X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Основные понятия теории функций комплексного переменного являются обобщением соответствующих понятий теории функций действительного переменного, которую подробно изучают в общем курсе высшей математики. Это обстоятельство, с одной стороны, несколько облегчает знакомство с функциями комплексного переменного, но, с другой стороны, требует повышенного внимания, так как обобщение всегда сопряжено с добавлением ряда особенностей, специфичных для нового объ- 3.1. Определеяие фуякции комплексного перемеяяого 73 екта исследования.
Далее в каждом отдельном случае будем подчеркивать эти особенности. Для функций 7(г) и ~р(г), г Е Р, на множестве Р определена сумма 7" + у, разность 7 — ~р, произведение (<р и частное ~/~р (частное для всех г Е Р, при которых <р(г) ф 0). Функцию 7": Р -+ С называют ограниченной на множестве Р, если множество Н(7) ее значений ограничено, т.е. если существует такая константа М ) О, что ~Дк) ~ ( М, я Е Р.
Пусть г = х+ гу и ы = У(е) = и+ гп. Тогда комплекснозначная функция ю комплексного переменного я определяется двумя действительными функциями двух действительных переменных и=и(х,р) и и=и(х,у). (3.1) Задание двух функций и и о наводит на мысль проиллюстрировать функцию 7" геометрически в виде двух поверхностей в трехмерном пространстве, однако такой способ неудобен, ибо он не иллюстрирует упорядоченную пару (и, с) как комплексное число.
Ограничимся представлением о функции 1: Р— е С как об отображении множества Р в множество расширенной комплексной плоскости С. Чтобы сделать это представление более наглядным, будем изображать множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении, причем значениям аргумента е будут отвечать точки комплексной плоскости (к), а значениям функции ш — точки комплексной плоскости (и1).
Таким образом, функция и = 1 (г) устанавливает соответствие между точками плоскости (х), в которых эта функция рассматривается, и точками плоскости (и). Другими словами, функция ю = 7"(г) осуществляет отображение множества Р точек плоскости (г) на множество В(7') точек плоскости (ш) (Л(~) является образом множества .Р при отображении, осуществляемом функцией и> = 7'(я), а Р— прообразом множества В((') при этом отображении).
74 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Пример 3.1. Рассмотрим функцию ы = лг. Если г = = г(соыр+1еш~р) и ге = р(соед+1ешд), то в силу (1 24) имеем гг д 2,р (3.2) Отсюда нетрудно представить, что при отображении ю = лг: а) полуокружность т = ге, ~р е (О, и) переходит в окружность Р = гег, д Е (О, 2з) с выколотой точкой и = ге~ (Рис. 3.1); цр сг Рис. 3.1 б) лУч О ( г < оо, У = 1Ре пеРеходит в лУч О ( Р < оо, д = 2~Ре (см. рис.
3.1); в) полуплоскость 1шл > О переходит в плоскость (ю) с выброшенной положительной полуосью Оп (рис. 3.2), поскольку для точек положительной полуоси имеем д = 2йз, откуда <р = Ьт, а эти значения исключаются условием 1шл > О. В этом случае полуплоскость удобно представить в виде эластичной пленки, натянутой на две полуоси Ох (положительную и отрицательную), которые шарнирно соединены в начале координат. Тогда отображение и = гг можно интерпретировать как растяжение пленки, происходящее при повороте отрицательной полуоси и ее совмещении с положительной полуосью. Рис.
3.3 3.1. Определеппе фупкппп комплексного перемеппого 75 Пример 3.2. Отображение и = г2 можно представить в виде двух соотношений (3.1), выражающих декартовы координаты точки плоскости (и) через декартовы координаты точки плоскости (г). Полагая г = х+ еу, получаем и~ = (х+ гу)2 = = (х2 — у2) + 2гху. Следовательно, если и = и + гп, то и=х — у, 2 2 (3.3) п = 2ху. Из соотношений (3.3) легко увидеть, что: а) прямой у = уе на плоскости (г) соответствует кривая, для которой соотношения < уо 2 2 хай, п = 2хуе, можно рассматривать как параметрические уравнения с параметром х.
Нетрудно убедиться, что этой кривой будет парабола, имеющая уравнение и = пк/(4уед) — уе2 (рис. З.З), причем она будет соответствовать и прямой у = — усд б) полупрямой х = хе > О, 0 < у < +со соответствует дуга кривой (рис. 3.4), заданной соотношениями < 2 2 у Е (О, +со), и=2хоу т.е. дуга параболы с уравнением и = хе 2— п~/(4х~~) (п > 0 при хо >0). Рис.
З.З Рис. 3.4 76 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В общем случае, если на плоскости (г) кривая Г задана уравнением г'(х, у) = О, то для нахождения уравнения кривой Т в плоскости (и), на которую функция (3.4) и = Дг) = и(х, у) +ю(х, у) отображает кривую Г, нужно исключить х и у из соотношений г'(х, у) = О, и= и(х,у), и = и(х, у), после чего получим уравнение вида Ф(и, и) = О кривой Т. Если же кривая Г задана на плоскости (г) параметрическими уравнениями < х =х($), $ЕТСВ, у=у(с), то параметрические уравнения образа этой кривой при отобра- жении (3.4) будут < = (*о, у(~)), и = и(х(г), у(г)), В зависимости от вида отображающей функции (3.4) и множества, на котором она рассматривается, иногда удобно перейти к уравнениям кривых Г и Т в полярных координатах.
Пример З.З. При отображении, осуществляемом функцией ю = я~, найдем образ окружности радиуса ~/х2о+ уо, заданной уравнением х~ — 2ххо+ у~ — 2ууо = О (3.5) проходящей через начало координат и имеющей центр в точке хо+ гуо (рис. 3.5). Переходя в (3.5) к полярным координатам, получаем г = 2хосоау+2уоа1пу. (3.6) ЗЛ, Определение функции комплексного переменного 77 2$(хо+ 9 -21х2 о Рис. 3.5 д, д~ ~/р = 2 (хо соз — + уо вш 2 2) После возведения в квадрат получим 2 2д д.
д г,гд~ р = 4( хо сов — + 2хоуо сов — вш — + уо зш — ) = 2 2 2 2) = 2хог(1+ сов д) + 4хоуовшд+ 2уог(1 — сов д) = = 2(хог+ уо) + 2(хо — уго)санд+ 4хоуов1пд. Используя формулу а зш у> + Ь сов ~р = ~Гаг+ Ьг сов(~р — <ро), где угол ~ро определяется равенствами Ь ( г+Ь2' а РО,гаг + Ьг находим р = 2(хог + уог) (1+ соз(д — до) ), Луч 0 < г < со, ~р = уо, проходящий через центр окружности, перейдет в комплексной плоскости (и) в луч, расположенный под углом до = 2<ро (см.
пример 3.1). Чтобы записать уравнение образа этой окружности в полярных координатах, достаточно в (3.6) заменить г и <р, согласно отображающей функции ю = нг, на р и д из (3.2), т.е. положить г = Гр и ~р = д/2. В результате найдем 78 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО где угол до определяется равенствами 2 2 создо = ео УО ~0 + УО 2хоуо 01пдо = ~0+ УО Это уравнение кардиоидм (см. рис. 3.5). В частности, при уо = О и ео ~ О имеем до = О и образом окружности будет кардиоида, заданная уравнением р = 2е~о(1+ созд) (рис.
3.6), а при ео = О и уо ф О находим до = х, так что образом будет кардиоида, заданная уравнением р = 2у02(1 — созд) (рис. 3.7). Рис. 3.6 Рис. 3.7 Иногда используют иной способ геометрического представления функции комплексного переменного: в прямоугольной системе координат Охур изображают поверхность р = Щз)~, которую называют поверхностпью модуля, или рельефом фуизщии Дг). На этой поверхности часто стараются выделить кривые, которые проектируются на плоскость хОу в линии уровня Агбар'(2) = сопз0. Имея достаточно густую сетку таких линий, можно составить представление о распределении значений функции Дз) в полярных координатах р, д.
На рис. 3.8 3.1. Определение функннн комплексного переменного 79 представлена поверхность модуля функции ~(г) = н~, являющаяся параболоидом вращения относительно вертикальной оси, так как р= (Дг)! = )г ~ = ф =х +у . Рис. 3.8 Линии уровня функции Аг~Дг) описываются уравнением ф~Агд~(л) = = С. 2ху Это уравнение описывает пару прямых на плоскости хОу. При С = О зто прямые х = О и у = О, а при С ф Π— прямые у = к1 х и у = Йгх, где к1д = ( — 1~ Я+С~)/С.
Проведем через линии уровня цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси Ор (в данном случае зто плоскости, проходящие через ось Ор). В пересечении с поверхностью модуля цилиндрические поверхности дают сетку кривых, характеризующих изменение аргумента функции. В частности, при С = О получаем кривые Р=у Р=у 80 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.2.
Предел и непрерывность функций комплексного переменного Пусть функция Дл) комплексного переменнозо з определена в проколотой окрестности точки ге Е о.'.. Определение 3.1. Точку А Е С называют пределом фрнхпнн Дг) хомплехсноео переменноао з е поочхе зо ЕС (или при г, стремящемся к за) и пишут 1пп Дз) = А или Дя) -+ А при я -+ го, (3.7) о-+оо если для любой окрестности П(А) точки А можно найти такую о о проколотую окрестность Ч(га), что для всех г Е Ч(ге) значения 7'(г) принадлежат П(А), или короче о 1пп Дз) = А: с» ~Л5(А) 3 Ч(га): (з Е Ч(ла) =~ Дл) Е П(А)) (3.8) Если го, А Ф оо, то (3.8) можно заменить на 1пп Дз) = А: с=о Че > 0 Вб(е) > 0: о-ооо (О < )г - ло~ < б =~ )~(л) — А1 < е) (3.9) В случае за=со, А~со имеем 1пп Дз) = А: о~ Че > 0 Зб(е) > 0: о-~оо (!з/ >б =о ~Дг) — А~ <е), (3.10) а при А = оо и ла ф оо 1пп 7" (г) = А: оо ЧЕ > 0 Зб(Е) > 0: о-+оо (О< 1л — «о~ <б =~ ~У(з)~ >Е). (3.11) 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
