X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 24
Текст из файла (страница 24)
интеГРиРОВАние ФУнкЦий 170 5.6. Высшие производные аналитической функции УВЙ(«о) = — '. ~Р „, <~, и( Г У(«) 2к1 (« — «о) "+' (5.36) где Ь вЂ” любой простой кусочно гладкий контур, охватывающий точку «о и целиком лежащий в П(«о). М В силу интегральной формулы Коши имеем П«о) = —. (~> —" и П«о+А) = —. у~ ) й« г у(«) .Х П«) 2к1 « — «о 2к1 « — («о + Ь Ь Б для любого приращения Ь Е С, не выводящего точку «о+ Ь эа пределы области 11. Отсюда — а«. (5.37) 2к1 у («-«о)(«-«о-а) Покажем, что 1ш1 а« = — й«. (5.38) ,С У() ' 4; П') ь-+о2я1 ~~ (« — «оК« — «о — А) 2к1 У (« — «о) Ь Ь Условие, что функция комплексного переменного аналитична е точке «о, сказывается настолько сильным, что из него следует существование в точке «о всех производных рассматриваемой функции.
Таким образом, производная аналитическои функции сама является аналитической функцией. Это важнейшее отличие функций комплексного переменного от функции действительного переменного: в действительном случае функция может иметь производную первого порядка, но не иметь производной второго порядка. Теорема 5.9. Аналитическая в окрестности П(«о) точки «о функция 1(«) имеет в этой точке производную любого порядка и, вычисляемую по формуле 6.6. Высшие производные еиалиеичесиой функции 171 Это равносильно тому, что контурный иншеграе ф П») У(») ~„, ~ 1(»)Ь (»-»а)(»-»а-Ь) (»-»а)' / У (»-»а)'(»- а-Ь) стремится к нулю при Ь -+ О.
Простой замкнутый контур» является ограниченным замкнутым множеством точек этой плоскости. Поэтому непрерывная на этом множестве функпня !» — »а~ комплексного переменного» достигает на 5 своего наименьшего значения б, а функция Щ») ~ — своего наибольшего значения Ь (см. 3.2). Поскольку в равенстве (5.38) предел рассматривается при Ь -+ О, будем рассматривать приращения Ь настолько малые, что !Ь( ( д. В этом случае !» — »а — Ь( > ()» — »а! — !Ь)~ > 5 — !Ь1 Поэтому у" (»)Ь ~ !Ь(Ь (, „)з(, „ )1 - 5»( !Ь!) Используя оценку интеграла (5.9), запишем ф 1(»)Ь 1 !Ь|1ъЬ (» — »а)'(» — »а — Ь) 5»(д — )Ц) ' где 1с — длина контура Х,.
Так как правм часть (5.39) стремится к нулю при Ь -+ О, то и его левая часть также стремится к нулю. Это означает, что справедливо (5. 38). После перехода в (5.37) к пределу при Ь -+ О, учитывм определение 4.1 производной, получаем ~,( ) 1~,~(~~+ Ь) — у(~) ~,,~,~(~) ь-~а Ь 2не' У (» — »а)з Аналогично можно доказать, что уи(»а) = —. (~~ ~!», у~и(»а) = —.
у» — е!» (5.41) 2! Я Д») „, 3! .д,! (») 2т У (»-»а)з ' 2т1 ~ (»-»а) с ъ и т.д. ~ 172 5, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Пусть подынтегральнм функция ~р(х) контурного интеграла имеет представление вида где функция Х(х) аналитична на замыкании В некоторой односвязной области ХУ, ограниченной простым контуром Х, а хе Е Хг. Тогда для вычисления контурного интеграла можно использовать формулу (5.36), которая принимает вид Если подынтегральная функция <р(х) теряет аналитичность в конечном числе и особых точек хь Е Х1, л = 1, п, но ее можно представить ввиде где ть Е Я, а Х(х) — аналитическм функция на Х), то контурный интеграл можно вычислить по схеме, аналогичнои изложенной вьппе (см. 5.5).
Пример 5.8. Вычислим контурный интеграл ~Ь (хг+ цгх вдоль окружности Х: ф = 2. В области, ограниченной контуром Х, лежат особые точки х1 = О, «г —— г' и хз = — 1 подынтегральной функции (рис. 5.14). Окружим каждую из зтих 5.6. Высшие производные аналитической функции 173 точек соответственно контурами Хм Хг и Хз, не пересекающимися между собой и с контуром Х. Тогда подынтегразьная функция будет аналитической в четыррссвязной области Р (на рис.
5.14 она выделена) и на ограничивающем ее составном контуре (на внешнем Х и внутренних Х1, Хг и Хз). Согласно теореме Коши для многосвязной области, Рис. 5.14 ф егх д»,4 е" сЬ,4 егх сЬ,4 е'х сЬ (»г+ цг» 'Хх (»г+ цг» ~Р (»г+ цг» ')(у (»г+ цг». + у~ + ~ пх К каждому из интегралов справа применим либо (5.30), либо (5.36).
Так как контур Х1 окружает лишь одну особую точку»1 = О, то функция е'*/(»г + Цг будет аналитической на Х1 и в области, ограниченной этим контуром. Используя (5.30), находим ф е" ~Ь ~ 1 есх сЬ есх = 2нх = 2яз'. (»г+ цг» у- » (»г+ цг (»г+ цг ~ ь, ~в=о ф ен <1» 1 ехх «1» Д есх = 2яз — ( ( '+ц'» У (» — х)г (»+')г» 1»~( + )г») Ех Ъ| ш 1е'х 2е'х евх (»+,)г» (»+,-)з» (»+,)г»г ,/е ' 2е ' е1 1 2яъ'х 1 1 1~ 3к1 хх2яг~ 1 (21)г (21)з1 (2х)гвг,~ е ~ 4 4 4х 2е Контур Х г окружает особую точку»г = 1. Следовательно, функция еех/((» + 4)г») является аналитической на этом контуре и в ограниченной им области. Используя (5.36) при хз = 1, получаем 174 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Аналогично вычисляем интеграл по контуру Ьз, выделяя ана- литическую функцию е'~/ <(» — 1)г»): ф е" д»,4 1 ег~д», д г' е" ( +Ц У(+ )г( -г)г ' 'д»1,( -г)г ьэ Ьр 2е В итоге получаем ф е" д», Зк ке ../ 3 е~ = 2к( — — 1 — — 1 = кг~2 — — — — !.
(»г+ 1)г» 2е 2 ~ 2е 2/ Б 5.7. Достаточные условии аналитичности функции Согласно определению (см. 4.6), функцил Д») является аналитической в обласгпи Р, если она дифференцируема в каждой гпочке этой области. Иэ досгпагпочных условий дифференцируемосгпи функции комплексного переменного заключаем, что для аналитичности функции 7" (») = и(х,у) +1е(х,у) в области Р достаточно, чтобы и(х,у) и и(х,у) были сопрлженнььми гармоническими функциями в этой области. Рассмотрим другие достаточные условия. Теорема 5.10 (пзеорема Мореры).
Пусть функция 7(») непрерывна в односвлэной области Р, а интеграл от этой функции по любому замкнутому кусочно гладкому контуру, лежащему в Р, равен нулю. Тогда функция у(») аналитична в Р. 1ег» = 2к1 (» — 1)г» е = 2кг ( — 2') 2е" е" (»;)з» (»;)г»г е ( 2г)з(;) ( 2;)г(;)г , 71 1 1~ ке, = 2кге( — — — — — ! = — — г'. (4 4 4! 2 Д.бн. Комплексный потенциал плоского векторного пакп 175 < Из условий теоремы следует, что интеграл от функции Х(п) по любой кривой, лежащей в Р, не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от положения начальной и конечной точен втой кривой (см. 5.3). Стало быть, интеграл г (и) = Х(п)ап со при фиксированной точке пв Е Р есть функция верхнего предела и. В силу теоремы 5.5 функция г'(е) является аналитической в области Р, причем г"(и) = Х(п). Но производная анзлитической функции также является аналитической функцией (см.
5.6), что доказывает утверждение теоремы. ~ Эта теорема установлена в 1886 г. итальянским математиком Дж. Морерой (1856 — 1909). Если обратиться к доказательству теоремы 5.9 о бесконечной дифференцируемости аналитической функции, которое построено на возможности представления значений непрерывной в области .Р функции интегралом Коши, то можно сформулировать следующее достаточное условие аналитичности функции. Теорема 5.11.
Если функция Х (и) непрерывна на замыкании Р односвязной области Р, ограниченной кусочно гладким контуром Ь, и для любого з й Р верно равенство то функция Х(я) аналитична в области Р. Дополнение 5.1. Комплексный потенциал плоского векторного поля При помощи функции комплексного переменного можно описать стационарное (не зависящее от времени) плоскотьараллельное (плоеное) венторное ноле. Все векторы та- 176 д. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ди ди снап~ ('(х) = — + — = О, д ду (5.43) .у и — = ( — — — )й=(), д д ди ди 3 д де и гоьу(з) = кого поля параллельны некоторой плоскости, причем во всех точках прямой, перпендикулярной этой плоскости, векторы поля равны.
Это значит, что в системе координат Охуз, в которой указанная плоскость совпадает с координатной плоскостью хОу, векторы поля имеют нулевую аппликату и зависят только от координат х и у точки при- (2) ложения вектора. Две ненулевые коор- у(х) динаты векторного поля, абсциссу и ори(х,у) ,и динату, можно описать парой функций и(х, у) и и(х, у) (рис. 5.15), которые мож- ,а(х,у)', но рассматривать как действительную О х и мнимую части функции комплексного переменного: ((х) =и(х,у)+(и(х,у), где х = х+(у.
Отметим еще раз, что вектор с началом в точке х комплексной плоскости (х) характеризует плоскопараллельное поле во всех точках прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости (х). С любым замкнутым контуром Ь мы будем ассоциировать тело, которое ограничено иилиндрическоб поверхностью с направляющей Ь и двумя плоскостями, параллельными плоскости (х) и отстоящими друг от друга на расстоянии 1.
Такое тело далее будем называть ии,яиндрииеским. Понятие векторного поля подробно обсуждается в [Ч??], и мы будем опираться на это обсуждение. Далее будем предполагать, что векторное поле ((з) является лапласовым, т.е. одновременно и потенциальным, и соленоидальным. Для плоскопарзллельных полей это означает, что Д.оЛ. Комплексный потепппвл плоского векторного пола 177 — п(х,у) йх+ и(х,у) оу = оФ(х, у). (5 45) Функцию Ф(х,у) называют фуннцией лиона (также саловой фуннцией) плоского векторного поля Дг). Векторные линии этого поля являются линиями уровня функции Ф(х,у) и описываются уравнением (5.46) Ф(х, у) = С = сопвФ.
Условие потенциальности векторного поля Дк) означает, что выражение и(х, у) ох+ и(х, у) оу тоже является полным дифференциалом некоторой функции Ф(х, у): и(х,у) ох+ о(х, у) йу = оФ(х,у). (5.47) Функция Ф(х,у) представляет собой потенциальную функцию, (также называемую потпенциалоле сноростпей) векторного поля 7" (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
