X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Следовательно, условие Ве(1я~) < 2 эквивалентно неравенству — 2ху < 2, или ху > — 1. Это условие определяет множество точек, распояоженных между ветвями гиперболы ху = — 1. Соответствующая этому множеству часть комплексной плоскости (я) на рис. 1.14 выделена (штриховой линией отмечена та часть границы множества точек, которая этому множеству не принадлежит). б. Множество точек, заданное соотношением )я — Ц < (х — ю'), можно установить из геометрического смысла неравенства.
Дело в том, что ~г — Ц вЂ” расстояние между точками я и 1, а ~я — г~ — расстояние между точками г и ю'. Известно, что на плоскости геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных точек я~ и Рис. 1.14 1.5. Задание множестаа точек на комплексной плоскости 43 «э, является прямая, которая проходит через середину отрезка„ соединяющего точки, и перпендикулярна этому отрезку.
В данном случае «1 = 1 и «ч = г. Точки, находящиеся на этой прямой, удовлетворяют условию )« — Ц = ~« — 1), ее уравнение у = х. Нас же интересуют точки «, расположенные ближе к точке « = 1, чем к точке « = 1. Значит, множество, удовлетворяющее условию ~« — Ц < ~« — 1~, имеет вид 1« =х+гр: у < х). Тот же результат можно получить, если, как и в предыдущем случае, использовать так называемый аналитический подход.
Положим « = я + лр. Тогда и условие (« — Ц < (« — л! приводит к неравенству упрощая которое получаем у < я. На рис. 1.15 искомое множество выделено. Рис. 1.16 Рис. 1.1о в. По условию разность расстояний точки «, принадлежащей искомому множеству, до точек «1 = 2 и «о = — 2 должна быть не меньше чем 3. Напомним, что множество точек «, удовлетворяющих условию (« — «1 ! — (« — «з! = 2а, представляет собой ветвь гиперболы с фокусалеп «1 и ««, причем ту, которая ближе к фокусу ««.
Итак, множество точек, для которых 44 ь комплкксная плоскость )э — 2! — )я+ 2) = 3, представляет собой левую ветвь гиперболы с фокусами в точках г1 = 2 и яэ = — 2, действительной полуосью а, определяемой из равенства 2а = 3, и расстоянием с = 2 каждого из фокусов до центра гиперболы в начале координат. Уравнение этой гиперболы 2 2 — — — =1, п2 62 где а = 3/2 и Ь = ~/д — аэ = ~/7/2. Искомое множество точек соответствует части плоскости (я), выделенной на рис. 1.16 (в данном случае точки, лежащие на левой ветви гиперболы, принадлежат искомому множеству и поэтому его граница отмечена на рис. 1.16 сплошной линией). г. Величина аг6(г — 1) равна углу, который вектор, идущий из точки гс = г в точку я, образует с положительным направлением оси Ох.
Поэтому точки э, удовлетворяющие условию агя(г — ю') = и/4, лежат на луче, выходящем из точки яс = г под углом я/4 к оси Ох. Учитывая ограничение — я < агя(г — 1) на главное значение аргумента комплексного числа, получаем искомое множество точек плоскости (л) (рис. 1.17). Рис. 1.17 Рис. 1.18 д. Заданное условие агбя > ф определяет ограничение на угол ~р, образованный радиус-вектором точки я с положительным направлением оси Ох: ю > г > О, где г — модуль комплексного числа г (полярный радиус точки е).
Соотношение т = ~р представляет собой в полярных координатах уравнение архимедовой сппралж Архимедова спираль является траекторией точки, которая движется с постоянной скоростью по 45 Вопросы и задачи лучу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью вокруг начала координат. При зтом скорость движения точки по лучу и угловая (в радианах) скорость вращения луча совпадают. Искомое множество точек изображено на рис. 1.18. Вопросы и задачи 1.1. Упростите следующие выражения: а) (3 — 71)+( — 2+1)+( — 1+51); б) (3 — 71)(3+71); в) (1+1)(1+гъ~З); 1+1) ГЯ, /2~4 г); д)~ — +г — ~.
(1;)з ' 1.2. Используя формулу Муавра, вычислите: а) ~/ — 4+ЗА; б) ( — +1 — ); в) ( — +-'); г) ~~/ — 2+21. 1.3. Запишите условие, означающее, что различные точки г1, зч, лз и з4 лежат на одной окружности или на одной прямой. 1.4. Постройте на плоскости (з) множества, заданные следующими условиями: а) )з + 2( = 2; б) )з — 2) + )~ + 2) = 5' ) )» — 2) + ! + 2! > 3; г) 1з з11=!з — зз1; д) 0<Не(бг) <1; е) — 1<1ш(з — 1) <5.
ж) /2з! > /1+ зз!. 1.5. Множество точек на плоскости (з) задано уравнением (г~ — Ц = Л, Л > О. Для каких значений Л множество будет состоять из одной простой кривой, а для каких оно будет распадаться на несколько простых кривых? Выясните тот же вопрос для множества, заданного уравнением )аз+ аз+ 6~ = Л, Л>0, а,Ьей. 1.6. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от начала координат до точек заданного множества (а > 0): а) ! — ~ =а; б) ) — ( =а,ЬЕВ. 2.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ КОМПЛЕКСНЫХ хХИСЕЛ Многие положения этой главы следовало бы отнести к теории рядов [1Х). Однако мы включили их и в эту книгу для более цельного представления о курсе по теории функций комплексного переменного, изучаемом в техническом университете. 2.1. Последовательности комплексных чисел Последоватпельностпь (х„) нолтпленсных чисел можно рассматривать как отображение в С множества натуральных чисел 1Ч (иными словами — как функцию целого положительного аргумента п, принимающую комплексные значения х„= у (и), и Е 1Ч).
Как и в случае последовательности (х„) действительных чисел х„ б Я„ последовательность (г„) будет задана, если известно правило у, которое позволяет найти любой ее элемент г„ б С по его номеру и. Это правило чаще всего задают при помощи формулы, устанавливающей зависимость значения и-го элемента последовательности от его номера (например, з„= г", г„= т/п~ и т.п.). Определение 2.1. Комплексное число а называют пределом последоватпельностпи (г„) номпленснььх чисел и записывают 11тп(г„) = а или 1пп г„= а, или г„— ~ а при и-+ оо, если для любого е > 0 можно найти натуральное число 1Ч, такое, что при п > 1Ч все элементы последовательности попадают в е-окрестность точки а, или кратко 1пп г„= а:сь И>0 31Ч=1Ч(е)61Ч: (п>1Ч =ь ~х„— а~<с). (2.1) Геометрический смысл предела последовательности комплексных чисел заключается в том, что точки х„, начиная с 47 2.1.
Последовательности комплексных чисел (л„— а( = < [х„— се[+ )у„— Д (2.2) и, кроме того, )х„ - ст) < (ге - а), [у„ - Д < )л„ - а). (2.3) Учитывая зти неравенства и определение предела последова- тельности действительных чисел [1-6.3), можно сформулиро- вать следующий результат. Утверждение 2.1. Последовательность (н„) = (х„ + гуа) имеет своим пределом комплексное число а = о + Ц в том и только в том случае, когда последовательности (хе) и (у„) имеют своими пределами соответственно числа сси Д т.е. 1пп х„= ст, в — ~со 1пп у„= Д. (2.4) 1пп л„= а = а+ Ц е-+00 Последоватпельностпь (л„) яомплеясных чисел, имеющую своим пределом комплексное число а е С, называют сходящейся к точке а.
В частности, это число может оказаться некоторого номера, лежат в круге радиуса е с центром в точке а комплексной плоскости (г). Следовательно, точка а е С является пределом последовательности (г„), если круг любого радиуса е с центром в точке а содержит все элементы этой последовательности за исключением их конечного числа. Определение предела последовательности (н„) комплексных чисел формально такое же, как и определение предела последовательности действительных чисел [1-6.2). Положим л„= х„+ гу„, а = се + Ц. Последовательности (х„) и (у„) действительных чисел называют соответственно последовательностями действительных и мнимых частей для данной последовательности (г„) комплексных чисел.
В силу неравенства тпреузольнияа имеем 48 г.послкдонАткльностииряды действительным или чисто мнимым. Если 1пп з„= О, то последовательность 1з„) называют бесконечно малой. В этом случае Ф>0 ЛМ=М(е) е1Ч: (п>Ф =~ (з„)(е). Вспоминая определение бесконечно малой последовательности действительных чисел, заключаем, что последовательность (з„1 комплексных чисел является бесконечно малой в том и только в том случае, когда бесконечно малой является последовательность Цз„О действительных чисел. Другими словами, 1пп з„= 0 с=ь 1пп )з„) = О. Если же последовательность 1з„) не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
