X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Такой подход фактически сводит комплексный случай к действительному. Будем рассматривать приращение аргумента комплексного переменного вдоль непрерывных кривых. Пусть кривая у не проходит через точку г = О. Геометрически аргумент комплексного числа г на кривой представляет собой угол наклона радиус-вектора точки г на комплексной плоскости к оси У Ох, а приращение аргумента при движении точки по кривой у есть угол в ЛгАгаа поворота радиус-вектора Угол пово- О рота радиус-вектора точки л при ее движениии вдоль кривой у от началь- А ной точки А до конечной точки В обозначим Ь. Агбар (рис.
3.10). Пример 3.6. а. Если у — отрезок прямой, соединяющий точку 1 — г (начальная точка) с точкой 1+1 (конечная точка), то приращение аргумента равно Ь.„Агбар = я/2 (рис. 3.11, а). 96 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Рис. 3.11 б. Если у — отрезок прямой, соединяющий точку — 1+ г с точкой 1+ г, то Ь.„Агах = — х/2 (рис. 3.11, б). в. Если т — полуокружность |з~ = Н, 1шг ) О с направлением обхода против часовой стрелки, то Ь.„Агя г = я (рис.
3.11, в). г. Если у — полуокружность |г~ = В, 1шг < О с направлением обхода по часовой стрелке, то Ь. Агя 2 = -~г (рис. 3.11, г). Найдем формулу для приращения аргумента вдоль кривой. Из формул х = тсоз~р, у = гешер имеем г1х = соз уй — т зш рйр, ду = зш рг1т+ т соз~рйр, откуда тйр = -зшудх+созуду.
Следовательно, — усах+ хор йр =ИАгяг = х2+ 92 Рассмотрим интеграл от йр вдоль кривой у, равный разности значений аргумента з в конечной и начальной точках кривой у, или приращению аргумента Ь,, Агя2 вдоль у. Итак, / — удх+ хну / х2+ у2 Ь Агях = (3.31) Свойства приращения аргумента оказались связанными со свойствами криволинейного интеграла, стоящего в последнем равенстве справа.
Исходя из свойств криволинейного интеграла, имеем следующие свойства приращения аргумента. 97 3.4. Мяогоэяачяал фуакяия Агя 4 1'. Ь., Агля = — Ь .,Агйя, где — у обозначает кривую у, на которой направление обхода изменено на противоположное.
2'. Если кривая у составлена из двух кривых у2 и 72 так, что конечная точка кривой у2 является начальной точкой кривой .у2, то Ь,„Агах = Ьт, Агах+ Ь„, Агою Криволинейный интеграл определяет в области Р функцию, если он не зависит от пути. Известно ['Л1], что в односвязной области Р криволинейный интеграл от Р41х+ Яду, определяемый непрерывно дифференцируемыми функциями Р(х, у) и Я(х, у), не зависит от пути тогда и только тогда, когда всюду в области выполняется равенство дР дЯ ду дх Полагая Р(х,у) = — х/(х2+у2), Я(х,у) = у/(х2+у2), непосредственной проверкой убеждаемся, что указанное соотношение будет выполнено в любой области, не содержащей точки г = О.
Учитывая это, приходим к новым свойствам приращения аргумента. 3'. Ьт, Асям = Ь, Аг32 для любых двух кривых 72 и 72, лежащих в односвязной области Р С С ~ (О) и имеющих общие начальную и конечную точки. 4'. Приращение аргумента вдоль любой простой замкнутой кривой у в области Р, не содержащей точку я = О, равно нулю: Ь Агя =О. Если простая замкнутая кривая у окружает точку г = О и обходится против часовой стрелки, то значение интеграла (3.31) равно его циклической постполнной для точки г = О. Циклическую постоянную в точке г = О можно вычислить, взяв в качестве у окружность [х[ = Р4 с центром в начале координат.
Этот несложный подсчет приводит к значению 2я. 4 — 2054 98 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5'. Приращение аргумента вдоль любой простой замкнутой кривой у в области Р, окружающей точку г = О, которая обходится против часовой стрелки, равно 2я: Ь Агля = 2я. Пусть Р— односвязная область на комплексной плоскости, не содержащая точку л = О. Зафиксируем в этой области некоторую точку яо и выберем в этой точке одно из значений а, = Аг8яо. Положим У(Я) = а„+ Ьг Агкл, (3.32) (Аг8г)ь = г(я)+ 2яя = = а„, + Ьт Агля+ 2яя, я = О, ~1, ~2, ... (3.33) Итак, многозначная функция Ага я в области Р распадается на бесконечное число однозначных ветвей.
Любая из этих ветвей полностью определяется своим значением в одной точке яо Е Р. Пример 3.7. Пусть область Р„представляет собой комплексную плоскость (г) с разрезом по отрицательной части действительной оси. Положим го = 1 и а„, = агино = О. В где ч — произвольная кривая с началом в точке го и концом в точке я, лежащая в области Р. Поскольку приращение аргумента не зависит от выбора кривой, соединяющей точки го и г и лежащей в Р (свойство 3'), равенство (3.32) определяет в области Р (однозначную) функцию Дя), которая является непрерывной, так как приращение аргумента, представленное криволинейным интегралом с переменным верхним пределом (3.31), является непрерывной функцией [Ч1Ц. Эта функция, следовательно, является однозначной ветвью многозначной функции Аг8г, определенной в области Р, так как значением функции Дя) является одно из значений аргумента точки г.
Очевидно, что таких ветвей бесконечно много и другие ветви многозначной функции Ага я можно получить, добавляя к Дг) слагаемые 2Ьг: 99 3.4. Мвогозцачцал функция Ага е области Р выделяется однозначная ветвь г (х) многозначной функции Агях, которая определяется равенством Ях) = Ь,„Агях = агя г и представляет собой славное значение ареумента. В качестве кривой у можно взять любую кривую с началом в точке хв = 1, которая лежит в области Р, т.е.
не пересекает луч (-оо, 0) действительной оси. В частности, имеем У (г)=0, еслих>0, у=О; У (1у) = — если у>0 Л (4у) = — —, если у (О. ф В приведенном построении точка гв может быть не внутренней точкой области Р, а лежать на границе этой области. Пример 3.8. Пусть Ро — комплексная плоскость (г) с разрезом по положительной части действительной оси — лучу [О, +со). Положим хв = 1, причем считаем, что зта точка лежит на верхнем березу разреза.
Пусть а~„= агнцев = О. Тогда для любой точки области Рв значением однозначной ветви Яг) многозначной функции Агяг будет значение аргумента точки х, попадающее в интервал (О, 2я). Например, Уо(г) = я, если х < О, у = 0; Д(гу) = —, если у > 0; 2' Зя Уо(гу) = —, если у < О. Отметим, что выделенная ветвь Агях на нижнем берегу Разреза имеет значение 2я, так как с верхнего берега разРеза можно попасть на нижний берег разреза только вдоль 100 3.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО кривой, окружающей начало координат. При обходе такой кривой приращение аргумента равно 2и. Мы видим, что значения выделенной ветви на верхнем и нижнем берегах разреза не совпадают, т.е. эту ветвь нельзя „склеить" вдоль разреза так, чтобы она оказалась непрерывной во всей комплексной плоскости. Если изменить значение аргумента в точке ге и положить, что а„= 2я, т.е. взять значение аргумента уе(гс) с нижнего берега разреза, мы получим другую ветвь ~1(г) функции Асям в области Ре. В этом случае имеем ~1(г) = Зя, если х < О, у = 0; бк Л(~у) = —, если у > 0; 2 ' 7я Л(гу) = —, если у < О. ф 2' Если в области Р существует простой контур, обходящий точку г = О, то приращение аргумента вдоль такого контура будет равно 2к или — 2я, т.е. будет ненулевым.
Следовательно, возвращаясь в исходную точку ге по контуру, мы приходим к другому значению аргумента комплексного числа ле. Это означает, что в области Р нельзя выделить однозначную ветвь многозначной функции Агяг. Такая ситуация складывается, например, в области С 1(0). Таким образом, выделение однозначной ветви Агял в области Р возможно лишь тогда, когда эта область не содержит контуров, окружающих точку л = О. Такой областью является, например, комплексная плоскость с разрезом по неограниченной кривой с началом в точке О.
Эта область является односвязной и не содержит точки О. В ней, а также в любой ее подобласти функция Агля допускает выделение однозначных ветвей. Все ветви при этом будут различаться на аддитивную постоянную, кратную 2я. Пример 3.9. Пусть .Р— комплексная плоскость с разрезом вдоль архимедовой спирали х = — е'~, 8 > 0 (рис. 3.12). н 101 3.5. Логарифмическая фуикиия Выберем «е = 5 и положим ая = 2я. Тогда получим однозначную ветвь д(«) функции Агя«, определяемую равенством д(«) = 2Я+ Ьч Агк «, где 7 — любаЯ кРиваЯ в 17 с начальной точкой «е = 5 и конечной точкой «.
В частности, имеем д( — 6) = Зя, д(7) = 4я, д(-4) = я, д(3) = О, д(-2) = -я, д(1) = — 2я. Рис. 3.12 3.5. Логарифмическая функция Рассмотрим произвольное комплексное число « ~ О. Если е = «, то и называют лоеарифмом момплемсноео числа « и обозначают яо = 1п«.
(3.34) При и = и+ 1е в силу (3.27) получаем ем = е"+'" = е" (созе+1 я1пе). Из условия равенства комплексных чисел, записанньпг в тригонометрической форме, имеем еи = ф, т.е. и = 1п ф, и е = А«я« = = агя «+ 2Ьг, й Е Ж. Стало быть, 1 и« = 1п)«)+ г Аг3« = 1п)«(+ ч(а«3«+ 2Ьг). (3 35) 102 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Равенство (3.35) позволяет по заданному комплексному числу г ф 0 вычислить его логарифм. Значение логарифма определено неоднозначно (действительная часть его определена однозначно, а мнимая часть — с точностью до слагаемого, кратного 2я). Значение Ьпя, отвечающее в (3.35) значению я = О, называют влавиььм значением лоеарифма и обозначают 1пж Итак, 1пл = 1пф+1 агяж (3.36) /л1 ~ Ьп(л1лз) = Ьпх1 + Ьпяг, Ьп( — ) = Ьпл1 — Ьпхг, я2 1 Ьп(г") =пЬпз, и ЕЫ, 1п фл= — Ьпг.
и Но в каком смысле нужно понимать эти равенства? Можно показать, что указанные равенства верны, если их понимать не как равенства чисел, а как равенства множеств — множеств значений. Например, первое равенство имеет следующий смысл: какое бы из значений Ьп(г1гз) мы ни взяли, найдутся такие значения Ьпх1 и Ьпяг, что Ьп(л1яг) = Ьпл1+Ьпяг. И на- Соотношение (3.36) показывает, что главное значение логарифма комплексного числа соответствует выбору в (3.35) главного значения аргумента этого числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
