X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 9
Текст из файла (страница 9)
б. Ряд из модулей, соответствующий заданному ряду, является гармоническим с общим членом 1/и, а гармонический ряд, как известно, расходится. Для проверки на условную сходимость заданного ряда выделим ряды из действительных и мнимых частей. Так как 1" /и = (сов(нп/2) + ввш(хп/2)) /и, то ОО СЮ х„= ~~~ — савв и 2 я=1 1 1 1 ~ (-1)" = о — — +о+ — +о — — +... = ~~ 2 4 6 ~- 2п ее ОО у„= ~) — вш и 2 я=1 и=1 ( 1)е-1 =1+Ю- -+О+-+О--+...
= ~ 3 5 7 л 2п — 1 я=1 Нетрудно убедиться, что для этих рядов выполнены условия признака Лейбница, который дает возможность сделать заключение об их условной сходимости, а значит, и об условной сходимости заданного ряда. 56 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ в. Общим членом ряда из модулей для исходного ряда будет (г„! = (Л/2) . Ясно, что в данном случае ~г„! -+ оо при и -+ оо. Таким образом, для исходного ряда также не выполнено необходимое условие сходимости, а потому он расходится. 2.3. Степенные ряды Пусть (с„) — некоторая последовательность комплексных чисел.
Ряд вида со + с1(л — ло) + .. + с„(г — гс) + " . = ~~т с„(г — яо)", (2.16) где г — комплексное переменное, называют комплексным стпепенным рлдом. При этом комплексные числа с„называют ноэ44ициентпами этого стпепенноео р*да. В частном случае яв = 0 из (2.16) получаем степенной ряд се+ с1г+сзяз+... +с г" +... = ~~> ст,г". (2.17) Далее ряды вида (2.16) и (2.17) будем называть для краткости просто степенными. Если в (2.16), равно как и в (2.17), переменное л положить равным конкретному комплексному числу л' Е С, то получим комплексный числовой рлд.
В случае сходимости (абсолютной, условной) такого ряда стпепенной ряд называют сходлитимсл (абсолютпно, условно) в тпочне л*. Если же полученный числовой ряд расходится, то стпепенной рлд называют расходюцимс* в тпочке я*. Определение 2.4. Множество точек г Е С, в которых степенной ряд сходится (абсолютно, условно), называют областпью сходимостпи (абсолютттной условной) этого степенного ряда.
58 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Докажем второе утверждение теоремы. Предположим, что числовой ряд с общим членом с„(з, — яо)" расходится. Если бы в точке я, для которой выполнено неравенство (2.19), ряд (2.16) сходился, то в силу первой части этой теоремы этот ряд сходился бы и в точке г„что противоречит условию теоремы.
Следовательно, в каждой точке г, удовлетворяющей (2.19), степенной ряд (2.16) является расходящимся. ~ь 2.4. Круг сходимости Остановимся на вопросе о том, как найти множество точек, в которых данный степенной ряд вида (2.16) сходится. Оказывается, что такое множество легко охарактеризовать геометрически и описать аналитически, используя геометрическое изображение комплексных чисел. Отметим прежде всего, что в точке го ряд (2.16) сходится при любых значениях коэффициентов, так как в этой точке все слагаемые ряда равны нулю (кроме первого, соответствующего нулевой степени я — зе). Пусть на плоскости (я) наряду с точками сходимости ряда вида (2.16) имеются точки, в которых этот ряд расходится. Из теоремы Абеля следует, что всякая точка сходимости находится ближе к точке зс, чем любая точка расходимости (см.
неравенства (2.18) и (2.19)). Рассмотрим множество значений ~з — яс~ для всех точек г, в которых рассматриваемый ряд сходится. Это множество ограничено сверху любым числом ~з* — зо~, где з* — точка расходимости ряда. Оно не пусто, так как содержит, по крайней мере, точку го. Поэтому рассматриваемое множество, как и всякое непустое ограниченное множество, имеет точную верхнюю грань [1-2.7], которую мы обозначим через В. Пусть теперь точка г удовлетворяет условию ~г — зс~ < В.
Выбрав е =  — ~ з — гс ~, исходя из свойств точной верхней грани, заключаем, что существует точка сходимости з* рассматриваемого ряда, удовлетворяющая условию  — е < ~г' — гс~ < В. Но 2.4. Круг оходимооти 59 тогда (я — яе! =  — с < (я* — гс~, и по теореме Абеля ряд в точке г сходится абсолютно. Итак, в любой точке г, для которой ~я — яе~ < В, степенной ряд сходится абсолютно.
Очевидно, что в любой точке я, удовлетворяющей условию ~г — яе ~ ) В, степенной ряд расходится. Отсюда, в частности, следует, что число В является точной нижней гранью множества значений ~г — яе~ для всех точек г, в которых рассматриваемый ряд расходится. Мы показали, что для каждого степенного ряда существует такое действительное неотрицательное число В, что этот ряд при )я — Зс) < В схОДитсЯ збсОлюгнО, а при )я — ле) ) В Он расходится. Множество всех комплексных чисел г, удовлетворяющих условию ~я — яе~ < В, образует на комплексной плоскости круг радиуса В с центром в точке ге. Этот круг называют крузом сходимости стпепенноео ряда, а его радиус  — радиусом сходил4ости сгпепенново ряда. При В = О степенной ряд вида (2.16) сходится только в точке го.
Степенной ряд может и не иметь точек расходимости, тогда он сходится абсолютно во всех точках плоскости. В этом случае полагают, что В = со, и говорят о бесконечном радиусе сходимости ряда. Говоря о круге сходимости ряда, мы имеем в виду абсолютную сходимость ряда во всех точках внутри круга и расходимость ряда во всех точках вне этого круга. На границе круга сходимости поведение степенного ряда может быть разным: в одних точках границы он может сходиться, а в других точках — расходиться.
Исследование на сходимость ряда в точках границы связано с более или менее сложным анализом индивидуальных свойств конкретного ряда. Обратим внимание на то, что во всех точках границы круга сходимости ряд из модулей членов ряда (2.16), т.е. ряд 60 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Вш! „|! — я!" = 11 ! „~Л" Фо, то этот ряд будет расходиться во всех точках границы, так как из нарушения необходимого признака сходимости в одной точке границы автоматически следует его нарушение во всех точках границы. Чтобы найти радиус сходимости комплексного степенного ряда (2.16), поступают так же,как и в случае действительных степенных рядов (1Х). Применим к ряду из модулей радикальный признак Коши.
Если существует предел 11ш ~/)с„~, (2.21) конечный или бесконечный, то, согласно радикальному призна- ку Коши, в точках г, удовлетворяющих условию ЧТЪ7* — *Я=1*-*М П И 7<1 (2У2) и — +00 и — +оэ сходится ряд из модулей степенного ряда (2.16), а потому сам степенной ряд сходится абсолютно. В точках л, удовлетворяющих условию !.-г.! 11ш ММ>1, (2.23) степенной ряд (2.16) расходится. Обозначим 1 В= 1пп ~/Д' (2.24) является одинаковым и не зависит от точки границы. Это значит, что если степенной ряд сходится абсолютно хотя бы в одной точке границы круга сходимости, то он сходится абсолютно во всех точках границы.
Аналогично, если степенной ряд вида (2.16) расходится в некоторой точке г границы круга сходимости вследствие нарушения необходимого признака сходимости, т.е. 2А. Круг сходимости 61 Тогда в точках г, для которых )г — го~ < В, ряд (2.16) сходится абсолютно, а в точках х, для которых )г — ге~ > В, этот ряд расходится. Следовательно, круг ~г — го~ < В и есть круг сходимости рассматриваемого степенного ряда, а число В, вычисленное по формуле (2.24), есть радиус его сходимости. Формулу (2.24) часто называют форму.аой Коши — Ада.иара (Ж.С.
Адамар (1865 — 1963) — французский математик). Формула Коши — Адамара была получена при помощи радикального признака Коши. Аналогичные рассуждения можно провести, используя признак Даламбера. Предположим, что все коэффициенты с„ряда (2.16) отличны от нуля (или, по крайней мере, коэффициенты ряда отличны от нуля, начиная с некоторого номера). Тогда для радиуса сходимости В рассматриваемого ряда имеем В= 1пп (— (2.25) если предел в равенстве справа существует.
В самом деле, достаточно к ряду из модулей членов ряда (2.16) применить признак Даламбера и повторить соответствующие рассуждения. )я — 21)"+13"и )г — 21( 1пп = 1пп и-+ о )г„( — м 3"+1(п+ 1))г — 21)" 3 так как и/(и+ 1) -+ 1 при п — ~ со. При )г — 21)/3 < 1, т.е. при ~х — 21~ < 3, исходный степенной ряд сходится абсолютно. Множество точек х, удовлетворяющих последнему неравенству, и есть круг сходимости (рис.
2.1). При ~г — 21~ > 3 исходный ряд расходится. Пример 2.4. Найдем круг сходимости степенного ряда с общим членом (г — 21)" /(3"п) и исследуем сходимость этого ряда в точках х1 = 3+ 21 и хз = 51. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда из модулей с общим членом (х„) = )х — 21)" /(3"и): 62 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Рнс.
2.1 Точки г1 и г2 расположены на границе круга. Для исследования поведения ряда в этих точках рассмотрим числовые ряды, получающиеся после их подстановки в исходный ряд. В точке з1 = 3+ 21 получаем числовой ряд (3+ 21 — 21)" 1 3"и и' и=1 и=1 который является гармоническим рядом и, как известно, расходится. Таким образом, исходный степенной ряд в точке г1 = 3+ 21 расходится. В точке гз = 51 имеем числовой ряд (51 — 21)" ~ (31)" ~ 1з 3"и 3"и и а=1 а=1 а=1 который, согласно примеру 2.3.6, является условно сходящимся, т.е. исходный степенной ряд в точке лз = 51 сходится условно. Отметим, что область сходимости степенного ряда (2.16) представляет собой круг ~я — ге~ ( В, дополненный некоторым множеством точек окружности ~з — ге ~ = В (возможно, пустым). Область сходимости ряда может и не являться открытым множеством, т.е.
она может не быть областью (см. определение 1.1). Не следует путать термины „область" и „область сходи- мости ряда". 63 2.4. Круг сходимости Пример 2.5. Кругом сходимости каждого иэ трех степенных рядов 00 и и Е" Š— '„Š— '„. и=1 и=! и=1 является единичный круг ф < 1, поскольку для всех указанных рядов предел (2.25) равен единице в силу того, что 1пп = 1пп ~1+ — ) =1, або. (п1 1)а г 1ха — )— Однако области сходимости этих трех рядов различны.
Первый ряд расходится во всех точках окружности ~л~ = 1, так как его общий член при )г~ = 1 не стремится к нулю. Второй ряд в некоторых точках этой окружности сходится (например, в точке г = — 1), а в некоторых расходится (например, в точке х = 1). Третий ряд сходится во всех точках окружности ~г~ = = 1, причем абсолютно, ибо ряд иэ модулей членов этого ряда для всех точек этой окружности является сходящимся числовым рядом с общим членом 1/п~. Пример 2.6. Вычислим сумму ряда с общим членом ги = ги и сумму ряда с общим членом юи = ( — 1)"г". Первый ряд имеет круг сходимости ф < 1 (см.
пример 2.5). Можно показать, что круг ~я~ < 1 является кругом сходимости и второго ряда. Рассмотрим первый ряд. Для любой точки л в круге ~г~ < 1, учитывая формулу для суммы членов геометрической прогрессии [1-1.5), получаем Я(л) = 1пп Яи(э) = 1пп (1+я+э +... +яи) = и+1 = 1пп =, (2.26) и-+ос 1 — л 1 — 3 ' так как при ф < 1 имеем 1пп (г!"+1= 0, а значит, «ит1-+ О при и -+ оо. Итак, для рассматривваемого ряда можно записать =1+я+э~+...+л" +...= ~) х", ~л~ <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
