X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 126 ю=~(г) Рис. 4.1 По правилу дифференцирования сложной функции имеем (4.27) В силу сделанных предположений и'(ге) ~ О, а это означает, что к кривой Г в точке ве можно провести касательную. Поскольку аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей, то, согласно (4.27), АгЕгс'($о) = агяу'(яо) + Агбя'(Го). (4.28) Обозначим аг81'(яе) = а. Тогда вместо (4.28) запишем Аг8и/(1е) = а+ Агин'(~о). (4.29) Если производная аналитической в точке яе функции 1(я) отлична от нуля в этой точке, то в силу (4.29) производной можно придать следующий геометрический смысл: ее аргумент равен углу а, на который нужно повернуть касательную в точке яе к кривой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в соответствующей аэ точке юе к образу этой кривой при отображении гя = ~(я) (см.
рис. 4.1). При а ) О поворот происходит против часовой стрелки, а при а ( Π— в противоположном направлении. Пусть в плоскости (я) через точку ге проходят две кривые 7г и 7з, имеющие касательные в этой точке, причем угол между этими касательными равен ф. Тогда при отображении и = у (я) зти кривые переходят соответственно в кривые Гг и Гз в 4.7. Геометрический смысл аргумеита и модуля произеодиой 127 плоскости (ю), имеющие касательные в точке шо = 7" (го). Так как при этом отображении касательную к каждой из кривых 71 и уз следует повернуть на один и тот же угол а, чтобы получить направление касательной соответственно к Г1 и Г2, то угол между касательными в точке юо к кривым Г1 и Гз также будет равен ф (рис.
4.2). ю=е Рис. 4.2 Угол между касательными к кривым в точке пересечения кривых называют углом между кривыми. Таким образом, угол между кривыми у1 и 72 в точке «о их пересечения такой же, как и между их образами при отображении щ = 7" (я) — кривыми Г1 и Гз в точке юо пересечения этих кривых. Определение 4.4. Отпобраэсение щ = ~(г) называют нон~орленььн а тпонне яе, если оно сохраняет углы между кривыми. Предполагается, что при таком отображении направление отсчета углов не изменяется, т.е. сохраняется взаимное расположение (ориентация) кривых. Иногда такое отображение называют конформным отображением первого рода, тогда как при сохранении углов, но изменении ориентации кривых говорят о конформном отображении второго рода.
Таким образом, в соответствии с определением 4.4 отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным (первого рода) во всех точках, в которьпс производная этой Функции отлична от нуля. Так, линейное отображение и = ах+ Ь (а т= О) является конформным во всех точках комплексной плоскости, поскольку ц~'(я) = а ф О, я Е С. 128 4.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Функция ~(«) = «з имеет проюводную у'(«) = 2«, которая обращмтся в нуль в точке «о = О. Докажем, что отображение и = «~ не является конформным в этой точке. Рассмотрим два луча ахи « = ст и а«8 « = ?3, выходящих ю точки «о (рис. 4.3). Угол ?? — а между этими лучами в плоскости («) при отображении ю = «~ удваивается и составляет 2(?? — а), так как эти лучи переходят в плоскости (и) в лучи агни = 2а и атяи = 2??.
Рис. 4.3 Для выяснения геометрического смысла модуля производной используем возможность перестановки знака предела и непрерывной функции [?) и запишем [У («о)[ = ! 1пп — ~ = 1пп ~ — ! = ??ш . (4.30) Поскольку [Ьи[/[Ь«[ является отношением расстояний между точками ио = Д«о) и ио+ Ьи = у(«о+ Ь«) в плоскости (и) и точками «о и «о + Ь«в плоскости («) соответственно, 'го это отношение показывает, во сколько раз при отображении и = у («) изменяется расстояние между двумя точками плоскости («) в окрестности точки «о.
Поэтому модуль [,т"'(«о)[ производной естественно назвать ноэЯфитоиентпом растпяжениа е тпочне «о при отпобрпжении и = у («). Если [~'(«о)[ > 1, то в достаточно малой окрестности «о расстояние между двумя точками при отображении и = у(«) увеличивается, т.е. отображение осуществляет растяжение в окрестности точки «о. Если же [?'(«о)[( 1, то это отображение 4.7. Геометричесний смысл аргумента и модуля нроиаиодной 129 Пример 4.6. Найдем угол поворота луча, выходящего из точки «о = 1, и ксоффициент растяжения в этой точке при отображении и = «з. Имеем Д«) = «з и 7"'(«) = 3«~, т.е. ~'(«о) = У'(1) = 3.
Поскольку атц~'(«о) = О, то любой луч, выходящий из точки «о = 1, при отображении и = «з сохраняет сеое направление в плоскости (и>). Коэффициент растяжения в точке «о = 1 при этом отображении равен 3. Замечание 4.2. Отображение и = 1 («) комплексной плоскости эквивалентно отображению и = и(х, у), и = и(х, у), (4.31) где и=и+си, а 7"(«) =и(х у)+?и(х у). Якобиан этого отобра- жения равен (Ч) ди ди ди до ди до дх ду де ди .?(х,у) = дх ду ду дх Используя условия Коши — Римана, получаем (а*) + (дх) Так как у («) = — + 1 — ~ то ди .до дя дн' (4.32) Таким образом, учитывая геометрический смысл якобиана [Ч??], можем сказать, что величина ф(«) ~ представляет собой коэффициент изменения площади при отображении и = 7 («). Эта величина зависит от значений двух переменных х и у, являющихся координатами точки «е С. При этом, если У'(«о) Ф О то якобиан в точке «о также отличен от нуля.
приводит к сжатию в окрестности точки «о, так как расстояния между образами точек уменьшаются. 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 13О Пусть теперь у — кривая в области Р, у' — р Р а ' — ее образ при отображении и~ = т'(г). Дифференциал а( длины дуги в ( ) р «« = Лы' Ть7 = Ф ~, « = ««- «е, ° дифференциал сИ' длины дуги в плоскости (и) равен «' = ЛлР ТЙ7 = ~ м = ~ у'~ '««1 = ~х'~ Н ил Учитывая представление длины кривой с помощью криволи- нейного интеграла и формулу замены переменных в таком интеграле, заключаем, что длину Г образа Т* кривой у при отображении ы = у (г) можно вычислить по формуле ~*= Ии! = !У'( )1И4.
(4.34) 4.8. Теорема о единственности аналитической функции Теорема 4.3. Если т'(г) — аналитическая в точке г = а функция и у(а) = О, то либо у(г) = О в некоторой окрестности этой точки, либо у точки г = а есть окрестность, в которой нет других нулей функции у(г), кроме г = а. Исходя из геометрического смысла величин ) Т"'(г) ! и )~'(г) ), можно получить формулы вычисления площади образа области и длины образа кривой при отображении и =.т'(г). Пусть нк ю = Т"(э) конформно отображает область Р на Р' (т.е.
отображение и = Т" (г) конформно в каждои точке двойным интегралом О ди~Ь. Используя правило замены пере- В менных в двойном интеграле, получаем 4.8. Теорема о единственности аиааитичеокой функции 131 Приведенная теорема доказана далее (см. Т.1). А здесь мы воспользуемся ею, чтобы доказать одну из самых фундаментальных теорем теории функций комплексного переменного. Теорема 4.4 (о единственности аналитической функции).
Если две аналитические в области Р С С ~дикции Яи) и Яг) совпадают на множестве Е С Р, которое имеет хотя бы одну предельную точку а Е Р, то Х1(и) = Хэ(т) всюду в области Р. < Функция Х(г) = Х1(л) — 5(и) является аналитической в области Р как разность аналитических функций.
На множестве Е С Р по условию теоремы Х (к) = О. Надо показать, что Х (и) = 0 в Р, т.е. что множество М = (т Е Р: Х(л) = 0), включающее Е, совпадает с Р. Так как Е С М, то точка а, являясь предельной точкой множества Е, будет предельной точкой и множества М. В силу аналитичности Х(г) в области Р эта функция непрерывна в каждой точке к Е Р, и в частности в точке а, предельной для множества М.
Поэтому (4.35) 11ш Х(и) = 0 = Х(а). м Это означает, что и = а — нуль функции Х(и). По теореме 4.3 либо Х(и) = 0 в некоторой окрестности точки т = а, либо у этой точки есть окрестность, в которой нет других нулей функции Х (и). В последнем случае точка т = а не могла бы быть предельной для множества М.
Итак, в некоторой окрестности точки т = а имеем Х (т) = О. о Рассмотрим множество М внутренних точек множества М. Это множество не пусто, так как содержит точку а. Это множество открыто согласно своему определению. В то же время это множество замкнуто в Р, т.е. содержит все свои предельные точки, принадлежащие .Р. Действительно, если точка б е Р о является предельной точкой множества М, то в любой проколотой окрестности этой точки есть точки, в которых Х(и) = О. 132 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Согласно теореме 4.3, 1(я) = 0 в некоторой окрестностности точки Ь, т.е.
точка Ь является внутренней точкой множества о М и принадлежит множеству М. Так как область Р является о линейно связным множеством, то множество М, одновременно и открытое и замкнутое в Р, по теореме 1.1 совпадает с Р. а Итак, М = Р, и, следовательно, 1(г) = 0 в Р. ~ Теорема 4.4 устанавливает одно из важнейших свойств аналитических функций и подчеркивает существенное отличие понятна аналитичности функции комплексного переменного от понятия дифференцируемости действительной функции. В самом деле, две даже бесконечно дифференцируемые действительные функции с одинаковой областью определения могут совпадать на ее части,не совпадая тождественно во всей этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
