество точек г, для которых ~х — хо~ > 1/В, дополненное некоторым множеством точек окружности ~ е — го ~ = 1/В (возможно, пустым). При этом множество ~х — хо~ > 1/В представляет собой множество внутренних точен области сходимости ряда (2.29). Пример 2.9. Найдем множество внутренних точек области сходимости ряда с общим членом (3" + 1)/(е+ 21)".
К ряду из 68 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ модулей с общим членом (3" + 1)/~«+ 21~" применим признак Даламбера. Для этого найдем (3" ь1+ 1))«+ 21!" 1 . 3" ь1+ 1 3 11ш — 1пп в-+ос)«+21!"+~(3" +1) («+21) -+со 3" +1 («+21!' Согласно этому признаку, при 3/)«+ 21! ( 1, т.е. при («+ 21! > 3, ряд иэ модулей сходится. Следовательно, искомым множеством является внешность окружности ~«+ 21~ = 3, т.е. множество точек «, для которых )«+ 2г! > 3. В теории функций комплексного переменного часто возникает необходимость рассмотрения степенных рядов, в которых присутствуют как положительные, так и отрицательные степени « — «в, причем и тех и других бесконечное количество. Такой ряд мы будем называть деус«воронкам стпепенным рядом.
Его можно разделить на два самостоятельных ряда, первый с неотрицательными степенями « — «в, а второй — с отрицательными степенями « — «в. Такое разделение аналогично разделению несобственнозо интеграла по промежутку ( — оо, +со) на два независимых несобственных интеграла. Другими словами, будем считать, что = ° .. + „+ ° "+ — +со+ с „ с 1 («-«о)" « — «о + с1(« — «о) + .. + с (« — «о) + " (2 30) Ряд (2.30) называют сходящимся в точке «, если в этой точке сходятся оба составляющих его ряда (2.16) и (2.29). Пусть множеством внутренних точек области сходимости степенного ряда (2.16) является внутренность окружности радиуса В с центром в точке «в, а ряда (2.29), расположенного по целым отрицательным степеням (« — «в), — внешность окружности 2.о.
Двусторонний степенной рнн 69 радиуса т с центром в той же точке. Напомним, что радиусы т и В могут быть вычислены по формулам т = 1пп , В = 1нп , (2.31) (С „ 1! . (Си! и-+со )С ! ' и->со (Си+1) ' или г= 1пп ~/(с и(, В= 1пп —. (2.32) 1 и-+ос и — +ос и~/Я Тогда: 1) при т > В ряд (2.30) расходится всюду; 2) при т < В множество внутренних точек области сходимости ряда (2.30) — зто кольцо т < ~н — нс! < В, г > О, 0 < В < +со (кольцо сходимостпи ряда).
В последнем случае возможны так называемые вырожденные (исключительные) варианты: а) г > О, В = оо (это означает, что кольцом сходимости ряда (2.30) является внешность окружности ~г — го! = т); б) т = О, В = оо (кольцом сходимости является вся комплекснал плоскостпь, за исключением точки ло); в) г = О, 0 < В < +со (в такой ситуации кольцом сходимости ряда (2.30) является проколотый круг 0 < ~г — го) < В). Пример 2.10.
Определим кольцо сходимости рядов: 2и 1 (н+ 1)и ( Ци ни ~- (г+ 1)и ~- (г+ п)и ' ~- нип4 ~ 2ип и=1 ино и=1 и=1 а. Применяя к ряду из модулей (общий член (2и — 1) /~г + 1и) признак Даламбера, вычисляем (2и'11 — 1)~г+ Ц" 1 . 2 — 1/2и 2 !нп — 1пп и-+со )н+ Ци11(2и 1) ~н+ Ц и-+ос 1 — 1/2и )н+ Ц' Таким образом, при 2/)н+ Ц < 1, т.е. при )н+ Ц > 2, что соответствует г = 2, ряд с общим членом (2и — 1)/(г+ 1)и абсолютно сходится, а при ~г+ Ц < 2 — расходится. 70 2.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Для исследования сходимости ряда из модулей с общим членом )я+ Ц" /)г+ п!" удобнее применить признак Коши. Находим 1ш1 " „= 1цп = (я+ Ц 11ш (я+Ц" . )я+Ц . 1 =О. о-+ос (4+в)о о — +со )4+П) о — ~ос,/1+П2 Это означает, что ряд с общим членом (з+ 1)" /(г+ и)" сходится абсолютно на всей комплексной плоскости (В = со). Итак, кольцом сходимости исходного ряда является внешность окружности ~г+ Ц = 2, т.е.
множество точек г, для которых ~г+ Ц > 2 (вырожденный случай кольца, при котором В = оо). б. Для того чтобы найти кольцо сходимости ряда с общим членом ( — 1)"/(я"п4), вычислим )я~оп4 1 п4 1 1пп = — 1пп о +со (х(о4-1(п+ 1)4 (я( о+со (и+ 1)4 ф' Следовательно, при 1/(г) < 1, т.е. при ф > 1, этот ряд абсолютно сходится, а при ф < 1 — расходится. Аналогично для ряда с общим членом г" /(2" и) вычисляем )я("+12" и ф . и ф — м 2"+1(п+ 1))г!" 2 -+со и+ 1 2 ' что означает: при ф/2 < 1, т.е. при )я( < 2, этот ряд сходится абсолютно, а при ф > 2 — расходится. Таким образом, кольцом сходимости исходного ряда является кольцо 1 < ~ г~ < 2.
В заключение отметим, что круг сходимости степенного ряда, кольцо сходимости двустороннего степенного ряда представляют собой множество всех внутренних точек области сходимости рассматриваемого ряда, определение которого и составляет основной вопрос при исследовании ряда на сходимость. Исследование ряда в граничных точках часто и не требуется. Двусторонний степенной ряд сходится абсолютно во всех точках кольца сходимости,так как в этих точках сходится абсолютно каждый из составляющих его рядов.
Воироса» и задачи Вопросы и задачи 71 2,1. Исследуйте на сходимость ными слагаемыми: 1 ~ 1 ~-' ~/й+1 ' — ' п(1+1)" ' числовые ряды с комплекс- , (21)" ' ОО г) (1»»)" 2.2. Найдите круг сходимости ряда ~ (1+ чп)яа и иссле- О=О дуйте поведение этого ряда на границе круга сходимости. 2.3. Вычислите радиус сходимости каждого из следующих степенных рядов: а) ~~» ( — ); б) ~~» (и+1)яа; В) ~» ( — ); Г) ~~» Ряа. »»=О О=О О=1 О=О 2.4. Найдите множество внутренних точек области сходи- мости следующих рядов: а) ; б) , ; в) 1+ г1ГЗ 1 1 г" ' ~ (»»+1)(а+1 — г)" ' ~ (3+41)"я" ' ао ,) ~~»~ ~.
) ~~~~(»»+ ). е) ~( + ) а=1 О=О О=О 2.5. Установите кольцо сходимости для каждого из следующих рядов: ~( —.',) ~( — '.') »»=О 00 1 00 в) ~~ +,'~ (1+1п)(г-1+1)"; г) ~~»~, +~в(я+1 — г)". (г+ 1 — г)" а=1 О=О 3.
АУ НКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.1. Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного Наряду со „всеохватным" понятием огпображепил (функции) — одним из самых важных математических понятий,— в (1] бь|ло подчеркнуто, что по мере продвижения вперед это понятие будет снова и снова появляться в своих разнообразных обличьях. Эти обличья зависят прежде всего от вида области определения 0(~) и области значений В(~) функции у. В дальнейшем будем полагать, что эти области включены в мпожесгаоо С комплекс~ми чисел (или в расширенную комплексную плоскость С). Итак, на множестве .0 С С задана фуппцпл помплепспого перемеппоэо э, если задан закон у, по которому каждой точке э Е 0 поставлено в соответствие единственное комплексное число ю Е С (конечное или бесконечное). В этом случае говорят также, что у является функцией из 0 в С, и пишут ~: 0 — ~ С, или ы = Дг), г Е .0 с С (последнее является наиболее распространенным обозначением функции комплексного переменного).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
