X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Предел и непрерывность функций комплексного перемеяяего 81 Как и дяя действительной функции действительного переменного определение 3.1 равносильно следующему: точка А является пределом функции ( при г -+ гв, если для каждой последовательности (гя) точек проколотой окрестности точки го, имеющей своим пределом яв, соответствующая последовательность Ц(гя)) имеет предел, равный А. Из определения предела функции получаем, что утверждение 1пп у (г) = О (в этом случае у (я) называют бесконечно малой о-+ко (б.м.) функцией при я -+ го) равносильно 1пп !у (л) ! = О, а утверо-+оа ждение !пп ((г) = со (в этом случае у (г) называют бесконечно о-+оо большой (б.б.) функцией при я -о го) равносильно 1пп !((г)! = о-+оо = +со.
Пусть А Ф оо. Положим А = А1+ (Аз, пв = хо + оув. Тогда с учетом (1.14) для лоодддл комплексного числа, (3.4) и неравенства тпреуеольника получаем < !и — А1!+ !е — Ао!. Так как !и — А1! < !Дг) — А! и !и — Ао! < !у(я) — А/, то (3.9) равносильно двум равенствам и 1пп я(х, у) = Ао.
(3.12) (*; у)-о(*орла) 1пп и(х, у) = А1 (е;у)-+(ео;уо) Итак, предел функции комплексного переменного в точке гв = хо+ гуо существует и равен А~ + оАз тогда и только тогда, когда в точке (хо, уо) существуют пределы ее действительной и мнимой частей, равные А1 и Ао соответственно. Из равенств (3.12) и непрерывности элементарной функции у = ~/х действительного переменного следует, что, если существует предел 1пп Дг) = А = А1+ гАз, то о-оо 1пп !Дя)! = 1пп о-+ко (крх)-+(еа Ро) 82 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Аналогично можно показать, что при А ~ О и агяА ~ к верно равенство 1пп аг8~(г) = ахяА. л-+~О Наоборот, если существуют пределы 1пп [у(г)[ = В и 1пп аг8у(г) = ~р, ~-+~о то существуют пределы 1пп Неу(г) = Всов<р, е-+м 11ш 1шу(г) = Ввш<р. в-+ва Поэтому существует предел 1пп г'(е) = А = В(сов<р+1вш~р).
в-+во Итак, равенства 1пп [у(х)[ = [А[, 1пп агя г" (х) = агяА (3.13) в — ~~О в случае А ф О, агяА ф к можно рассматривать как критерий существования предела 1пп )'(г) = А. При А = О для суще- ~->~о ствования этого предела достаточно выполнения лишь первого равенства. Замечание 3.1. Поскольку определение 3.1 предела функции комплексного переменного в точности повторяет определение предела действительной функции действительного переменного [1-7.1], а алгебраические действия над комплексными и действительными числами выполняются по одним и тем же правилам, то в комплексный анализ переносятся без изменений основные теоремы о пределе функции в точке и о свойствах функций, имеющих предел [Ц, а также часто используемую теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции.
Далее в ряде случаев будет использовано понятие предела отображения (функции) в точке по множеству Пусть лов предельнал точка множества Я С Р, где Р С С вЂ” область определения функции у (г) комплексного переменного г. Будем говорить, что у(е) стремится к А при г, стремящемся к точке З.л. Предел н непрерывность функцнй комплексного переменного 33 нс по множеству Я, и писать 1пп ~(з) =А или Дз) -+ А при г-+ге, (3.14) л-+ее 5 если ЧЩА) ЗЧ(лс): (г Е'К(го) йЯ =ь 1(г) ЕЩА)).
(3.15) Пусть теперь функция Дн) комплексного переменного г определена в некоторой окрестности точки а й С. Определение 3.2. Фунниию ю = Дс) номпленсноео переменноео г называют непрерывной в тонне з = а, если 1ппДп) = 1(а). (3.16) В случае у (а) ~ оо будем говорить о непрерывности в смысле С, а в случае Да) = оо — о непрерывности в смысле С. Определение 3.2 равносильно следующему: данная функция у непрерывна в точке а, если для каждой последовательности о (гв) точек окрестности Ща), имеющей своим пределом точку а, имеем 1пп Дно) = Да). В силу (3.12) заключаем, что функция ~(г) = и(х,у) + гп(х,у) непрерывна в точке го = хо+ гус в смысле С тогда и только тогда, когда функции и(х, у) и п(х, у) непрерывны в точке (хо, ус). По причине, аналогичной упомянутой при определении предела функции в точке, в комплексный анализ можно перенести основные теоремы о свойствах функций, непрерывных в точке 11-9.2) (здесь непрерывность следует понимать в смысле С).
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке а функций являются функциями, непрерывными в этой точке (для частного — при условии, что знаменатель в окрестности точки а не обращается в нуль). Если множество ль(у) значений функции и = у(н) включено в область Р1 определения функции И' = д(ю), и~ Е Ры функция у непрерывна в точке а Е Р, а функция д — в точке у(а) б В(У) С Р1, то сложная функция И' = д(у(н)) непрерывна в точке г = а.
84 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Пусть а является предельной точкой множества Я. Если выполнено условие (3.16), предел в котором понимается как предел по множеству Я, то говорят о непрерывности функции 7'(г) в точке г = а по множеству Я. Функцию комтьяексноео переменного, непрерывную в каждой точке множества М по множеству М, называют непрерьтвно4 на множестпве М. Отметим, что если множество М является областью, то непрерывность функции Дг) на множестве М означает, что функция непрерывна в каждой точке этого множества в смысле определения 3.2, так как каждая точка г входит в М вместе с некоторой своей окрестностью. Укажем свойства функций комплексного переменного, непрерывных на ограниченном замкнутлом множестве К С т -' 1.
Если функция Дг) непрерывна на множестве К, то эта функция ограничена на множестпве К, т.е. существует такая константа С > О, что ]Дг)] < С, г е К. 2. Модуль всякой функции у(г), непрерывной на множестве К, достигает на К своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки гп гг е К, что ]у(г)] < Щгт)] и ]У(г) > ]у(гг)], г ~ К. 3.
Любая утункиив Дг), непрерывная на множестве К, равномерно непрерывна на этом множестве, т.е. Чг > О Зб(г) Чгп г2 е К (]гт — гг] < б =ь ]У(гт) — ~(гг)] < г). Эти свойства вытекают из общих теорем о функции, непрерывной на компактном множестве в метрическом пространстве (1-5.7,5.9]. 3.3. Элементарные функции комплексного переменного Введем определения основных элементарных функций для комплексных значений независимого переменного. Если показатель сптепени является комплексным числом, то определение показательной функции [1-3.5] теряет смысл. При З.З. Элементарные функция комплексного переменного 85 комплексных значениях аргумента не применимы и определения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Принимая во внимание известные для действительных значений х Е И разложения функций е*, зшх и созх в ряд Макло- река и учитывая, что ряды и 2п-~-1 2п ~ и! ' ~ (2п+ 1)! ' »- (2п)! сходятся абсолютно для любого з Е С, положим по определению, что 22 е' = 1+ з+ — +... + — +... = ~ —, (3.17) 2! ' и! " и!' 3 5 7 2п-11 з1 =з — — + — — — +...+( — 1)п +...= 3! 5! 7! (2п + 1)! 2п-1.1 = ~ (-1)п(,',),, (3.18) 2 4 З з2П соз з = 1 — — + — — — +...
+ ( — 1)" +... = 2! 4! 6! (2п)! 2п — ( 1) . (3.19) Эти равенства определяют на всей комплексной плоскости понаэатпелъну»о 1~уннцию е», а также пъригонометпричесние фрннции зшз и соня номпленсного переменного я, совпадающие при действительных значениях я с соответствующими функциями действительного переменного. Напомним, что в абсолютно сходящемся ряде можно переставлять неограниченное число слагаемых, сумма ряда при этом не изменяется. Кроме того, сходящиеся ряды можно складывать почленно и умножать на постоянный коэффициент (1Х]. 86 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Позтому, умножив ряд (3.18) на число г и сложив с рядом (3.19), мы получим ряд (3.17), в котором вместо г подставлено Ы. Итак, мы приходим к соотношению е" = созе+ гипг, (3.20) Складывая и вычитая (3.20) и (3.21), находим е"-~-е " созя = 2 (3.22) е1з е — м зшг = 21 (3.23) Иногда формулой Эйлера называют каждое из соотношений (3.20) — (3.23).
Замечание 3.2. Формула Эйлера позволяет перейти от тригонометрической формы представления комплексноео числа к показательной, а именно: если я = г(созу+гз1п~р), то запись я = ге'~ (3.24) называют показательной формой представления комплекскоео числа. Теперь формулы (1.24) и (1.26) Муавра приобретают достаточно простой вид я" = г"е'"~ и ~(я = Яе*("з'+~~'")~", й = О, и — 1. 1Р (3.25) Остановимся на некоторых свойствах введенных функций комплексного переменного. 1.
Покажем, что при я1, я2 Е С е" е" = е"+" (3.26) называемому формулой Эйлера. Если в (3.20) я заменить на — г, то получим е "=созе — 1зшг. (3.21) З.З. Элементарные функции комплексного переменного 87 Напомним, что абсолютно сходящиеся ряды (в частности, степенные ряды в круге их сходимости) можно перемножать [1Х!, Ряд, являющийся произведением таких рядов, сходится абсолютно, а его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов. Члены ряда, полученного перемножением двух рядов— разложений е" и е", — запишем в виде бесконечной прямоугольной таблицы 22 ~2 ~2 г 3 1 11 2! 3! 1 1! (п — 1)! 32 яп — 1 '~1 2 21 ~2 1! 2! 21 22 1! 1 21 л2 1! 1! л1 ~1 л2 2! 2! 1! 32 ян 1 2 2! и! 2! (и — 1)! яп-1 1 2 3 1 3! 3 и 2 3! п1 3! (и — 1)! 31 + 22 (2~ + 22)2 (~~ + 32)п е" е" =1+ + 1! 2! "' и! + ° ° + ,л~+ла В частности, (3.26) и формула (3.20) Эйлера дают е' = е*+'" = е*е'" = е*(сову+гешу).
(3.27) Отсюда следует, что !ел ~ = е*, а одно из значений Агнес есть р. Таким образом, (3.27) позволяет вычислить значения показа- Выписывая из этой таблицы элементы по диагоналям, идущим вправо вверх, начиная с верхнего левого угла, замечаем, что сумму элементов первой диагонали 31/1! + 22/1! можно записать в виде (21 + 22)/1(, сумму трех элементов второй диагонали— в виде (31+ 32) /2! и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
