X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.1). В этом случае плоскость хОу называют комплексной плоскоРие. 1.1 стаею (или плоскостпью комплексных чисел) ьь Алгебраическая форма записи комплекеяого числа 17 и обозначают либо (как и это поле) символом С, либо заключенным в круглые скобки обозначением комплексного числа: (е), (и). Произвольному действительному числу х соответствует точка (х; 0) комплексной плоскости, лежащая на оси абсцисс, которую применительно к плоскости С называют действительной (или вещественной) осью. Чисто мнимому числу 1у соответствует точка (О; у) плоскости С, расположенная на оси ординат, называемой в данном случае мнимой осью (но по традиции обозначаемой у, а не 1у!).
Комплексному числу е = х+1у соответствует точка М(х; у) комплексной плоскости. При этом абсцисса точки совпадает с действительной частью комплексного числа, а ордината точки — с его мнимой частью. Интерпретация комплексных чисел как точек плоскости позволяет говорить о геометрической 4орме представления комплексного числа. Далее точку М(х; у) плоскости С с координатами х и у будем обозначать так же, как и соответствующее ей комплексное число л = х+ 1у. Операции сложения (1.1) и умножения (1.2) обладают свойствами кольнутативности и ассоциативности, а умножение обладает свойством дистрибутивности относительно сюжения.
Два комплексных числа, записанных в алгебраической форме, равны в том и только в том случае, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Применительно к этой форме записи правила (1.1) и (1.2) дают ег+лг=(хг+чуг)+(хг+1уг) =(хг+хг)+1(уг+уг), (1.6) лгег = (хг+1уг)(хг+1уг) = (хгхг — угуг)+ч(х~уг+хгуг) (1 7) и приводят практически к простому условию, что все действия над комплексными числами аналогичны действиям над нного- членами, но с учетом свойств мнимой единицы 18 Ь КОМПЛЕКСНАЯПЛОСКОСТЬ Числа г = х + зу и У = х — зу называют ззолзплеззсно сопрлзсевкьзлзи. На плоскости з.'.
им соответствуют точки, расположенные симметрично относительно действительной оси (см. рис. 1.1). Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел являются действительными числами, а разность— чисто мнимым числом: я+я= 2х=2Нел, хУ=х +уг, я — х=2зу=2з1пы. (1.9) Для сложения и умножения существуют обратные операпии: соответственно вычитание и деление (кроме деления на нуль), которые в алгебраической форме можно записать следующим образом: гз — хг = (хз + зуз) — (хг + зуг) = (хз — хг) + з(уз — уг), (1.10) зз язв хзхг+ узуг .хгуз - хзуг «г лгхг хг+ уг хг+ уг Пример 1.1.
а. Пусть лз = 1 — з, лг = 1+з. Согласно (1.6), (1.7) и (1.10), (1.11), находим лз+хг = (1 — з)+(1+з) = 2, гз — гг = (1 — з) — (1+з) = — 2з, лзхг = (1 — з) (1+ з) = 1 — зг = 2, хз 1-з (1-з)(1-з) 1-2з+зг гг 1 + з (1 + з)(1 — з) 2 б. Пусть гз = — 3+ 4з, гг = 5 — з. 'Тогда лз+хг = ( — 3+4з)+(5 — з) =2+Зз, яз — лг = ( — 3+4з) — (5 — з) = — 8+5з', хз лг = ( — 3 + 4з) (5 — з) = ( — 15 + 4) + з (20+ 3) = — 11 + 23з, хз -3+4з' ( — 3+4з) (5+з) — 15 — 4, 20 — 3 19, 17 +3 = — — +3 —.
яг 5 — з (5 — з) (5+ з) 25+ 1 25+1 26 26 1.2. 'лритоиометрическан форма записи комплексного числа 19 1.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Каждому комплексному числу з можно поставить в соответствие на комплексной плоскостпи С радиус-вектор точки, изображающей зто число (рис. 1.2). Из (1.6) и (1.10) следует, что сложение и вычитание комплексных чисел аналогично нахо- ждению суммы и разности векторов в комплексной плоскости по правилу параллелограмма (рис. 1.3). Рис. 1.2 Рис.
1.3 Введенная в 1.1 алгебраическая форма записи комплексного числа удобна для выполнения операции сложения и обратной к ней операции вычитания. Однако, как видно из (1.7) и (1.11), умножение и деление при зтом представлении комплексного числа выполнить не столь просто. Для умножения и деления комплексных чисел, а также для возведения в степень комплексного числа и извлечения корня из комплексного числа, удобна епригонометрическал (или полярная) форма записи комплексного числа з = г(сов~р+ авш<р).
(1.12) Такое представление комплексного числа получается из алгебраической формы записи (1.4) переходом к полярным координатам точки, изображающей комплексное число: х = т сов у, у = твш~р. (1.13) 20 Ь КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Полярными координатами точки, изображающей комплексное число л, являются поллрнгай радиус г, равный длине радиус- вектора точки л, и поллрньп1 угол ~р, равный углу между положительным направлением оси Ох и радиус-вектором точки г (см.
рис. 1.2). Полярные координаты г и ~р точки, изображающей комплексное число г на комплексной плоскости, называют соответственно модулем и ареуменгпом номпленсноео числа и обозначают ф и Агля. Нетрудно увидеть, что )г! =с= ~/х~+у~, Фц(Агах) =фиакр= —. (1.14) х При х = О, у ~ 0 имеем мнимое число л = 1у.
В этом случае л аргумент комплексного числа имеет значения Агял = — + 2я.й, я Е Ж, при у ) 0 и Агял = — — + 2хл при у < О. Поэтому второе равенство (1.14) можно считать верным и при х = О, у ф О. Для комплексного числа х = 0 аргумент не определен. Модуль комплексного числа определен однозначно, а аргумент — с точностью до слагаемого, кратного 2я. Угол ~р отсчитывают так же, как в тригонометрии". положительным направлением изменения угла считают направление против часовой стрелки.
Для комплексного числа л = 0 аргумент не определен. Это комплексное число определяют единственным условием г = ~г~ = О. Итак, в форме (1.12) можно представить любое комплексное число ж Отметим еще раз, что для л = 0 модуль г обязательно равен нулю, а аргумент <р может иметь любое значение. Для модулей комплексных чисел лг и лз справедливы неравенства 1хг+л2! ~ 1хц+ ~гг~, !гг — гз~ > )!гг! — 1л2!), (115) геометрический смысл которых ясен из рис.
1.3. Главное значение аргументпа комплексного числа, обозначаемое агяг, есть значение аргумента комплексного числа, удо- К2, сригоиометрическал форма записи комплексного числа 21 влетворяющее условию (1.16) — к < агя г < и. Каждому комплексному числу г ф 0 соответствует единствен- ное главное значение его аргумента. Так, ах81 = О, аг8( — 3) = и, аг8( — 1+1) = Зп/4, аг8(-1 — г) = — Зк/4, аг8( — г) = — к/2. Очевид- но что Аг8я = ах8я+ 2Ьг, Й Е Ж. (1.17) Иногда под главным значением аргумента понимают то, которое попадает в промежуток [О, 2к). В этом случае главное значение аргумента также определено однозначно.
С учетом ограничений (1.16), налагаемых на главное значение аргумента комплексного числа я = х+Зу, с помощью тригонометрической функции ахс18х получаем агс$8(р/х), к + агс18(у/х), — к + агс18(у/х), к/2, — к/2, х>0; х<Оиу>0; х<Оиу<0; х=Оиу>0; х=Оиу<0. (1.18) аг8и = я1гэ = г1гэ(соя(1р1+ уэ) + 1аш(1о1+ ~рг)) (1.19) Это нетрудно установить, рассматривая в каждом иэ указанных в (1.18) случаев произвольную точку, изображающую комплексное число. Очевидно, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на слагаемое, кратное 2к. Используя для комплексных чисел к1 = г1(соз~р1+ сз1п~р1) и гэ = г2(соа~рэ + гяш1оэ), записанных в тригонометрической форме, равенство (1.7), можно установить, что 22 Е КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ и в случае лз ф 0 (а значит, и тз ~ О) — = — (сое(~рг — уз) +уе1п(уг — ~рз)).
тз (1.20) Согласно (1.19) и (1.20), при умножении комплексных чисел их модули следует перемножить, а аргументы сложить, а при делении — модуль делимого разделить на модуль делителя, а аргумент делителя вычесть из аргумента делимого (рис. 1.4). Итак, (л1г2) = )лг))лз), АгК(лглз) = Агдл1 + АгЕл~, (1.21) 21 ! (Л1~ — — АгК вЂ” = АгКгг — Атилл. (1.22) лз ~л2~ лз Рис.
1.4 Учитывая (1.14), получаем (л) = ф, ~лл~ = ф~, Агял = — Агля. (1.23) Рассматривая возведение комплексного числа л в натуральную степень как умножение г на себя и раз, находим г" = (т(сову+гешер)) = т"(соетир+гешткр). (1.24) Это соотношение называют формулой Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень. Отметим, п2. Тритокеметрическел ферме зекисм комклекского числа 23 что при вычислении в" по формуле (1.24) можно считать, что ~Р = аг6 з, поскольку в силу периодичности тригонометрических функций созх и в1пх слагаемое, кратное 2х, можно не писать.
Извлечение корня — это операция, обратная возведению в степень,т.е. ю= ~/в, если ие = г. (1.25) Если з = т(сову+вш~р) и ел = р(созд+гвшд), то, согласно (1.24), (1.25) и условию равенства комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем р" = т и пд = гр+ 2(к, 1 Е л.. Отсюда гр+ 2(к агяв+ 2кк Р= Чт п п и в итоге < агбз+2йег, . агбз+2кк) +гзш п и ' (1.26) к = О, 1,..., п — 1. Из этого соотношения, называемого формулой Муавра извлечния корня целой положительной степени из комплексного числа, следует, что среди возможных значений фг различными будут и значений, соответствующих, например, значениям к = О, и — 1.
Нетрудно установить, что при других значениях )с значения Огв повторяются. В формуле (1.26) вместо указанных и значений параметра й можно было бы указать любой другой набор значений, среди которых нет чисел, различающихся на слагаемое, кратное и, например к = 1, 2, ..., п. Все и различных значений для фх имеют один и тот же модуль, а их аргументы отличны на углы, кратные 2к/и. Значениям р'з отвечают точки комплексной плоскости, расположенные в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса Я с центром в начале координат.
При 1. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ этом радиус-вектор одной иэ вершин образует с осью Ох угол агя з/и. Из (1.24) и (1.26) следует формула для возведения комплексного числа в рациональную степень. Возведение комплексного числа з ф О в рациональную степены7 = т/и, где ги/и — несократимая дробь, можно рассматривать как две последовательные операции: сперва возведение комплексного числа в целую степень т Е Ж, а затем извлечение из результата корня и-й степени. Учитывая, что Агя(г ) = тАгяг, получаем < з 7 гааги г+ 2йх ., тагбз+ 2йх1 гз = г~~ соз +1зш и и 1 ' (1.27) й = О, 1,...,и — 1. Пример 1.2. а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
