X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Эти уравнения показывают,что линии равного потенциала и линии тока — зто дуги взаимно перепендикулярных окружностей. Линии равного потенциала имеют радиусы Вф = ~се~ и центры 2 = сф на действительной оси, а линии тока — радиусы Вр = ~ср~ и центры л = есе на мнимой оси (рис. 5.23), причем на всех дугах выколота точка н = О, в которой поле диполя не определено. Рис. 5.23 Хотя поле диполя введено для моментов Р > О (через Р было обозначено произведение ЯЬ), он естественным образом обобщается на случай отрицательного значения момента (Р < О) и, более того, на случай произвольного комплексного (ненулевого) момента. При Р < О направление стрелок на рис. 5.23 изменится на противоположное. При Р = ер1 изображение на рис.
5.23 следует повернуть на угол я/2 против часовой стрелки при р1 > О и по часовой стрелке при р1 < О. Если Р Е С, то исходящая из точки 2 = О прямолинейная линия тока, называемая осью дпеаолл, будет направлена под углом аг3( — Р) = ахаР— и. По- 7 — 2054 194 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ле диполя с комплексным моментом можно получить, сближая вихреисточники с противоположными значениями комплексных интенсивностейприусловии,чтоинтенсивности вихреисточников возрастают обратно пропорционально расстоянию между ними.
В частности, изображенное на рис. 5.23 поле может быть образовано двумя вихрями с интенсивностями Г и — Г, причем первый из них стремится к точке» = 0 вдоль отрицательнои ветви мнимой оси, а второй — вдоль ее положительной ветви. Для любого замкнутого контура Х, охватывающего диполь, используя (5.16) и (5.11), находим р .С сЬ У() = р~ '() Ь=- — ~ —,=6.
Ь ~ь~=т Отсюда, согласно (5.55), следует, что поток и циркуляция для любого замкнутого контура в поле диполя равны нулю. Пример 5.16. Для плоского векторного поля, заданного комплексным потенциалом И'(») = »+ 1п», найдем потенциальную функцию Ф(я,у), функцию тока Ф(х,р), линии тока и линии равного потенциала, а также критические точки поля— те, в которых векторное поле обращается в нуль. Потенциальная функция и функция тока являются действительной и мнимой частями комплексного потенциала.
Пазтому Ф(»,р) = Ввй'(») = Ве»+ Ве(1п») = 2 2 = » + 1в 1/»2 + Р2 = » + — ?п(» + р ), 2 Ф(х, у) = 1п1 И'(») = ?щ»+?щ 1п» = у+ агя» = у + у(», у), где ~р(х,у) — функция агя», записанная в переменных х и у и равная полярному углу точки с координатами (х; 9). Линии равного потенциала задаются уравнением Ф(х,у) = 1 = С, или х+ — ?п(х2+ 92) = С.
Линии равного потенциала 2 описываются уравнением т'(х,у) = С, или у+ ~р(»,у) = С. В д.з.к комплексньпл потенциал плоского векторного полл 195 полярных координатах г и 1о на плоскости (з) уравнения линий равного потенциала и линий тока выглядят следующим образом: т сов ~р+ 1пт = С, тв1пу+ ~р = С. Наконец, так как векторное поле описывается функцией у(н) = И"'(н) = 1+ —, 1 критические точки являются решением уравнения 1+ — =О, 1 й которое имеет единственное решение к = — 1. Стало быть, векторное поле имеет единственную критическую точку к = — 1. Рассматриваемое векторное поле представляет собой композицию плоского векторного поля, изученного в примере 5.11, и поля источника интенсивности 2я, помещенного в точку н = О.
Вид линий тока зтого векторного поля изображен на рис. 5.24. Рис. 6.24 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 196 Вопросы и задачи 5.1. Вычислите контурные интегралы: а) «1ш«<Ь, "б) )«)~4«. )лфг )л)=1 5.2. Вычислите интеграл от функции Т" («) = «по следующим путям интегрирования, соединяющим точки «1 = О и «г = 1+1: а) прямая; б) парабола у = хг; в) парабола у = ~/х; г) двухзвенная ломаная с промежуточной точкой «„= 1.
5.3. Зависит ли интеграл от функции «е' от пути интегрирования, соединяющего точки «1 = — 2' и «2 =17 Вычислите этот интеграл. 5.4. Вычислите интеграл от однозначной ветви многозначной функции 1/~Д, принимающей в точке « = 1 значение, равное 1, по дуге полуокружности )«! = 4, 1ш«) О, проходимой от точки «1 = — 4 до точки «г = 4. 5.5. Вычислите интеграл от функции е' вдоль двухзвенной ломаной с начальной точкой «1 = О, конечной точкой «г = 1+1 и промежуточной точкой «„ равной: а) «, = 1; б) «, = 2.
5.6. Объясните, почему формула ф ,2 1 2 ~К = 2яг' 2, «е П, ((г+ 1)((. «) «г+ 1' верна, когда контур Ь, огранивающий область |2, есть окружность ~«+ Ц = 1, и не верна, когда контуром Ь будет окружность |«+2( =1. 5.Т. Вычислите интеграл от функции 25«вдоль дуги параболы у = х~, соединяющей точки «2 = О и «г = 1+1. 197 Вопросы я заяачя 5.10.
Пусть для функций у («) и д(«), аналитических в круге ф < В, верно равенство Докажите, что в этом круге у(«) = 0 или д(«) = О. 5.11. Вычислите контурные интегралы: г вш— в) ~(1 — <Ь; 4 ~(1 «г вз яЦ«+ 1) .Х ип«вш(« — 1) а) фб) ~Р г ,+, ~Р «г « Ь! Ь, е"' о« г) ')1. ( г+1)г ь4 Здесь Х~ — астроида ха« + дг~з = Зг~~, Ьг — окружность ~«( = 2, Ьэ — окружность хг + д~ — 2х = О, Ь4 — окружность хг + дг — 2у = О.
5.12. Найдите уравнения линий равного потенциана и линии тока и постройте зти линии для плоского векторного поля, образованного двумя вихрями. Первый интенсивностью Г находится в точке « = -гЬ, а второй интенсивностью -Г— в точке « = О. 5.8. Вычислите интегралы вдоль отрезка прямой, соединяющей точки «~ = 0 и «г = 1/2+ ю' ~(3/2, от следующих функций: а) е~'~ Ке«; б) е' Ве«; в) 5.9. Пусть функция |'(«) аналитична в некоторой односвяэной области Р, ограниченной контуром Ь, непрерывна в замыкании этой области и постоянна на Ь.
Докажите, что она постоянна в Р. 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 6.1. Равномерная сходимость функциональных рядов Пусть на некотором множестве А С С определена последовательность (Яг)) функиий Яг) (и = О, 1, 2, ...) комплексного переменного г. Определение 6.1. Функциональный рлд (6.1) называют сходящимся а тпочке го Е А, если сходится числоеои рлд ~ ~д(го).
1=о Определение 6.2. Множество всех точек г Е А, в которых функциональный ряд сходится, называют областью сиодимосгаи этого Яуккииокалького р*да. Отметим, что последний термин никак не связан с понятием „область ". В общем случае область сходимости функционального ряда может иметь на комплексной плоскости (г) самую различную конфигурацию: быть связным множеством или не являться таковым, быть как открытым множеством, так и замкнутым.
Ранее (см. 2.3, 2.5) были рассмотрены частные случаи функциональных рядов: степенные ряды, имеющие вид ~, с„(г — го)", степенные ряды с отрицательными степенями и=с г — ге, а также двусторонние степенные ряды. Было показано (см. 2.4), что область сходимости степенного ряда представляет собой его круг сходимосщи ~г — гг ~ < В, дополненный некото- б.1. Равномерная сходиыосхь функциональных Рядов 199 Я(») = 11ш Яи(») = 11ш ~~а(»)~ (6.2) где Я„(») — и-я частичная сумма ряда (6.1).
В символическом виде условие (6.2) означает, что И>0 Вп*=п*(в,») е1Ч: (п>п*=~ ~Я(») — ~1 Я»)~ <б). я=о Номер и* здесь зависит от б и от точки» Е Р, на что указывает обозначение п* = п*(б, »). Практически важным является случай, когда номер и" можно выбрать один и тот же для всех точек» некоторого множества М с Р, т.е. когда он не зависит от». Определение 6.3. Фуккииока,аькый ряд (6.1) называют равкомерко сходяидидася на множестве М с Р, если Чв>0 Зп*=п'(в) ЕИ: (п>п*, »ЕМ=о ~Й») — Яа(»)~ <в)) рым множеством точек окружности ~» — »о~ = В (быть может, пустым).
Если степенной ряд не имеет точек сходимости на указанной окружности, то область сходимости этого ряда будет линейно связным открытым множеством, т.е. областью. Если же степенной ряд сходится во всех точках окружности )» — »о( = В, то его областью сходимости будет замкнутое множество (»: ~» — »о < В), которое не является областью. Область сходимости степенного ряда, состоящего из отрицательных степеней» вЂ” »о, представляет собой внешность окружности ~» — »о~ = г, дополненную некоторым (возможно, пустым) множеством точек этой окружности. Наконец, область сходимости двустороннего степенного ряда представляет собой кольцо т < ~» — »о~ < В, быть может, дополненное некоторым множеством точек окружностей ~» — »в~ = г и )» — »о( = В.
Если Р— область сходимости функционального ряда (6.1), то на Р определена сумма ряда 200 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ где Я(«) — сумма этого функционального ряда, а Яи(«) — его и-я частичная сумма. Обозначая остаток ряда В («) = 2', Я«), получаем услоЬ=и~-1 вне равномерной сходимости ряда на множестве М в следующем виде: М > 0 Зп* = п*(е) е11: (и > и*, «н М =~ ~Ви(«) ~ < е). (6.3) Ясно, что если функциональный ряд (6.1) сходится равномерно на множестве М, то он равномерно сходится и на любом его подмножестве М1 С М. Пример 6.1. Исходя из определения 6.3 равномерной сходимости, докажем, что ряд 1+ «+ «з+ ...
+ «" + ... не является равномерно сходящимся в своем круге сходимости ~«~ < 1 (см. пример 2.5), но сходится равномерно в любом замкнутом круге ~«~ < 1 — 3, где 0 < б < 1 — любое малое положительное число. Пользуясь формулой для суммы геометрической прогрессии [1Х),при ф < 1 получаем и+1 Ви («) = «и+' + «и+ +... = «и+1(1+ «+ «~ +...) = 1 †« Круг ф < 1 содержит точки, сколь угодно близкие к точке « = = 1.
Так как тх-~-1 11ш Ви(«) = 1пп — = оо, х-+1 х-х1 1 — « то для любого номера и можно указать такую точку «в круге )«! < 1, что (Ви(«)) > се, где в качестве се можно взять произвольное положительное число, например положить ее = 1. Тогда при 0 < с < 1 нельзя будет подобрать такой номер и', чтобы при и > и* во всех точках круга ф < 1 выполнялось неравенство ~Ви(«) ~ < е.
Это означает, согласно определению 6.3, нарушение условия равномерной сходимости на множестве («с ф < Ц, т.е. 6.1. Равномерная екоднмоегь функннонаяънык рядов 261 сходимость рассматриваемого ряда в круге 1г~ < 1 не является равномерной. Согласно неравенству треугольника, имеем 1 =11 — я+ н~ < < 11 — н~ + ф и поэтому для замкнутого круга )н! < 1 — д, б Е (О, 1), получаем 11 — н) > 1 — ф > Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
