X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отметим, что если л = х — действительное положительное число, то ф = х, агя л = О, т.е. главное значение логарифма положительного числа является числом действительным и совпадает с натуральным логарифмом этого числа. В отличие от главного значения логарифма комплексного числа соотношение (3.35) определяет все возможные значения логарифма комплексного числа, или, как говорят, общее значение логарифма. Естественно ожидать, что на логарифм комплексного числа распространяются известные свойства натурального логарифма, т.е. имеют место соотношения 103 3.е.
Логарифмическая фуикдие оборот, для любых значений Ьпя~ и 1 азу их сумма есть одно нз значений Ьп(ягкз). Аналогичный смысл имеют и остальные равенства. Пример 3.10. Вычислим значения логарифма для некоторых комплексных чисел: а) Ьп( — 1) = 1п1+е( — -+2Ьг1 = — еГ - — 2Ьг1, 1п( — г) = — —; б) Ьп( — 1 — г) = 1п~Г2+е( — — я+2кя~ = — 1п2 — е'~ — я — 2)гк1, 4 1 2 ~4 1,3 1п( — 1 — г) = — 1п2 — 1 — я. 2 4 Соотношение (3.35) в области С'1 (0) определяет многозначную функцию, называемую лоеарпфмпчесиой фуннцаей. Ее обозначают ш = Ьпя.
Ветви этой многозначной функции определяются ветвями функции Агбар. Стало быть, функция Ьпя допускает выделение ветви в любой области, в которой допускает выделение ветви многозначная функция Агою Например (см. 3.4), такой областью является комплексная плоскость с разрезом по любой неограниченной кривой, соединяющей точки г = О и г = оо, а также любая ее подобласть. Пример 3.11. Пусть Р— комплексная плоскость с разрезом по лучу [О, +со) действительной прямой. Рассмотрим ту ветвь функции Ьпя, для которой Ьп( — 1) = яг'. Эта ветвь будет соответствовать той ветви многозначной функции Агбх, для которой Агб( — 1) = я.
Вычислим значения 1 пг' и 1 и(-1) для заданной ветви логарифма. Для этого нужно найти значения Агре' и Агб( — 1) соответствующей ветви аргумента. Имеем я я Аг31 = Агб( — 1) + Ьч, Агбк = и — — = —, я 3 Аг3( — г) = Агб( — 1) + Ьч, Агах = я+ — = — ег, 104 3.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО где в качестве кривых 71 и 72 можно взять дуги окружности ф = 1, соединяющие точку — 1 с точками ( и — 1. Итак, ,я я, Ьпг' = 1п~(~+(Асям' = 1п1+ 1 — = — (, 2 2 ' ,Зя 3 Ьп( — 1) = 1п! — ()+ (АгЕ( — 1) = 1п1+ в' — = — гг(. У 2 2 Можно говорить о возведении комплексного числа в произвольную комплексную степень. По определению полагают, что аг егьла а ф О (3.37) При фиксированном а Ф 0 зто соотношение определяет, как говорят, общую понаэагпельную ф1/нниию. Как и в случае логарифма, выделяют главное значение поназагпельноб фуиииии а', раВНОЕ Е'1" л. ЗНаЧЕНИЕ, ЗадаННОЕ раВЕНСтВОМ (3.37), иногда называют общилл значением поназагпельно21 ф1/нниии. Соотношение а аьлл при фиксированном а определяет многозначную функцию в области С'1 (О), называемую общей стпепенной ф1/ннииеб.
Г1+г'~ 1 Пример 3.12. Вычислим гч и ~ — ) . Имеем г/2 .г гвлг г(Гп1+г(л/2+2йл)) -л/2-2йл Главное значение гч равно е л/2. Аналогично получаем ( ~ 1 (1-г) Ьгг((1+1)/~/2) (1-г)(1л1+г(л/4+2йл)) л/4+2йл+г(л/4+2йл) Ел/4+2йл(СОя +(яШ ) (1+()Ел/4+2йл я .. ял ~Г2 4 4 2 /1+ггг г ъ~2 гг 4 Главное значение ~ — ) равно — (1+()е / . ~,2) 2 105 З.б. Обратные трвгояометрячесхве фуякпвк 3.6. Обратные тригонометрические функции Функции Агсзш», Агссов», Агсз8» и Агссзб» определяют как обратные к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу соответственно и называют обратными тригонометрическими функциями комплексного переменного. Например, если» = сов и, то го называют арккосинусом числа» и обозначают Агссоз». Для вычисления и при любом» Е С воспользуемся представлением совы = (евв + е '"')/2.
Обозначив е' = $, найдем 1+Г ~ »=совю= 2 откуда г' — 2Л+ 1 = О. Решив квадратное уравнение относительно неизвестного 1, получим два его решения (г и ~з, которые определяются формулой' С1 т = »+ ~/Р— 1. А так как г = е'"', то ип =? и(»+ ~(»з — 1). Итак, Агссов» = — г Ьп(»+ ~ГР— 1).
(3.38) 'В этой формуле квадратвый корень имеет два значения: в рамках комплексных чисел вет повятвя арифметического корня. Подчеркивая существование у хвадратвого корня двух звачеввй, иногда пишут Спз = Поскольку для решений ~цз квадратного уравнения 1'— — 2Л+ 1 = 0 верно соотношение ~г(з = 1, то ]~г] ]Я = 1 и агля + + агя (з = 2йя, й е Ж. Главное значение аргумента комплексного числа есть число вз промежутка ( — я, я], т.е. это число не превосходит к по абсолютной величине, причем — и исключается.
Поэтому либо агб(1+ агля» = О, либо аг8(1 + агй~з = 2я. Значит, либо два аргумента отличаются лишь знаком, либо оба равны я. Это рассуждение показывает, что из двух значений С1 и ~з одно имеет главное значение аргумента, принадлежащее отрезку (О, и]. Обозначим его через (. Ему соответствует значение 106 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО многозначной функции Агссов», равное — ю1п( = — 11п ~([+ аг6(, котороеназывают елаенььм значением арнносинпса и обозначают агссов».
Итак, по определению агссов» = аГК( — 1)~~ ~6, где ( = »+ ~/»з — 1, причем из двух возможных значений выбирается то, аргумент которого попадает в промежуток [О, я]. Другие значения Агссоз» либо отличаются от главного значения арккосинуса слагаемым 2Ьг, я Е У,, либо формируются вторым значением выражения»+ ~/Р— 1, равным 1Д: ~11 Агсс<ж» = — 1Ьп~ — ) = — (( — 1п~([ — 1аг6~+ 2яя1) = ~~)— = — аг6(+11пф — 2Ьг = — агссоз» вЂ” 2йя, я и Ж. Таким образом, все значения Агссов» описываются формулой Агссоз» = ~агссов»+ 2Ьг, Й е Ж. (3.39) Аналогично с помощью логарифмической функции можно выразить и другие обратные тригонометрические функции: Агсвш» = — г Ьп1 (» + ~/»з — 1), (3.40) 1 1+1» Асс»6» = — — 1п 2 1 — 1» (3.41) »+1 Агсс16»= --Ьп —..
2 » †(3.42) я Агсзш»+ Агссоз» = —, 2' Агс16»+ Агсс16» = —. 2 Можно показать, что для любого значения Агссов» существует такое значение Агсвш», что сумма этих значений равна я/2. Аналогичное утверждение справедливо для пары функций Агсф» и Агсс16».
Именно в этом смысле и следует понимать равенства Вопросы н задачи 107 Пример 3.13. а. Решим уравнение 4 сов л+ 5 = О. Учитывая (3.38), получаем совл = -5/4, или* 5, 5 25 . 5 3 л = Агссов( — — ) = — г Ьп( — — ~ ~/ — — 1) = — 1 Ьп( — — ~ — ) . 4 4 Ч16 4 4 Отсюда, используя (3.35), находим л1 = — 1 Ьп( — — ) = — 1(1п — + иг + 21 йн) = 1 1п 2+ (2Й + 1) и, 2) ~ 2 лз = — 1Ьп( — 2) = — 1(1п2+ иг+ 2гйп) = — 1 1п2+ (2й+ 1)н.
л = Агсзш( — 1) = — 1 Ьп ( — 1 +1ч/1 — 1) = = — 11п( — 1) = — 1(1п1 — г — +2лйн1 = — — +2йп, 2 ) 2 в. Вычислим Агсс3(л/3). Используя (3.41) и (3.35), находим 1 л' 1 — 1/3 л' 1 Агой — = — -Ьп = — — Ьп — = 3 2 1+1/3 2 2 1 г = --(-1п2+ О+ 21йп) = -1п2+ Йн, 2 2 Вопросы и задачи 3.1. Найдите при отображении и = 1/л образы следующих множеств: а) (л(=-; б) Вел=О; в) 1шл=О; 1 и г) аг3г= —. 4 *Здесь под радикалом стоит действнтельное число и подразумевается арнфметнческое значенне квадратного корня. Итак, л = Ы 1п2+(2Й+1)н> Й Е л.. б. Найдем л из уравнения в1гел = — г.
В силу (3.28) имеем з1глл = 1зшл = — г, т.е. вшл = -1. Отсюда, учитывая (3.40) и (3.35), получаем 108 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.2. Найдите образы координатных осей Ох и Оу при следующих отображениях: « — 1 1 «+1 1 а) и =; б) гл = 1+ —; в) и = —; г) ш = 1 — —. «+1' « — 1 « 3.3. Запишите определение предела функции комплексного переменного в случае «е = оо и А = оо, аналогичное (3.10) и (3.11). 3.4. Найдите модуль и главное значение аргумента для значений следующих функций в указанных точках: а) ш=з1п«, «=я+ю'1п2; б) ю=«е', «=йг.
3.3. Вычислите значения Ьп«и 1п«в точках: а) « = 4+ Зг; б) «=1 — 1; в) «= — 1. 3.6. Вычислите общее и главное значения указанных выражений: а) г~Д; б) 1', в) ( ) . З.Т. Найдите модуль и аргумент следующих комплексных чисел: а) 2', б) 3~+', в) «Ьйг. 3.8. Запишите в алгебраической форме указанные комплексные числа: а) яш( — +г1п2); б) сов(х — 11п2); в) вЬ вЂ”; г) с$31я. 3.9.
Найдите действительные и мнимые части следующих комплексных чисел: а) соя(2+1); б) вш21; в) с18(- — 11п2). 3.10. Для каждой из функций е*, соя«, яш«, $3«найдите множество всех точек «, в которых функция принимает: а) действительные значения; б) мнимые значения. 3.11. Докажите, что любому значению Агссов«соответствует такое значение Агсв1п «, что сумма этих двух значений равна 106 Вопросы и задачи я/2. Докажите аналогичное утверждение для функций АгсФ3з и Агссс3ю 3.12.
Для каких значений з все значения функций Агссовл, Агссйпз, Агсг3з являются действительными? 3.13. Найдите все значения следующих выражений: а) Агсвш-; б) Агссое2; в) Агсвшз; г) Агсг311+2з). 1 3.14. Решите следующие уравнения: а) ез'+ 5е' — 6 = 0; б) е'+1=0; в) 1в(л+г) =0; г) сЬя+1=0; д) вшл=йг; е) $Ьл — 1+1=0. 4.
ДИ<)(у<РЕРЕНЦИРОВАНИЕ сну УНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 4.1. Производная функции комплексного переменного Определение 4.1. Если существует конечный предел ~У(го) . У(го+ ~г) У(го) а.-~о Ьг а*-+о Ьг то его называют производной функции /(г) комплексного переменного г е точке го и обозначают у'(го) или 4/(го)/сЬ (иногда ю'(го) либо йл(го)/сЬ). Итак, если существует конечный предел (4.1), то ~У(го) а.
о 1~а а -~о Ьг (4.2) Определения производной и дифференциала функции комплекс ого переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для действительной функции одного действительного переменного (11]. Далее в случаях, когда ясно, что речь идет о функции комплексного переменного, будем называть ее для краткости просто функцией. Пусть функция /(г) определена в некоторой окрестности Щго) точки го Е С Дадим го приращение Ьг, такое, что го+ Ьг Е Щго).
Разность /(го+ Ьг) — /(го), как и в случае действительной функции, назовем приращением функции и = = у(г) е тиочке го (соответствующим заданному приращению Ьг аргумента г в этой точке) и обозначим Ь/(го), или просто Ью. 4.1. Проиэиоднен функции комплексного переменного 111 Определение 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
