X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Предположим, что в каждой точке этой кривой определена функция ~(я). Рассмотрим разбиение кривой АВ на дуги ум уг, ..., уа точками яе, я1, ..., л„, взятыми в порядке следования по кривой от А к В, причем точка А совпадает с яе, а точка  — с я„(рис. 5.1). Обозначим через 1ь, й = 1, и, длину дуги а (яь 1 и яь— начальная и конечная точки этой дуги соответственно) и пусть 1 — максимальная иэ длин 1ь, к = 1, и.
На каждой дуге уь выберем точку яь и составим ивтиегральвую сумму ~) Дяь)(яь — яь 1) = ~~~ Дзь)Ьяь, (5.1) я=1 я=1 где Ьюь = яь — л~, 1. Если при 1 -+ 0 существует конечный предел интегральной суммы (5.1) (не зависящий ни от способа 146 5, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ разбиения кривой АВ на дуги уй, ни от выбора промежуточных точек гй Е 7й), то этот предел называют интпегралом оп1 функции у(г) комплексного переменного г по кривой (или вдоль кривой) АВ и обозначают | у(г) <Ь.
Итак, АВ ,~(г)аг =11ш ~) у(гй)ыгй. АВ | й=1 (5.2) Кривую АВ в таком случае будем называть путпем инпйегрировонил. Сформулируем легко проверяемые достаточные условия существования предела в (5.2), не останавливаясь на их обосновании. Теорема 5,1. Интеграл от функции у(г) по кривой АВ существует, если кривая АВ кусочно гладкая, а функция у(г) непрерывна на этой кривой.
Огй = гй — гй 1 = (хй — хй 1)+1(уй — уй 1) = Ьхй+1Ьуй. Если гй = хй+ ануй, то Дгй) = и(хй,уй)+ге(хй,уй). В итоге запишем Ягй)Ьгй = и(хй,уй) Ьхй — е(хй,уй) Ьуй+ + (и(хьуй)~1уй+е(хьуй)~йхй). Условие 1-+ О можно заменить условием шах )Ьгй! — + О, кой=1,а торов будет выполнено тогда и только тогда, когда одновременно шах ~Ьхй! -+ О и шах ~Ьуй~ -+ О. Поскольку кривая АВ й=1,а й=1,а Далее будем считать, что все рассматриваемые кривые являются кусочно гладкими. В (5 2) положим г = х+ 1у, ~(г) = и(х, у) +1е(х, у) и введем обозначения гй = хй + ануй, хй — хй-1 = Ьхь уй — уй-1 = ануй.
Тогда получим 147 ОЛ. Понятие и вычисление интеграла кусочно гладкая, а функции и(х, у) и е(х, у) непрерывны на ней в силу непрерывности Дя), существуют пределы йт ~ (и(хюуь)йхь — и(хюуь)аул) ь+О я=1 11щ у (и(хюуа)Ьуь+ и(хыуь)бхь), г-+О а=1 представляющие собой криволинейные интегралы вдоль кривой АВ. Учитывая (5.2) и свойства передела функции комплексного переменного, заключаем,что | у(г) ~Ь = и(х,у) еЬ вЂ” е(х, у) Йу+ АВ АВ + 1 и(х,у)е1х + и(х,у)е1у.
(5.3) АВ Таким образом, существование интеграла от функции комплексного переменного по кривой АВ равносильно существованию двух криволинейных интегралов от действительных функций двух действительных переменных. Из (5.3) следует, что для перехода к этим криволинейным интегралам нужно с помощью равенств Дг) = и(х, у)+ге(х, у) и Иг = е(х+ те(у преобразовать подынтегральное выражение, выделив действительную и мнимую части. Напомним, что если кривая АВ задана параметрическими уравнениями то для вычисления криволинейного интеграла надо подставить в подынтегральную функцию вместо х и у их выражения через е, а вместо <Ь и е(у — дифференциалы функций х(1) и у(т) 148 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ выраженные через 1 и Ж [Ч11].
В итоге криволинейные инте- гралы в (5.3) переходят в обычные определенные интегралы по отрезку [а, 9]: Равенство (5.4) можно записать следующим образом: л )~*=1 ( ( ФюО)) +ь( Ярма)( ъ)+ръца= АВ а =~д.м). ()а. а 1'ли =~а(н~(и АВ а (5.5) Использование формулы (5.5) вместо (5.4) позволяет обойтись без явного выделения действительной и мнимой частей подынтегрального выражения. Отметим, что, выбирая способ вычисления интеграла от функции комплексного переменного, следует учитывать особенности как функции Дя), так и кривой АВ. Позтому иногда при вычислении интеграла (5.3) можно поступить более рационально, а именно составить уравнение кривой АВ в комплексной форме я = «(й) = я($) +1у(Ф), $ Е [а,,0], вычислить ~Ь = я'(1) Ж и воспользоваться равенством 149 5.1. Поиетие и вычиелевие иитегрвла Если кривая АВ является заикнутой, т.е.
представляет собой некоторый завекнутый контур Ь, то используют обозначения 7 (з) 1Ь~ 7 (з) 1Ь Ь Ь в зависимости от направления обхода контура А при интегрировании, а сам инчнеграл в этом случае часто называют ноютьурнььн. Пример 5.1. Пусть 7'(з): — 1 и начальная точка кривой АВ изображает число лА, а конечная — число зВ. Тогда интегральная сумма (5.1) будет равна (яй Зй — 1) (я1 ЗО) + (в2 З1) + ..
+ (Зе Зе-1) = яе 20~ й=1 где зое яА ли е яВ. Отсюда ( аз =л — зА. Таким образом, АВ значение интеграла от функции 7" (л) = 1 по кривой АВ зависит лишь от положения начальной и конечной точек этой кривой и не зависит от пути интегрирования.
Иэ (5.3) и свойств криволинейного интеграла следуют некоторые свойства интегралов от функции комплексного переменного, используемые при вычислении таких интегралов. 1. Линейность. Если функции |1(л) и |2(з) непрерывны на кусочно гладкой кривой АВ, то для любых (вообще говоря, комплексных) постоянных а и 6 | ( 1 ()+БЫ Дш*= |Л( )н*.~б/й()ш*. (50 АВ АВ АВ 2. Адднтнвность. Пусть даны две кусочно гладкие кривые АВ и ВС. Для любой непрерывной на кривой АС функции 7 (г) справедливо соотношение 1(лая = У(з) 1я+ У(з) Ь. (5.7) АС ВС АВ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 150 3. Ориентированность. Для любой непрерывной на кривой АВ функции |(») верно равенство у(») и» = — 1(») и», (5.8) АВ ВА т.е. при изменении ориентации кривой интеграл по ней меняет знак.
4. Оценка интеграла. Для любой функции |'(»), непрерывной на кривой АВ, справедливо неравенство У(»)д» < [П )[Ж, АВ АВ (5.9) где правая часть неравенства представляет собой криволиней- ный питое»рая первого рода. Если, кроме того, функция 1(») на кривой АВ удовлетворяет условию [|(»)] < М, то верно не- равенство | У(»)и» <М~АВ АВ (5.10) где ЙА — длина кривой АВ. Пример 5.2. Вычислим АВ при условии, что путь интегрирования АВ в первом случае задан уравнением» = (2+1)$, $ Е [0,1], а во втором случае представляет собой ломаную, составленную из отрезка [0,2] действительной оси и отрезка, соединяющего точки»1 = 2 и »г = 2+1. оц. Понятие н еычисяееие интеграла 151 В первом случае путь интегрирования — прямая, изображенная на рис. 5.2 штриховой линией, так как комплексное уравнение г = (2+1)1 эквивалентно параметиричесним уравнениям прямой х = 21, у = 1.
Учитывая, что Рис. 6.2 Кег=х=2$ и ~Ь=(2+1)М, 8Е [0,1], получаем | КегсЬ = 2Ф(2+1)сМ = (2+1)1 ~ = 2+1. 2~ о АВ Во втором случае путь интегрирования состоит из двух отрезков (на рис. 5.2 он изображен сплошной линией). Для отрезка [0,2] действительной оси имеем у = О, Иу = О, сЬ = = дх и Кег = х Е [0,2], а для отрезка, соединяющего точки г1=2 и г2=2+г, получаем Вег=х=2, Их=0, <Ь=Иу и у Е [О, 1]. Учитывая (5.3) и аддитивность интеграла от функции комплексного переменного, находим Г 2 22 Вегой = хсзр+ 2Иу = — + 21у = 2+ 21. 2 о о АВ о о Этот пример показывает, что интеграл от непрерывной функции может зависеть от пути интегрирования. Обратим внимание на то, что функция у(г) = Вяг не является аналитической (см.
пример 4.5). Пример 5.3. Вычислим интеграл от функции 1(г) = гг по окружности ]г] = 1. Так как гу = ]г]~, то для точек окружности ]г] = 1 имеем гу = 1. Согласно примеру 5.1, интеграл от функции У(г) = 1 зависит лишь от начальной и конечной точек 152 в, интеГРиРОВАние Функций пути интегрирования. Для замкнутого контура начальная и конечная точки совпадают. Следовательно, Пример 5.4. Вычислим интеграл ,7„= (в-а)" сЬ, пЕУ, вдоль окружности Ь: ~г — а~ = В, которая обходится против часовой стрелки (рис.
5.3). Эту окружность можно задать комплексным уравнением г — а = = К(сов1+ 1 з1п$), $ Е (О, 2я). На окружности имеем Рис. 5.3 (я — а)" = Н'(созпг+1зшМ), ~Ь = В( — вшФ+1созв) Ж, откуда (» — а)" ~Ь = Я"+~(созпЗ+1вштМ)( — вшй+ ю соМ) М = = 1В"+~ (соз(п+ 1)1+1 зш(п+ 1)1) сй. Следовательно, п)в 4я Х 2в ='л" '/( [ ~ц«- '( «1)за=1 О, пФ вЂ” 1; о Обратим внимание, что полученный результат не зависит от радиуса окружности.
В частном случае при а = 0 имеем (5.11) (2яю, и = — 1. Ы=н 153 5.2. Интеграеьвые теоремы Коши 5.2. Интегральные теоремы Коши Перейдем к рассмотрению одного из наиболее важных результатов теории функций комплексного переменного.
Теорема 5.2 (тпеорема Хоиеи для односаяэной областпи). Если функция ~(я) аналитическая в односвязной области Р и на ограничивающем ее кусочно гладком контуре Ь (т.е. аналитаичсскал в замкнутой области Р), то (5.12) ~ Доказательство теоремы проведем, дополнительно предположив, что производная у'(я) данной функции непрерывна в односвязной области Р и на ограничивающем ее контуре Х (это предположение на самом деле излишнее, но позволяет заметно упростить доказательство). Пусть Дя) = и(х,у) +?о(х,у).
Тогда в силу (4.10) и (4.12) имеем ди(х,у), до(х,у) до(х,у), ди(х,у) д* д д д так что иэ непрерывности функции у'(я) в Р следует непрерывность функций и(х,у), о(х,у) и их частных производных в Р. Напомним, что криволинейный интеграл вида АВ вдоль кусочно гладкой кривой не зависит от пути интегрирования в односвязной области тогда и только тогда, когда функции Р(х, у) и 1с(х,у) непрерывны в этой области вместе со своими частными производными и удовлетворяют условию [Ч?? ~ 154 б. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Если к тому же путь интегрирования замкнутый, то в этом случае интеграл равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
