X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 17
Текст из файла (страница 17)
при я фО) удовлетворяет условиям (4.17) Коши — Римана в полярных координатах. Действительно, если у(л) = и(т,~р) + т(т,~р), то 120 4. диавкркнцироклникфункиий имея в виду, что в левой и правой частях равенства используется одна и та же ветвь многозначной функции ~(г. Мы проверили это равенство лишь для одной ветви функции. Для второй ветви оно верно в силу того, что вторая ветвь отличается от первой лишь знаком. Кроме того, выбор области определения ветви также не является существенным, и равенство верно при г ф О. б.
Функция 1пг = 1пг + ир (г = ге'~, — я < ~р < я, г ) 0) удовлетворяет условиям (4.17), так как и(г,~р) = 1пг, о(г,~р) = ~р, ди 1 ди ди де — =О, — =О, — =1. дг г' дг ' ду ' д~р Поэтому функция дифференцируема во всей области определе- ния.
Согласно (4.18), при г ~ 0 получаем (4.21) 4.5. Правила дифференцирования функций комплексного переменного Из определения 4.1 производной функции комплексного переменного и свойств предела получаем основные правила дифференцирования, аналогичные соответствующим правилам дифференцирования действительной функции (1Ц, а именно: 1) постоянны функция ~(я) = А = сопвФ, г Е С, имеет производную в каждой точке комплексной плоскости С, причем 4 '(г) = О, г Е С; 2) функция у(г) = г, г е С, дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости С, причем 4'(г) = 1, г Е С (см. пример 4.1); 3) если функции Дг) и д(г) имеют производные в точке го Е С, то функции оУ(г) +Од(я) (о, )3 Е С) > У(г)д(г) и у(г)/д(г) (последняя при условии д(го) ф 0) также имеют производные в 4.о. Правила дифференцирования функций 121 точке ле, причем Мн)+Мк)) ~ =о1'(яе)+Н(ло).
(У(н)д(в)) ! — У (ко) д(ло) + Пло) д (ло), 4) если функция ю = ~(н) дифференцируема в точке ло ф Иг д(п ) дифференцируема в точке юо = У(го) то ф ия И' = дфл)) дифференцируема в точке но, причем ру!( ) (д(~ (н))) ! д (ще) ~ (ке) (4 23) Пример 4.4. Из (4.4) и (4.22) следует, что: а) функция 1(я) = з"', где ти — целое отрицательное число, дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме точки г = О, причем (лн')' = тлн' ~.
В частности, (н) л (4.24) б) многочлен Р„(н) = аелн + а1кн 1+... + а„является дифференцируемой на всей комплексной плоскости функцией, и Рн(к) =иаон" 1+(и — 1)а1нн 2+...+2ан ел+ан 1, (4.25) в) рациональная функция В(н) = Р„, (н)(Я,н(н) имеет проивводную во всех точках л Е С, для которых Я (л) ф О, причем формула для В'(л) аналогична формуле для В'(х) при ж Е К. 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 122 4.6. Аналитические функции Дифференцируемость функции комплексного переменного в одной точке еще не влечет за собой дополнительных свойств функции по сравнению с дифференцируемыми действительными функциями, о которых упоминалось в 4.1.
Наличие таких свойств связано с одним из наиболее фундаментальных понятий в теории функций комплексного переменного — с понятием аналитпической функции. Определение 4.3. Функцию у (з), определенную в окрестности точки зс Е С, называют ана ииаичесной (также еоломорфной или рееуллрной) в этой гночне, если у(з) дифференцируема в некоторой окрестности гс. Функцию, аналитическую в каждой точке области Р С С, называют аналиоиюческой (еоломорфной рееуллрной) в этой областпи, Согласно определению, функция, аналитическая в области, по сути является просто дифференцируемой в этой области. Если функция аналитична в точке, то в силу определения она аналитична в некоторой окрестности этой точки. Поэтому вместо „функция, аналитическая в точке", всегда можно говорить „функция, аналитическая в окрестности точки".
Нарушение аналитичности функции в точке зв вовсе не означает, что функция не дифференцируема в этой точке. Согласно определению, функция не является аналитической в точке зз, если в любой окрестности этой точки можно указать точку, в которой функция не является дифференцируемой. Часто говорят о функции, аналип1ической в замкнушой обласнзи Р (или о функции, аналитической в области Р и на ее границе), подразумевая под этим, что все точки Р являются точками аналитичности ~(з). Это значит, что функция является аналитической в некоторой области С, включающей в себя Р. Существуют функции комплексного переменного, аналитические во всей комплексной плоскости С. Их называют целыми фуннцилми. 123 4.б. Аналитические фувклни Пример 4.5.
Проверим на аналитичность следующие функции: а) совг; б) гг; в) гйег; г) Пег. а. Согласно (3.29), имеем совг = сов(х+1у) = совх сну — 1вшх вЬу. Функции и(х,у) = совх спу и и(х,у) = — япх впу дифференци- руемы в м', так как их частные производные ди — = совх вЬу, ду д — = — вшх сЬу ду= ди — = — вшх сну, дх ди — = -совх вЬу, дх являются непрерывными в мг. При этом в Кг выполнены условия Коши — Римана. Это означает, что функция совг является аналитической в С, т.е.
целой функцией. Используя (4.10) и (3.29), находим (совг)' = — вшх сну — 1совхвпу = — яп(х+1у) = — япг. (4.26) для проверки, обладает ли функция ~(г) свойством анв литичности в точке гв = хо+1уо, или, кратко, для проверки функции на аналитичность можно использовать критерий диунреренпируемости ~ункции комплексного переменного. Для этого надо выделить действительную и = Веу"(г) и мнимую и = 1ш~(г) части функции ~(г), а затем проверить в окрестности точки (хо, уо) дифференцируемость функций и и и (например, установив непрерывность частных производных этих функций), а также вьтолнение условий Коши — Римана. Проверять функцию на аналитичность можно также при помощи свойств дифференцируемых функций (см. пример 4.4). Отметим, что, как и в случае действительных функций действительного переменного, функция, дифференцируемаявточке, непрерывна в этой точке. Таким образом, непрерывность функции в данной точке го можно рассматривать как необходимое условие ее аналитичности в точке го.
124 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ б. Имеем яя = (х+ юу)(х — зу) = хам+ уз. Следовательно, и(х,у) = хз + уз и е(х,у) ив з О. Функции и(х,у) и е(х,у) диффе. ренцируемы в К~, но условия Коши — Римана выполнены лишь в одной точке (О; 0). Действительно, ди де — =2х, — =0 дх ' ду ди де и — = — только при х = О. Аналогично дх де ди де — =2у, — ьеО др ' д— и — = — — только при р = О.
Стало быть, функция 1(з) = я» ди де де дя дифференцируема только в точке г = О, причем 1'(0) = О, но нигде не является аналитической. в. Так как Вез = х, то яВез = (х+ 4у)х = хз + 4ху, т.е. и(х,у) = хз, е(х,у) = ху. Функции и(х,р) и е(х,р) дифференцируемы в Жз, а условия Коши — Римана выполнены лишь в одной точке (О; 0), что нетрудно проверить. Значит, функция ~(я) = «Ве » дифференцируема только в точке я = 0 (у'(0) = 0) и нигде не является аналитической.
г. Для Дя) = Вел имеем и(х,у) = х, е(х,у) = О. Функции и(х, у) и е(х, р) дифференцируемы в Вз, но условия Коши — Римана не выполняются ни в одной точке комплексной плоскости. Следовательно, функция ~(я) = Вел ни в одной точке не является ни дифференцируемой, ни тем более аналитической. ф. Легко проверить, что каждая из основных элементарных функций комплексного переменного является аналитической в своей области определения. Так, функции е', яшя, сояг аналитичны на всей комплексной плоскости С (аналитичность е' установлена в примере 4.2, аналитичность я|пя можно проверить так же, как и аналитичность соя я). При этом выражения для производных (е') = е', (яшг)' = созя, (созг)' = — яшя совпадают с выражениями для производных соответствующих действительных функций действительного переменного.
4.7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной 125 Учитывая правила дифференцирования (см. 4.5), заключаем, что линейная комбинация и произведение двух аналитических (в области) функций являются аналитическими (в этой области) функциями, а частное двух аналитических (в области) функций есть функция, аналитическая в тех точках (этой области), в которьсс знаменатель не обращается в нуль. Можно аналогично правилу дифференцирования сложной функции сформулировать условия аналитичности сложной функции. Из сказанного следует, что, например, многочлен Р„(з) = = аояо+ а1зо 1+ ...
+ а„— аналитическая функция на всей комплексной плоскости С, ляг — аналитическая функция во всех точках комплексной плоскости С, в которых соя г Ф О, т.е. при з ф к/2+ Ьг, к Е,'Е, а с~~я есть аналитическая функция во всех точках комплексной плоскости, в которых з1п з ~ О, т.е.
при з ~ Ьг (в таком случае говорят: на всей комплексной плоскости С за исключением точек з ~ Ьг). Функция е~7' аналитична во всех точках я Е С, кроме точки г = О. 4.7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной Предположим, что и = 7"(х) — аналитпическал е гаечке зо функция и ~'(зо) Ф О. Для выяснения геометрического смысла аргумента производной рассмотрим на плоскости (з) кривую 7, заданную уравнением я(1) = х($) + 1у(1), $ Е Т = [а, о], которая проходит через точку го. Последнее означает, что я(1о) = зо для некоторого значения 1о Е Т. Не теряя общности, мы можем считать, что функция анапитична во всех точках кривой у.
Предположим, что з'(1о) = х'($о) +1у'(1о) ф О. Следовательно, х'(1о) и у'($о) одновременно не равны нулю, а потому в точке го можно к кривой у провести касательную и вектор (х (ео) у'($о)) направлен по касательной. На плоскости (и) образом кривой 7 ири отображении и = 7" (з) будет кривая Г (рис. 4.1), заданная уравнением ю = у (х(4)), причем кривая Г будет проходить через точку юо = у(зо). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
