X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Среди расходящихся последовательностей в дальнейшем будем часто выделять те, которые стремятся к бесконечности. Определение 2.2. Последоеатпельностпь 1з„1 номпленсных чисел называют стпремящебсл н беснонечностпн,или беснонечно больитоб, если УЕ>0 ИМ=И(Е) ЕМ: (п>М =ь ~л„~ >Е). (25) Условие (2.5) означает, что начиная с некоторого номера И +1 все точки комплексной плоскости, составляющие последовательность (з„), располагаются вне круга достаточно большого радиуса Е с центром в начале координат. Поэтому с16ерические изображения членов последовательности (з„'), начиная с некоторого номера, попадают в окрестность „северного полюса" сферы Римана (см. рис. 1.6). Поэтому про последовательность, стремящуюся к бесконечности, можно сказать, что она имеет своим пределом точку з = оо, так как именно этой точке на сфере Римана соответствует „северный полюс".
Для последовательности (з„), стремящейся к бесконечности, используют запись 1пп з„= со или з„-+ оо при п — т оо. Отметим, лл. Последовательности комплексиьсл чисел 49 что условие 11ш г„= оо равносильно условию 1пп ~ло ~ = со, т.е. последовательность (яо)комплексных чисел является бесконеч- но большой тогда и только тогда, когда бесконечно большой является последовательность Цло]) действительных чисел. Пример 2.1.
а. Покажем, исходя из определения 2.1, что со 1пп — = О. о-+со ил (2.6) Действительно, )го/п~ — О( = )г]о/п~ = 1/п~. Поэтому для произвольного е > О мы в (2.1) можем положить Ж = [1/~/с], т.е. в качестве М(е) взять целую часть числа 1/~/е. Тогда при и > М будет выполнено условие 1/п~ < е, что доказывает соотношение (2.6). б.
Исходя из определения 2.2, докажем, что 1пп (1+1) = оо. (2.7) В самом деле, ](1+ г)" ~ = (1+ с!" = (~/2)". Поэтому, рассматривая для произвольного достаточно большого числа Е неравенство (~/2) > Е, получаем, что и должно УдовлетвоРЯть Условию и > 1о6 — Е = 1обз Е . Значит, в (2.5) достаточно положить М = М(Е) = [1о62 Е2], т.е. выбрать в качестве Х(Е) целую часть числа 1оязЕ = 21оя2Е.
Тогда при п > И будет выполнено условие (~/2)" > Е, что означает справедливость (2. 7). в. Покажем, что предел 1пп (с") не существует, ни конечный, ни бесконечный. Согласно (1.24), имеем со = сов(ип/2) + + гаш(кп/2). Таким образом, последовательности (хо) и (уо) действительных и мнимых частей комплексных чисел 1" имеют соответственно вид (сов(ип/2)1 и (в1пип/2). Эти последовательности, очевидно, не имеют предела (ни конечного, ни 50 г. послкдовАткльности и ряды бесконечного). Действительно, при различных значениях и элементы последовательности 1сгж(яп/2)1 (равно как и последовательности 1яш(тгп/2))) принимают поочередно значения О, 1 или — 1, а потому не могут, начиная с некоторого номера, быть расположены в достаточно малой окрестности какой-либо конечной точки действительной прямой или в произвольно выбранной окрестности бесконечно удаленной точки.
Утверждение 2.1 позволяет свойства сходящихся последовательностей действительных чисел [1-6.4) перенести на сходящиеся последовательности комплексных чисел. В частности, если последовательности (я„) и 1тл„) комплексных чисел сходятся,причем 11ш з„ = а и 11ш иг„ = 6,то 1пп (з„~иг„) =ах6, 1пп (з„тл„) = а6, (2.8) (2.9) и если, кроме того, 6 ~ О, то и ет1 а 1пп — = —. тл„ (2.10) Как и в случае последовательности действительных чисел, можно сформулировать критперий Хоити сходимости последовательности комплексных чисел: для сходимости последовательности (е„) комплексных чисел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментпальной, т.е. для любого е > 0 должен существовать такой номер ДГ = Л(е), что при любых и > ДГ и т > Д1 будет выполнено неравенство ~л„— л„, ~ < е.
Последоватпельность 1л„) комплексных чисел называют ограниченной, если существует такое число М > О, что ~е„~ < М для всех номеров и, т.е. все комплексные числа л„расположены в замкнутом круге ф < М радиуса М с центром в точке з = О. Из геометрической интерпретации предела последовательности комплексных чисел вытекает, что всякал сходящаяся последовательность ограничена.
Обратное утверждение, вообще 2.1. Последовательности коьтплексяьтк чисел 51 говоря, неверно. Однако, как и для последовательностей дей- ствительных чисел, имеет место следующая теорема. Теорема 2.1 (теорема Больцаио — Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательностпь. ф С последовательностью (гв) комплексных чисел можно также связать последовательность ЦгвЦ модулей и последовательность (агава) аргументов этих чисел. Относительно этих последовательностей можно сформулировать следующие свойства. 1.
Из определения 2.1 предела последовательности комплексных чисел и неравенства (1.15) ~ (гв( — (а) ~ < (гв — а( вытекает следующее: если 1пп г„=а, то 11ш (г„) = )а). 2. Из тпригонометпрической утормы представления (1.12) комплексного числа г„= гп(сов~Рв+ тв1п~Рв), где т„= ~г„~ и 1о„= = ахягв, следует достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел: если 1пп г„= р и 1пп <рв = д, то 1пп гв = р(совд+тв1пд).
Для бесконечно больших последовательностей справедливы следующие свойства: 1) если г„~ О, и Е Ы, то 1пп г„= со тогда и только тогда, когда 1пп (1/хв) = О; 2) если 1пп г„= оо и 1пп тов = а ~ сю, то 1пп (гв + итв) = оо и 1пп (ит„/гв) =О. 3) если 1пп г„= оо и 1пп итв = а, где а ~ О и а Ф сю, то в-+со в-тсо 1пп (готов) = со и 1пп (лв/ит„) = оо. Пример 2.2. Выясним, при каких значениях комплексного параметра а последовательность (а" /(1+ ав)) является сходящейся. Пусть |а~ ) 1. Тогда 1пп (а"! = 1пп ~а!" = оо в — тос в — тос 52 2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ (показательная функция )а)* с основанием (а), ббльшим единицы, является бесконечно большой при х -+ +со).
Следовательно, 1/)а)" -+ О при и-+ оо, а потому и 1/а"-+ О при и-+ оо. Таким образом, при ~а~ > 1 имеем а" . 1 1пп = 11ш = 1. н-то 1+а" н — к оп Пусть теперь |а) < 1. Тогда )а~" -+ О при и-+ оо, а значит, и а" + О при и — т со. Поэтому в случае 1а~ < 1 Г „'„'"' '" О !пп — " ~ — — О. н-+оо1+ан 1+ 1пп атт 1+О Рассмотрим случай ~а~ = 1, записав а = север+ тешу.
Согласно (1.24), а" = совтир+1вштир, и поэтому а" совпр+ 1вттир (1+совтир) — твштир 1+а" (1+совтир) +твштир (1+совтир) — тв1птир п~р тир (1+ север)+т в1пп,р 1 2 вш — сов — 1 т про 2+ 2 сов тир 2 4сов2 — ""' 2 2 2 2 Из полученного выражения видно, что при ~а~ = 1 последовательность имеет предел только в том случае, если 1р = О, но тогда а = 1. Итак, рассматриваемая последовательность является сходящейся при ~а(>1, 1а! <1 н а=1.
2.2. Комплексные числовые ряды Пусть дана последоеаптельностпь (х„~ комплексных чисел. Тогда суммы Ят = г1, о2 = хт+х2, ов = х1+х2+хв, ... называют частпичньтми суммами ряда, обозначаемого 53 2.2. Комплексные числовые ряды и обычно называемого хомплехсхым числовым рядом. СумМУ Я„= Л1 + Е2 +... + гн НаЗЫВаЮт, КаК ПРаВИЛО, П-й ЧаетИЧНОй суммой ряда, а г„— обидим (и-м) членом хомилехсхоео числовоео рлдн. Определение 2.3.
Хомплехсхый числовой ряд (2.11) называют сходтцимся если последовательность (Я„'1 его частичных сумм является сходящейся. Конечный предел Я этой последовательности называют суммах данного ряда. Итак, если Я вЂ” сумма ряда (2.11), то (2.12) Я= 1пп Яо. н-~со В случае сходящегося ряда часто записывают Каждому ряду с комплексными слагаемыми я„= х„+1у„ можно сопоставить два ряда с действительными слагаемыми х„ н у„, составленные соответственно из действительных и мнимых частей слагаемых исходного ряда.
Исследование сходимости ряда с комплексными слагаемыми состоит в исследовании сходимости последовательности его частичных сумм, а оно, в свою очередь, приводит к исследованию последовательностей (х„ ) и (Ун1. В частности, из свойств сходащихсх последовательностей [1-6.4] вытекают приведенные ниже утверждения (доказательство этих утверждений можно найти в (1Х]). остверждение 2.2. Для сходимости ряда (2.11) с комплексными слагаемыми я„= х„+1у„необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда 54 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Р*д (2.11) называют абсолютно сход*щимсл, если сходится ряд (2.14) Сходящийся рлд (2.11), которому соответствует расходжцийсл рлд (2.14) из модулей называют условно сходюцимсл. 'Утверждение 2.3.
Ряд (2.11) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба ряда (2.13). Утверждение 2.4. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Отметим, что необходимое условие (необходимый признак) сходимостпи комплексного числового ряда (2.11) с комп.аексными слагаемыми остается аналогичным случаю ряда с действительными слагаемыми, а именно: если ряд (2.11) сходится, то (2.15) 1пп г„= О. И-+ОО Иначе говоря, если нарушается условие (2.15), ряд расходится.
Одной из важнейших задач в теории комплексных рядов является исследование ряда на сходимость. При таком исследовании выясняют, сходится ряд или расходится. Если ряд сходится, то определяют, сходится ли ряд абсолютно. Исследование комплексного ряда (2.11) на сходимость целесообразно начать, выяснив, сходится ли ряд (2,14). Во-первых, если 1пп ~г„( ~ О, то 1пп г„~ 0 и можно утверждать, что ряд (2.11) расходится. Во-вторых, если ряд (2.14) расходится на основании признака Даламбера или радикального признака Коши, то это означает нарушение необходимого условия сходимости для этого ряда. Следовательно, и в этом случае можно констатировать расходимость ряда (2.11).
В-третьих, установив сходимость ряда (2.14), мы, согласно утверждению 2.4, установим сходимость и ряда (2.11). Кроме того, даже если 2.2. Комялекеяые числовые ряды 55 сначала доказать сходимость ряда (2.11), то затем все равно обычно представляет интерес поведение ряда (2.14), так как абсолютно сходящиеся ряды обладают дополнительными свойствами по сравнению с условно сходящимися рядами [1Х). Пример 2.3. Исследуем на сходимость следующие ряды: а) > —, б) ~~~ —, в) ~ я=1 я=1 я=1 а. Общим членом ряда из модулей для исходного ряда будет 1/пв, т.е. ряд из модулей представляет собой рлд Дирихле с показателем р = 2 ) 1. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
