X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Набор подобных положений можно было бы продолжить. Отметим, что изложенный способ определения радиуса сходимости ряда Тейлора не применим для функций действительного переменного. Например, функция Дх) = 1/(1+ хэ) действительного переменного не имеет особых точек и, опираясь на сказанное вьппе, можно было бы сделать вывод, что ее ряд Тейлора по степеням з сходится на всей числовой оси. Однако это не так: непосредственное исследование ряда Тейлора показывает, что его радиус сходимости равен единице.
216 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В комплексном случае функция /(з) = 1/(1+ эз), как частное двух многочленов Р(г) с— е 1 и ф(л) = 1+ э~, является аналитической всюду в комплексной плоскости, кроме точек э = ~г, в которых обращается в нуль знаменатель ф(г). Эти точки для функции /(а) особые, так как в них функция не является непрерывной. Расстояние от точки э = 0 до любой из двух особых точек э = ~г равно единице. Поэтому радиус сходимости ряда Тейлора функции /(з) с центром в точке з = 0 равен единице. К тому же результату приводит и непосредственное исследование степенного ряда, например, с помощью признака Коши. Пример 6.2.
Найдем первые три члена разложения в ряд Тейлора функции /(з) = е1Ц1 '~ по степеням г, т.е. с центром разложения в точке ло = О. Коэффициенты Тейлора вычислим, используя (6.16): со=/(эо)=/(0)=е'Ц' '1~ =е, ~2=0 е|Ц1 ') с1 =/(го) =У (О) = э! =е, /л(0) еНО '~ ~ 1 2 ~ Зе 2 2 (1 — э)4 (1 — г)з с 2 Итак, е"Д1 '> = е+ ел+ Зез/2+...
Единственная особая точка функции /(я) есть з = 1. Стало быть, радиус сходимости ряда Тейлора в данном случае В = 1. Нахождение коэффициентов Тейлора при помощи (6.15) или (6.16) не очень удобно, ибо требует вычисления либо интегралов, либо производных. В силу следствия 6.2 о единственности разложения аналитической Функции в степенной ряд, который обязательно будет рядом Тейлора, для нахождения коэффициентов такого разложения можно использовать и другие пути, поскольку все они должны привести к одинаковому результату. б.4. Разложение функций в рнд Тейлора 217 Для целых функций е', совх и О1пх имеем следующие разложения, сходящиеся на всей комплексной плоскости: 2 яо и с' =1+а+ — + - + — +" 2! и! ~- и! ' и=О (6.18) 1)в 2в ео ( 1)в 2о =1- — + — —...+ +...=Е, (619) 2! 4! (2п)! х- (2п)! в=О 3 ( 1)в 2в+1 ео ( 1)а 2и+1 в!пх х 3! + + (2 + 1)! + ~~~ (2 + 1)! .
(6.20) в=О Итак, разложения в ряд Тейлора функций комплексного переменного можно получать из известных разложений функций действительного переменного простой заменой аргумента. С Указанные функции были введены в 3.3 именно как суммы степенных рядов, стоящих справа. Ряды в представлениях (6.18) — (6.20) можно рассматривать как ряды, полученные из разложений элементарных функций е*, О1пх, соя х действительного переменного путем замены действительного переменного комплексным. В результате такой замены мы получаем комплексные ряды, сходящиеся во всей комплексной плоскости. Суммы этих рядов являются аналитическими функциями и при действительных значениях комплексного переменного совпадают с указанными выше элементарными функциями.
Поэтому эти суммы являются аналитическими продолжениями элементарных функций действительного переменного в комплексную плоскость, причем эти продолжения единственны в силу теоремы единственности. Таким образом, формальное определение функций е', в!пх, соя х, данное в 3.3, оказывается самым естественным, если мы хотим, чтобы такое распространение функций действительного переменного на комплексное переменное сохраняло свойство дифференцируемости.
218 б ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ учетом этого можно записать 2 ггн гв сЬ2=1+ — +...+ — +...=~~1, яЕС; (621) 2! (2н) ! (2н) ! ' 3 го+1 ьь го+1 3! (2п+1)! (2н+1)!' 1 00 — =1+2+22+...+ив+...=~2 2", ф <1; (6.23) 1 — г B=О = 1 — г+... + ( — 1)" г" +...
= 2 ( — 1)"2", !2! < 1. (6.24) 1+2 Так как ветвь 1п(1+ 2) многозначной функции го = Ьп(1+ 2) при действительных значениях г = я совпадает с функцией действительного переменного 1п(1+ я), разложение в степенной ряд которой известно !1Х), получаем 1п(1 + 2) = ~~> (-1)" 1 †, ф < 1. (6.25) о=1 Аналогично (1+2) =1+ — 2+ 2 +...+ а а(а 1) г 1! 2! а(а — 1) (а — 2)...
(а — и+ 1) +, г" +..., ф < 1. (6.26) и! С помощью стандартных разложений можно получить ряд Тейлора для многих элементарньпс функций. Приемы получения разложений повторяют те, которые применяются в действительном случае (см., например, [1Х]). К таким приемам можно отнести замену в стандартном разложении переменного г на его некоторую целую степень, почленное дифференцирование и интегрирование стандартного разложения внутри круга сходимости, а также арифметические операции над степенными рядами. 6.4. Раэложевие фувкций в ряд Тейлора 219 Пример 6.3. Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки х = О функцию 1/(1 — «) н найдем обяасеиь сходилеости полученного разложения.
Если в (6.26) положить се = — 2 и вместо х подставить — х, то можно написать 1 — 2 ( — 2)(-2 — 1) (1 — г) г (1+( ))- 1+ ( )+ ( )г+ 1! 2! ( — 2) ( — 2 — 1)... ( — 2 — и+ 1) ... + ( х) + ° ° ° , ! — х! < 1. и!' После упрощения окончательно получаем (6.27) Пример 6.4. Разложим в ряд Тейлора по степеням х функцию 1/(4 — хг) и найдем область сходимости полученного разложения. Используя стандартное разложение (6.23), запишем 4 — хг 1 — хг/4 4Е~4,/ Е4+1 оеа о=е Поскольку в (6.23) х было заменено на хг/4, то полученное разложение сходится при условии !зг/4~ < 1, т.е. в круге !г) < 2. Итак, имеем гв — ! !<2.
(6.28) в=о Пример 6.5. Найдем ряд Тейлора с центром в точке х = О для функции 1 (1 — хг)(хг + 16) Представим зту функцию в виде 1 7 1 1 ~ 1 / 1 1/16 17~1 хг+ гг+16/ 17~1 хг+ 1+хг/16)' 220 В. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Применяя стандартные разложения (6.23) и (6.24) и складывая почленно полученные степенные ряды, получаем 1 (1 ~2)(~г 4 16) 17 ~~ ~ 16 --4 ~ — х "+ ( — 1)" О=О и=в 17~( 1б ) Этот ряд имеет круг сходимости с центром в точке х = 0 радиуса 1, равного расстоянию от точки х = 0 до ближайшей особой точки (х = х1). Этот же ответ можно получить, определяя общую часть кругов сходимости двух складываемых рядов. Разложение для функции 1/(1+ хг) имеет радиус сходимости 444 = 1 (находится из неравенства ~хг~ < 1), а разложение для функции 1/(1+ хг/16) имеет радиус сходимости Вг = 4 (находится из неравенства ~хг/16~ < 1).
В качестве радиуса сходимости суммы этих разложений следует взять наименьший, т.е. г44. Итак, / ( 1) 1 гн Пример 6.6. Найдем разложение функции е*совх в степенной ряд в окрестности точки х = О. Это разложение можно получить как произведение абсояютпно сходяи4ихся на всей комплексной плоскости рядов (6.18) и (6.19). Однако вычислять козффициенты произведения рядов сложно, и мы применим другой метод. Согласно (3.22), верно тождество е" +е " еО+О'+еО О' й 2 е сове=в 2 2 Поскольку 1 + 4 = ~/2еья/4 и 1 — 4 = ~/2е 4я/4, то, у штывая разложение (6.18), имеем для любого х Е С (1/2еиг/4) Миг/4 О+Од /г~е4 /Я Х ~ и Х ~ и/гс н х Ф и( к6 и=о о=в 221 6.5.
Ряд Лорана оо ( /2 -Е«/4) †«аа«/4 0-0««/2«е '«14 Х~ и Ч ~ о/2Е и и.' -2- п! а=О а=О Окончательно, еще раз используя (3.22), получаем разложение С«а«/4+Π— « /4 а=О о=О сходящееся на всей комплексной плоскости (з) (и в частности, в любой окрестности точки з = 0). ф Приведенные примеры показывают, что при разложении функции в ряд часто полезно при помощи тождественных преобразований представить функцию в виде, удобном для применения того или иного стандартного разложения. Стандартные разложения применяют, учитывая замену переменного з соответствующими выражениями. Затем, как правило, необходимо собрать подобные члены разложения по степеням а — зО и упростить коэффициенты разложения. Наконец, находят область сходимости полученного разложения, исходя из известных областей сходимости стандартных разложений или проводя непосредственное исследование полученного разложения.
6.5. Ряд Лорана Ряды Тейлора представляют аналиепичесние О«унниии в кругах комплексной пяосностпи (з). Перейдем к более общему случаю двусторонних рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные степени з — зО. Такие ряды представляют ана- ЛнтИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ КОЛЬЦаХ т ( ~ З вЂ” ЗО ~ ( еС. Особенно важны разложения в кольцах с нулевым внутренним радиусом г. Возможность таких разложений устанавливает теорема, доказанная в 1843 г. французским математиком и военным инженером П.А. Лораном (1813-1854). 222 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Теорема 6.11 (теорема Лорана). Любую функцию У(г), аналитическую в кольце г < ~э — яо~ < В, можно в этом кольце представить суммой сходящегося ряда (6.31) с коэффициентами (6.32) сн = — и Е,'Е где Ь вЂ” окружность!г — го~ = р (г < р < В). < Выберем два параметра г~ и В~ так, чтобы г < г~ < В~ < В, и рассмотрим в кольце г~ < ~я — яо~ < В~ произвольную точку я (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
