X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В силу неравенства 1гг — г1! 1+ Вз < р(г1, гз) < )гз — г1~, г1, гз б М, (1.40) получаем: в каждой е-окрестности точки гз Е С в евклидовой метрике содержится некоторая е*-окрестность этой точки в сферической метрике, и наоборот. Из (1.37) следует, что неравенство р(г, оо) < е равносильно неравенству ф > Е = =,Л~Т.о д *, -«Рн м и ул ной точки г = со на расширенной комплексной плоскости в евклидовой метрике соответствует внешностпь круга радиуса Е с центром в начале координат, т.е. множество 1)(оо, Е) = (гав С: !г/ >Е)1, Е>0.
(1.41) С увеличением параметра Е окрестность бесконечно удаленной точки сужается. В дальнейшем мы, как правило, будем использовать окрестности точек в евклидовой метрике (1.38) и (1.41). На расширенной комплексной плоскости, как и в любом другом метрическом пространстве, важны такие понятия, как 32 Ь КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ внутренняя и граничная точка множества, открытое и замкнутое множества и т.п. [Ц.
Кратко опишем эти понятия. Точка го Е М С С является внутпренней точкой множества М, если существует е-окрестность этой точки, целиком включенная в множество М. Множество М с С открььтое, если каждая точка гв Е М является внутренней точкой М. Любое открытое множество, содержащее данную точку гв, рассматривают как окрестность этой точки (в широком смысле), такую окрестность обычно обозначают Щго). Точка го является граничной точкой множества М С С, если в любой ее г-окрестности есть точки как принадлежащие М, так и не принадлежащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества М образует границу этого множества, обычно обозначаемую дМ. Точка гв является внетиней точкой множества М, если у нее есть окрестность, не пересекающаяся с М. Точка го Е С является предельной точкой множества М с с С, если в любой ее окрестности есть точки множества М, отличные от го.
Предельные точки множества, как и его граничные точки, могут принадлежать множеству, а могут и не принадлежать ему. Отметим, что предельная точка множества, ему не принадлежащая, является граничной точкой этого множества. Если множество М содержит все свои предельные точки (или, что то же самое, все свои граничные точки), то такое множество называют замкнутым. Из любого множества М можно получить замкнутое множество М, присоединив к М все его предельные (граничные) точки. Множество М называют замыканием множестпва М.
Любое множество М с С само является метрическим пространством с той же метрикой, что и метрика, заданная в С. Поэтому можно говорить о множестве Р с М как об открытом или замкнутом в М, рассматривая Р как подмножество метрического пространства М. При этом множество Р с М является открытым в М, если любая точка го Е Р имеет такую г-окрестность П(гв, е), что (0(го, г) й М) С Р. Множество 33 1А.
Геометрия яа комплексией плоскости Р С М замкнуто в М, если его предельные (граничные) точки, принадлежащие М, принадлежат и Р. Каждое открытое (замкнутое) множество в М можно представить как пересечение с М некоторого открытого (замкнутого) множества (в С). Если множество Е с М является замкнутым в М, то его дополнение М ~ Р является открытым множеством в М. Если же множество С С М открыто в М, то множество М ~ 6 замкнуто в М.
Под кривой на плоскостпи С будем понимать непрерывное отображение у: Т вЂ” 5 С промежутка Т действительной оси в комплексную плоскость С. Если Т = [а, ~3] — отрезок, то точки А = у(с4) и В = у(~3) будем называть соответственно начальной и конечной п2очками кривой. В этом случае кривую часто обозначают АВ. Возрастание аргумента вдоль промежутка задает на кривой направление обхода от начальной точки к конечной.
Изменить направление обхода кривой можно, заменив отображение у(2) отображением у( †), заданным на отрезке [ — ~3, — а]. Под кривой на расширенной плоскостпи С будем понимать отображение промежутка Т действительной оси в С, непрерывное относительно сферической метрики.
Отображение у: Т вЂ” ~ С можно представить в виде у($) = = х(с) + су(с), где функции действительного переменного х(й) и у(с) определены на промежутке Т. При этом непрерывность отображения у(2) означает, что функции х(2) и у(2) непрерывны на промежутке Т. Уравнение вида х= у(с), 1ЕТ, называют комплексным уравнением кривой. Если т(2) = = х(2) + гу(2), то комплексное уравнение кривой можно преобразовать в параметрические уравнения этой кривой на комплексной плоскости: < х = х(с), Ф ч Т. у = у(2), 2 — 2054 34 ь комплнкснляплоскость Две кривые, заданные уравнениями г = ут(1), 1 Е [а1,Д], и г = у2(т), т Е [аз,,9г], считают равными, а отображения ут и уз — эквиваяентпнььни, если существует действительная функция 1 = з(т), т Е [аз, Я, непрерывная и возрастающая на отрезке [аз,Я, такая, что з(аг) = а1, з(~Зг) = В1 и у1(з(т)) =.уз(т), т Е [аз, Вз].
Каждой из равных кривых, очевидно, отвечает одно и то же множество точек плоскости (з), а выбор одной из этих кривых означает задание конкретного параметра для кривой. Таким образом, под кривой понимают не конкретное отображение промежутка действительной оси в комплексную плоскость, а некоторый класс эквивалентных отображений. Переход от одного отображения к другому, эквивалентному исходному, представляет собой замену параметира кривой. Для любой кривой АВ с начальной точкой А и конечной точкой В параметр можно выбрать так, что он будет меняться на отрезке [О, 1].
В самом деле, если кривая АВ определена как отображение у: [а, 11] -+ С, то можно заменить это отображение ему эквивалентным отображением у1(т) = у(з(т)), где 1= з(т) = а+ ф — а)т. Если двум различным значениям 11 и Фз параметра кривой у(г) соответствует одна и та же точка комплексной плоскости (з), т.е. у(г1) = у(1з) и 11 у~ 1з, то эту точку называют тпочкой самопересечения кривой АВ, заданной уравнением г = у(8), 8 Е [а,13]. Кривую, не имеющую точек самопересечения, называют простпой кривой или кривой Жордана. Кривая у которой совпадают начальная и конечная точки, является замкнутой (или замкнутпмм контуром).
Если у замкнутой кривой нет других точек самопересечения, кроме начальной (конечной) точки, то эту кривую называют простым замкнутпмм конптуром. Пример 1.3. а. Кривая, заданная уравнением г = г' з1п 1 Е [ — тг/2, я/2], — это отрезок мнимой оси, соединяющий точки з = — т и з = т (рис. 1.7, а). Кривая имеет направление от точки 1.4. Геометрия па комплексиой плоскости г = — 1 (начвльная точка кривой) к точке г =1 (конечная точка кривой).
Уравнение этой кривой можно также записать в виде г = 11, 1 Е [ — 1, Ц, или г =1(21 — 1), $ Е [О, Ц. Рис. 1.7 б. Кривая, заданная уравнением г = е' вш1, 1 Е [ — и/2, Зп/2], представляет собой тот же отрезок мнимой оси, проходимый дважды: сначала от точки г = — е' к точке г = е, а затем от точки г =1 к точке г = -4 (рис. 1.7, б).
Хотя эта кривая и кривая из пункта а определяют одно и то же множество на плоскости (г), мы имеем две разные кривые, так как ни одно представление первой кривой не может быть сведено к представлению второй заменой параметра. в. Кривая, заданная уравнением г = у($) = сов$+1вш1, 1 Е Е [О, 2х), — это окружность [г[ = 1, проходимая против часовой стрелки.
У кривой совпадают начальная у(0) = 1 и конечная у(2п) = 1 точки (рнс. 1.7, в). Кривую АВ, заданную уравнением г = 7(1) = х(Ф) +1у(1), 1 Е Т, называют гладкой, если существуют производные х'(г) и у'(1), непрерывные на промежутке Т, одновременно не обращающиеся в нуль, т.е. г'(Ф) = х'(1) +1у'(1) ~ О, 1 Е Т. Так как ненулевой вектор (х'(г); у'(1)) задает направление касательной к кривой, то гладкость кривой означает, что в каждой ее точке можно провести касательную, которая непрерывно поворачивается при движении точки М по кривой АВ (рис. 1.8, а). Ь КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Рис. 1.8 Кривую называют кусочно гладкой, если ее можно разделить на конечное число гладких участков.
Кусочно гладкая кривая во всех своих точках имеет касательную, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых существует предельное положение касательной слева н справа. Эти исключительные тонин нравой называют угловььмн (на рис. 1.8, б угловой является точка М). Множество на расширенной комплексной плоскости называют линебно связным, если любые две его точки можно соединить кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Одним из основных в теории функций комплексного переменного является понятие области.
Это понятие используется в формулировках многих теорем. Определение 1.1. Множество Р точек расширенной комплексной плоскости называют областью, если это множество открытое и линейно связное, т.е. 1) все точки Р являются внутренними; 2) любые две точки области Р можно .соединить кривой, целиком лежащей в Р. Область Р называют ограниченной, если существует такой круг К = 1е Е С ~я~ < й), что Р С К. Все точки комплексной плоскости по отношению к данной области Р можно разделить на три класса: точки самой области (они же внутренние точки области); граничные точки области; внешние точки области, не принадлежащие области и 1А. Геометрия на комплексной плоскости 37 не являющиеся граничными точками области. Каждая внешняя точка ео области Р имеет некоторую е-окрестность, которая не пересекается с Р.
Множество всех граничных точек области Р составляет еракииу этой о6 вастпи. В С существует единственная область, не имеющая граничных точек и, следовательно, не имеющая границы, — вся расширенная комплексная плоскость. Во всех остальных случаях область имеет границу. Область Р, объединенная со своей границей, представляет собой замкнутое множество Р, которое называют за кккутпой областпью. Обратим внимание на то, что замкнутая область не есть область в смысле определения 1.1. Единственное исключение из этого правила — расширенная комплексная плоскость, которая одновременно является и областью, и замкнутой областью, так как не имеет границы.
Термин „замкнутая область", не совсем удачен, так как может приводить к путанице, но является общепринятым. Область может не иметь внешних точек, и можно привести много подобных примеров. Так, областью без внешних точек является расширенная комплексная плоскость без отрезка [-1, 1) действительной оси, или, как говорят, область С с разрезом по отрезку [ — 1, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
