X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В общем случае под разрезом области понимают любую простую кривую в этой области, точки которой удаляются из области. Отметим, что в результате разреза области получается снова область, если либо начальная, либо конечная точка лежит внутри области. Разрез может соединять две граничные точки области. В этом случае исходная область распадается на две области, расположенные по разные стороны разреза.
Французский математик К. Жордан (1838 — 1922) показал, что любая простая замжнутая кривая на плоскости делит плоскость на две не пересекающиеся области: первая не ограничена, ее называют внешней по отношению к кривой (вкеилкостпью кривоте), а вторая ограничена, ее называют внутренней по отношению к кривой (вкутпреккостпью кривой). Для обеих этих областей кривая является границей. 38 1. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ О бластпь Р на комплексной плоскости у 00 называют односвлзкой, если она облада:: Й ет следующим свойством: для любой простой замкнутой кривой, лежащей в Р, внутренность этой кривой также целиком принадлежит Р (рис.
1.9). Областпь, не обладающую указанным свойством, называют лтногосвлзкой. Например, область, внутренняя по отношению к многоугольнику, является односвязной, а внешность того же многоугольника есть многосвязная область, так как окружность достаточно большого радиуса будет целиком лежать во внешности многоугольника, но ограниченный этой окружностью круг содержит также и внутренность многоугольника. В дальнейшем будем рассматривать только такие области, границы которых состоят из конечного числа кусочно гладких кривых и изолированных точек. Пусть на комплексной плоскости даны простые замкнутые кривые С1, Ст, ..., С„, причем кривые Сз, ..., С„попарно не пересекаются и все лежат внутри Ст. Множество точек плоскости, расположенных внутри Ст и вне Сэ, ..., С„, представляет собой многосвязную область Р, границу которой составляют контуры См С2, ..., С„.
При этом контур С~ называют вкетаней границей лтногосвлзной об ьастпи, а совокупность контуров Ст,, ф— внутпренней границей многосвязной областпи. Каждый их этих контуров ограничивает „дырку" (или „отверстие"), наличие таких „дырок" характерно для многосвязных областей. Область Р указанного вида часто называют и-связной. „Дырки" в мно- -~(=,. > Ст":: ~ госвязной области могут вырождаться в С) точки, т.е.
вместо каких-либо контуров ,з С, могут рассматриваться иэолирован- с ':Ссэ::.": ные точки (точка Сз на рис. 1.10). Для контуров См Сз, ..., С„, ограни- О х чивающих многосвязную область, часто фиксируют направление обхода. Поло- Рис. 1.10 1.4. Геометрия на комплексной плоскости житпельным обводом ераннцы области называют такое движение по границе, при котором область все время остается слева. Для внешней границы такой обход противоположен движению часовой стрелки, а для контуров внутренней границы положительный обход соответствует движению часовой стрелки (см.
рис. 1.10). Движение в противоположном направлении называют огпрннаепельнььн обводом границы. Границу многосвязной области с положительным ее обходом часто называют состпавным нонтуром. Пример 1.4. а. Для области Р = (кЕС 0< [к — а] <е) границей являются точка г = а и окружность [я — а[ = е. Эту ограниченную двусвязную область называют кругом радиуса е > 0 с выколотым центром — точкой а, или проколотой е-окрестностью точки а Е С. Положительным обходом этой области является движение по окружности [г — а[ = е против часовой стрелки (рис.
1.11). Рис. 1.12 Рис. 1.11 б. Область Р = (г Е С: 0 < [я[ < 1, агя» Е ( — я., я)1 изображена на рис. 1.12. Она является кругом [я[ < 1 с разрезом по отрезку действительной оси, соединяющему точки я = — 1 и я = = О. Граничная кривая этой односвяэной области состоит из следующих частей (с учетом положительного обхода области): отрезка [ — 1, 0] действительной оси, проходимого от точки г = 0 до точки г = — 1 (ннисннй берез разреза); окружности [я[ = 1, проходимой от точки я = — 1 против часовой стрелки до той же точки; отрезка [ — 1, 0], который проходится вторично, но уже от точки к = — 1 до точки г = 0 (верхний берез разреза).
40 1. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ в. Граница области Р = (г бС 1 < ф < 21 состоит из двух кривых: окружности ~г~ = 2, при положительном обходе области, проходимой против часовой стрелки, и окружности ф = 1, проходимой при таком обходе по часовой стрелке (рис. 1.13). Эта область является двусвязной. На расширенной комплексной плос- кости понятие односвязности (многоРис.
1.13 связности) области изменяется. Областпь Р расширенной комп ьексной плоскости считают односвязной, если для любой простой замкнутой кривой, лежащей в Р, области целиком принадлежит одна из областей, ограниченной этой кривой. Так, внешность многоугольника, будучи многосвязной (двусвязной) на комплексной плоскости, становится односвязной на расширенной комплексной плоскости. Точно так же внешность круга радиуса В не является односвязной на плоскости, но становится односвяэной на расширенной комплексной плоскости. Односвязной на расширенной плоскости будет и область Р = 1г Е С: э ~ а), т.е. вся расширенная комплексная плоскость с выколотой точкой г = а. Многосвязными на расширенной комплексной плоскости являются, например, С с выколотыми точками я~ = 1 и эз = 1 и С с разрезами по двум отрезкам, соединяющим пары точек г = О, л = 1 и э = 1, з = 21.
Отметим, что область, односвязная на комплексной плоскости С, остается односвязной и на расширенной комплексной плоскости С. Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Пусть М с С вЂ” линейно связное множество и Ь вЂ” его непустое подмножество. Если 1 одновременно и замкнуто и открыто в М, то Ь = М. ф 1.5. Зедеяяе мяоясестяа точек яе комплексяой пяоскостя 41 1.5. Задание множества точек на комплексной плоскости Рассмотрим множество Е С С, состоящее из комплексных чисел, и условимся, что г может иметь в качестве значения любое комплексное число из множества Е. В этом случае мы будем называть г нолепленснььм нерелееннььн, а множество Š— его областью излеененна.
Отметим, что термин „область изменения" никак не связан с термином „область", введенным в определении 1.1. Область изменения комплексного переменного может быть областью или замкнутой областью, но может и не являться таковыми. Если область изменения комплексного переменного г не оговорена, то предполагается вся комплексная плоскость, т.е. г может принимать любое комплексное значение. В этом параграфе кратко остановимся на том, каким образом можно задавать множества точек на комплексной плоскости, рассматривая эти множества как области изменения комплексного переменного. Познакомимся, по сути дела, с уравнениями некоторых кривых в комплексной форме и с построением множества точек г Е С, удовлетворяющих заданным условиям. Необходимыми при этом будут знания действий над комплексными числами, сведения из курса аналитической геометрии о прямой и кривых второго порядка [П1], об уравнениях известных кривых в полярной системе координат [П], [П1], о геометрическом смысле модулл и аргумента комплексного числа, главного знамения аргумента комплексного числа, расстояния на комплексной плоскости и т.д.
Отметим, что: ]г] — расстояние точки г Е С от начала координат; ]г — го] — расстояние между точками г и го, Агяг — угол, образованный радиус-вектором точки г с положительным направлением оси Ох; агя(г — гв) — угол, образованный вектором, идущим из точки го в точку г, с положительным направлением оси Ох, причем этот угол удовлетворяет условию — и < ахб(г — гв) < и. Ь КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Множества, которые описываются комплексными уравнениями и неравенствами, часто удобно строить, находя простую геометрическую интерпретацию заданных уравнений и неравенств. Если такой подход реализовать не удается, то необходимо проанализировать заданные уравнения и неравенства, если возможно, упростить их.
Затем можно перейти к соотношениям, связывающим действительные переменные х = Вез и у = 1шю Такой переход в ряде случаев позволяет получить удобную геометрическую интерпретацию заданных соотношений. Дальнейшее изложение построим на примерах. Пример 1.5. Установим множества точек на плоскости С, определяемые следующими условиями: а) Ке(Ыз) < 2; б) )я — Ц < < ~я — 1(; в) ~г — 2! — )я+ 2! > 3; г) агя(г — 1) < х/4; д) агяг > ф. а. Полагаем г = х+1у. Тогда Ы~ = ф(хз + 2Ыу — у~) = — 2ху+1(хз — у~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
