X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Функции и(х,у) и и(х, у), имеющие нулевые частные производные в односвязной области Щх), постоянны в этой области. Значит, Ь(з) х— а С в Щх). Согласно теореме 4.4, анапитическая в Р функция Ь(з) — С, тождественно равная нулю в 11(х), тождественно равна нулю во всей области Р, т.е. Дх) — д(х) = С в Р. Это равносильно утверждению теоремы. ° Теорема 5.7. Пусть Дз) — аналитическая в некоторой односвязноб области Р функция, а Ф(з) — некоторая перво- образная этой функции в Р, т.е. Ф'(з) = у (з), я Е Р. Тогда (5.21) < Аналитическая в области Р функция дифференцируема в ней (см. 5.6), а значит, и непрерывна в Р. Согласно теореме 5.4, интеграл от аналитической в односвязной области функции зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути интегрирования.
Таким образом, для функции Дз) выполнены 162 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ условия теоремы 5.5, и поэтому функция ~()= УЫ) К й1 является одной вз первообразных функции 1(л). Согласно теореме 5.6, любая другая первообраэная Ф(г) функции 1(г) связана с функцией г'(л) соотношением г (л) = Ф(л) + С, т.е. | 2 У(0 ~(~ = Ф(л) + С л е В Полагая в последнем равенстве л = л1, получаем 0 = Ф(л1) + С и С = — Ф(г1). Итак, откуда при г = лз следует (5.21).
~ Аналогично случаю действительной функции используют запись Ф(лз) — Ф(г1) = Ф(л)~ н так что (5.21) приобретает вид (5.22) Формулу (5.22), как и в случае функций действительного переменного, называют формулой Ньютпона — Лейбница. Она упрощает вычисление интеграла от аналитической функции в односвязной области.
Отметим также, что если функции у(з) и д(л) являются аналитическими в односвязной области В, а у — любая кривая 163 а4, Формула Ньютона — Лейоннца с начальной точкой н1 и конечной точкой лз, то справедлива формула интегрирования по частям | 1( )д'( ) 4. = 1( ) Ф( ) = 7 л~ л2 = Дя)д(л) ~ — / д(я) У'(я) ~Ь.
(5.23) л1 л Пример 5.6. а. Вычислим интеграл от функции я по ломаной ОАВ с вершинами в точках 0(0; 0), А(1; 1) и В(2; 1) (рис. 5.9). Эта функция является ана; У (а) литической на всей комплекснои плос- 4 кости (я). Пазтому интеграл от этои функции не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от положения О его начальной точки «о = 0 и конечнои Рие. 6.9 точки лн = 2+1. Функция имеет первообразную Ф(я) = яз/3, так что, используя (5.22), находим з Л+~ (2+1)з 8+ 121 — 6 — г 2 11, 3 3 3 3!о 3 ОАВ б. Рассмотрим интеграл от функции (я — г) е ' по некоторой кривой, соединяющей точки я1 = 0 и яз = 4. Эта функция аналитична на всей комплексной плоскости (л).
Используя (5.23) и формулу Эйлера, получаем ( -е -'~ =-|( — )л — )= о о 4 в в = — (л — 1)е '~ + е 'еЬ= — (я — 4)е '~ — е '~ !О о = -1 — е ' + 1 = 1 — соа 1 — а(1 — пи 1). 5, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 5.5. Интегральная формула Коши Теорема 5.8. Пусть /(») — аналигпическал функция в односвлзной области Р и на ограничивающем ее контуре Ь.
Тогда для любой точки»о Е Р справедлива формула у(»о) = —. «)1е 1 л /(») 2яг' У» — »о (5.24) М Функция /(»)/(» — »о) является аналитической всюду в области Р, за исключением точки»о е Р, в которой свойство аналитичности нарушено. Окружим точку»о окружностью Ь| ради- У уса г с центром в втой точке, при- Е чем так, чтобы окружность лежала »о е«в Р (рис. 5.10).
Тогда /(»)/(» — »о) будет аналитической функцией в двусвязной области, ограниченной о внешним контуром Ь и внутренним Ьь Согласно теорел«е Ко«аи Рис. 6.10 длл л«ногосвлзной обласгпи, которая в частном случае двусвязной области приводит к равенству (5.16), имеем ««» = ««» »-»о У»-»о (5.25) Рассмотрим разность (5.26) С одной стороны, в силу равенства (5.25) зта разность не зависит от радиуса «окружности Ьь С другой стороны, зта разность является бесконечно малой при г — ~ О. Действительно, о.о. Иитегральиая формула Коши 165 согласно примеру 5.4, верно равенство Х(го) = —, Г11 сЬ. 1 Г У(зо) 2яг' У з — зо (5.27) Так как функция Х(з) аналитична, а значит, и непрерывна в точке яо Е Р (см.
4.6), для любого е ) О можно подобрать такое Ю = б(е) ) О, что при )з — го! < Ю будет верным неравенство ~Дя) — Х (яо~ < е. Пусть радиус г контура Х г настолько мал, что г < д. Тогда всюду на контуре Ьг выполнено неравенство У(яо) — Пз) !У(зо) — У(л)~ Используя равенство (5.27) и оценку интеграла от функции комплексного переменного (см.
5.1), получаем У(яо) — — гр — гЬ = 1 Г Г(з) 2яг У г — го Ь! Г У(яо) - Х(я) гЬ < —,-2ггг =е. 2яг,г я — ло 2яЯ г Это соотношение означает, что разность (5.26) является бесконечно малой при г -+ О. Но так как она в то же время постоянна, то просто равна нулю. С учетом (5.25) заключаем, что справедливо (5.24). ~ Правую часть формулы (5.24) называют ингнеералом Хагаи, а саму формулу (5.24) — интаегральной длормулой Хоши. Для вычисления интеграла Коши нужно знать только значения аналитической функции на контуре Х,, ограничивающем односвязную область Р, которой принадлежит точка зо.
Следовательно, интегральная формула Коши позволяет для аналитической на замыкании Р функции Х(л) находить ее значение в любой точке го е Р, если известны значения этой функции на контуре Х. 166 5, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Если точка ге лежит вне односвязной области Р, то интеграл Коши равен нулю, так как в этом случае подынтеграяьная функция будет аналитической в Р (см. теорему 5.2). В итоге для односвязной области Р, ограниченной контуром Х, можно записать 1 ~ ~(~) ) ~(я), я Е Р, 2яг' .'г" ~ — я ) О, яфР. (5.28) Интегральную формулу Коши можно использовать для вычисления конггфркыя интпегралов. Пусть требуется вычислить интеграл от функции ~р(я) по замкнутому контуру Ь.
1. Если <р(я) является функцией, аналитической в односвязной области Р и на ограничивающем ее контуре Ь, то в силу теоремы 5.2 ф <р(г) г1я = О. (5.29) 'р(я) сЬ = ~ гЬ = 2яг'Т"(яо) (5.30) -Г У(я) 0 3. Если в ограниченной контуром Ь области Р есть конечное чисяо особых точек я1, яз, ..., г„(гг > 1) функции у(я), причем эта функция представима в виде (5.31) где Т" (х) — аналитическая функция на замыкании Р, то после- довательно выполняют следующие этапы: Ъ 2.
Если в односвязной области Р, ограниченной контуром Ь, есть точка яе, в которой нарушена аналитичность функции <р(я) (это так называемая особал тпочиа данной функции иомгьяеисного веременноео), причем эту функцию можно представить в виде ~р(л) = Т" (я)/(я — «0), где Г(я) — аналитическая функция на замыкании Р, то в силу (5.24) имеем 5.5. Интегральная формула Коши 167 а) строят не пересекающиеся друг с другом и не выходящие за пределы области Р вспомогательные контуры Ьь, й = 1, п, каждый из которых окружает только одну особую точку с соответствующим номером (рис. 5.11); Рис.
5.11 (5.33) б) согласно теореме Коши для многосвазной области и (5.15), имеет место равенство ф м )а=1.'~ю( м, (5.32) Ь ь=' ъь т.е. исходный интеграл сводится к сумме интегралов по конту- рам, каждый иэ которых окружает лишь одну особую точку; в) в каждом й-м слагаемом правой части (5.32) подынте- гральную функцию представляют в виде р(а) = , дь( ) = дь(а) У(я) з ль П(х — я ) пь=1 смей так что функция дь(х) является аналитической в односвяэной области, ограниченной контуром Ь|, и на самом этом контуре, а поэтому в силу (5.30) ~р(г) дя = 2нгда(аа) = 2я1 У(аь) ьь Ц (ъь-а„,) та=1 тфй 168 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ г) в итоге, согласно (5.32) и (5.33), находят (5.34) На практике формулу (5.34) как таковую использовать не очень удобно.
Проще повторить весь процесс вычислений, последовательно выполнив пункты а), б) и в). Пример 5.Т. Вычислим контурный интеграл яз+1 в котором контуром Л является окружность: а) ф = 1/2; б) )я — 1! = 1; в) )я! = 2. а. Подынтегральная функция является аналитической в замкнутом круге ф < 1/2 (на рис. 5.12 он У затенен). Поэтому на основании теоремы Коши для односвязной области искомый интеграл равен нулю.
б. В области, ограниченной окружно- стью ~я — 1~ = 1 (на рис. 5.12 она изображена — $ штриховой линией) находится точка я = 1, в которой нарушена аналитичность подынтеРис. 6.12 гральной функции, поскольку в этой точке знаменатель данной функции обращается в нуль. Представим подынтегральную функцию в виде о.о. Интегральнан формула Коши 169 В СИЛУ акаЛИтИЧНОСтИ фуНКцИИ Егл/(я + г) В КруГЕ ~а — г~ ( 1, используя (5.30), получаем ф Ега .Г 1 Е'*, Ега гг (а= гр —.—. л=2яг —, = —. (5.35) , +1 — ~Р .— .+ — .+ ~г-г)=1 )г-г1=1 в. В круге (л( (2 (рис. 5.13) находятся две точки я1 = г и я2 = 2г = -г, в которых знаменатель подынтегральной функции обраща- 'Ег ется в нуль, т.е.
нарушена ее ана- ЛнтИЧНОСтЬ. ОКружИМ Зтн ТОЧКИ -2 „::::,'9 ':::;:-;::;,.=:.; 2 а контурами Ь1 и Ь2, не пересекающимися между собой и с окружностью ф = 2. Тогда подынтеграль- — 2г ная функция будет аналитической Рис. 6.13 в трехсвязной области Р, выделенной на рис.
5.13. По теореме Коши для многосвязной области имеем ф=2 Вычисление первого контурного интеграла справа совпадает с (5.35), а для второго, используя (5.30), имеем ф егг .Г 1 е", ега гЬ = ~1 —, —, гЬ = 2яг — = — гге. "+1 — ~Р.+ .— гг Ьр В итоге находим ф Ега гà Š— Е 1 гЬ = — — гге = — 2гг = — 2ггеЫ. «2+1 е 2 )г~=2 о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
