X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для доказательства второго утверждения теоремы снова ВЫбЕрЕМ ПрОИЗВОЛЬНуЮ тОЧКу Хс Е Р И Крут 11т, ЦЕЛИКОМ ЛЕжащий в Р вместе со своей границей. Для любого натурального числа Й в силу теоремы 5.9 верны равенства й! Г Я(х) ох ~Ф ~ (хо) 1)).'т а+1 2яе (г — ге) +' ' (6.10) где в качестве контура Ь, окружающего точку го, можно взять окружность !х — хе~ = г. В то же время Ув(х) й ) ~ (г - хо) +' (х — хо) +' в=1 причем ряд слева сходится равномерно на контуре Ь, так как этот ряд получается умножением функционального ряда Оо 1 и ~, ~ (х) на функцию . Интегрируя ряд почленно (» х)а+1. вдоль 1, получаем ~„(х) с1а ~ Я(х) сЬ (х — зе)"+ )р (х — хе) + в=1 Ь Учитывая равенства (6.10), заключаем, что равенство ( . ) (6.8) верно в точке х = хе.
Но так как точка ве Е Р может жет быть выбрана произвольно, равенство (6.8) верно всюду в Р. 208 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Третье утверждение теоремы заключается в том, что функциональный ряд (6.8) сходится равномерно на любом ограниченном замкнутом подмножестве К области Р. Для этого достаточно доказать, что он сходится равномерно в любом замкнутом круге ~г — яе~ < г, целиком лежащем в Р. Действительно, ограниченные замкнутые множества в С являются номпантньши мнолсестпеами (1-5.5].
Пусть К С Р вЂ” компактное множество. Для каждой точки я Е К выберем окрестность У, = 1я Е С 1з — зе~ < т,), целиком принадлежащую Р вместе со своей границей. Такие окрестности в совокупности образуют открытое покрытие компактного множества К. Согласно определению компактного множества, из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, т.е. такой конечный набор окрестностей У1, ..., У,„, объединение которых включает в себя множество К. Если функционапьный ряд (6.8) сходится равномерно в каждой окрестности У;,то он сходится равномерно и на их конечном объединении У1 0 ...
0 У,„. Следовательно, он сходится равномерно и на множестве К. Итак, выберем произвольную точку «е Е Р и замкнутый круг У„= (г Е С: (я — яе( < г) целиком попадающий в область Р. Выберем чуть больший круг ~г — зе) < р (р > г), также целиком попадающий в Р. Зафиксировав натуральное число lс, оценим остаток В (е) ряда (6.8) в замкнутом круге У,. Так (й) как фУнкциональный РЯД 2, ~т(Я) сходитсЯ РавномеРно в т=и+1 У„, то при г Е У„имеем к~к) Й~ .~ т=и+1 А~ .~ ~-~ ~т(~) 2яг 7 ((' — г) "+~ 2яъ' ~' ~ (~ — я) "+' Ь Ь т=и+1 — 1д~ = ~ ф„")(я) = Врб(з), 2и1 3 (~ — з)"+1 т=и+1 Х т=и+1 где в качестве контура Ь выбрана окружность |з — яе~ = р.
б.2. Свойства равномерно сходящаяся рядов 209 Поэтому, учитывая, что ~~ — з! > р — г при ~ Е 1 и н Е У„, а также используя оценку интеграла (см. 5.1), получаем /к хк)~ Ъ ь где В (1,) = ',> у„,(1,) — и-й остаток ряда ~, 1„(я). т=в-1-1 в=1 По условию теоремы ряд ~; у„(я) сходится равномерно в=1 внутри Р, а значит, и на контуре Ь.
Следовательно, для любого е > 0 можно выбрать такой номер М = Х(е), что при и > 1я'(е) будем иметь !В„(1,)~ ( е, ~ Е Ь. Но это значит, что при п >1т(е) и г Е У„верны неравенства й! 1Нв ( )! ~ ~2 ( )у,+1 !я'в(0! й!2хр й!р г)ь.~-1 (и г)а+1 Неравенства показывают, что ряд ~; у„(з) сходится равно(й! в=1 мерно в замкнутом круге У„. Это завершает доказательство третьего утверждения теоремы.
В. Следствие 6.1. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге его сходимости. Степеннои ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в круге сходимости, а также интегрировать по любой кусочно гладкой кривой, целиком лежащей в круге сходимости. ~ Согласно теореме 6.3, степенной ряд сходится равномерно внутри своего круга сходимости. Поэтому для степенного ряда в круге сходимости верны теоремы 6.5 и 6.6. ~ 210 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 6.3. Ряд Тейлора Теорема 6.Т.
Если функция у(«) аналитична в круге ~« — «о ~ < В, то она представима в виде суммы степенного ряда: У(«) = "~ 'с ( — о)", ~ — о~ < В. (6.11) ~ Пусть « — произвольная точка круга ~« — «о~ < В. Выберем число т так, что т < В и круг ~« — «о~ < т содержит выбранную точку «. Обозначим через Ь окружность ~» — «о~ = т (рис. 6.1). Так как функция 1(«) аналитична в круге ~« — «о~ < т и на его границе Ь, то, согласно инте«ральной формуле Коищ верно равенство 1(«) = —, <К .
(6.12) 2яъ' Т ь Рис. 6.1 Чтобы представить значение функции 1(«) в точке «как сумму ряда, разложим в ряд правую часть равенства (6.12). С этой целью преобразуем выражение 1Я вЂ” «) следующим образом: 1 1 1 1 — (ь — «о) (« «о) ь — «о ~ — »о Для фиксированной точки «при ~ Е Х имеем — ~« — «о! 1« — «о! <1, С вЂ” «о ~(; — «о! Одной из основных в теории функций комплексного переменного является теорема о представлении аналитической функции суммой степенного ряда.
6.3. Рлд Тейлора 211 так как ~» — «о~ < г согласно выбору числа г. Поэтому поскольку ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем д, по модулю меньшим единицы. Таким образом, при ~ Е А имеем 1 1 чз (» — «о1 ~ (« — «о) — ~ — «о ~ ~.~ — «о/ (~ — «о)"+' Отметим, что функциональный ряд в равенстве (6.13) справа (при фиксированном «он зависит от переменного т, Е Ь) имеет мажоранту: (« — «о)" ~ 1» — «о!" ч 1 (С вЂ” «о) "+' ~ г"+' = ~~-И')", тт=о тт=о в=о ь тт=о =,~ (» — «о) †. ~ Г У(с) д~ (6.14) 2т( У (1 — «о)"+ ~=О ь Обозначив 1,Х М) д~ 2и1 з (~ — »о)"+1' из (6.14) получим (6.11). ~ (6.15) где о' = ~» — «о~/г < 1. Поэтому, согласно признаку Вейериппрасса равномерной сходи.носгпи функииональноео ряда, этот ряд сходится на Х равномерно.
В силу утверждения 6.1 равномерная сходимость не будет нарушена, если все члены ряда умножить на непрерывную (значит, ограниченную на Ь) функцию. Учитывая это, подставим представление (6.13) в (6.12) и проинтегрируем почленно.
В результате получим 212 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Определение 6.4. Степенной ряд (6.11), коэффициенты которого находят по формулам (6.15), называют рлдом Тейлора длл финнции У(«) номпленсноео переменноео «по степеням « — «е (или с центром раэложенил в точке «е). При этом с„в (6.11) называют ноэффициентпами Тейлора для функции комплексного переменного. Представление функции ее рядом Тейлора называют разложением этой финнции в ряд Тейлора Сравнивая (6.15) для вычисления коэффициентов с„с формулой (5.36) для и-й производной аналитической функции, устанавливаем, что (6.16) с„=, п= 0,1,2, п! Отметим, что, хотя формулы (6.15) для вычисления коэффициентов Тейлора допускают свободу в выборе контура интегрирования, сами коэффициенты от выбора контура не зависят. С одной стороны, это следует нз формул (6.16), а с другой стороны, это согласуется с теоремой Коши для многосвязной области.
В качестве контура интегрирования естественно выбрать контур простого вида, например окружность с центром в точке «е Теорема 6.8. Всякий степенной ряд, имеющий положительный радиус сходимости, явллется рядом Тейлора своей суммы. ц Согласно следствию 6.1, сумма Я(«) степенного ряда се+ + с~ (« — «е) + сз(« — «с) +... является аналитической функцией в круге сходимости, а сам ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, т.е. Н"'( ) = ~~.( — )"1'"'= в=с снап(п — 1)" (п — й+ 1)(« — «е) в=л б.З.
Рлд Тейлора 213 Полагая В этих равенствах « = «о, походим ЯОО( 0) =сФй!, Следствие 6.2. Если аналитическая функция в окрестности точки «о имеет представление в виде степенного ряда по степеням « — «о,то это представление единственно. < Если функция Д«) есть сумма степенного ряда по степеням « — «о в окрестности точки «о, то этот ряд, согласно теореме 6.8, является рядом Тейлора функции ~(«). > Теорема 6.9. Пусть функция 1 («) аналитична в замкнутом круге ~« — «о) < г и на границе Ь: ~« — «о) = г этого круга удовлетворяет неравенству ~ 1(«) ~ < А. Тогда коэффициенты ряда Тейлора функции 1 («) с центром в точке «о удовлетворяют неравенствам (с ~ < †, и = О, 1, 2, ...
А г"' (6.17) < Учитывая, что ~( — «о~ = г при ~ Е Ь, и используя оценку интеграла (см. 5.1), нз (6.15) получаем ~с„| = —, ~(~ 1 Г ~(~)д~ 1 А А < — — 2кг = —. 2яб У Ы вЂ” «о)"+' 2я г"+' Неравенства (6.17) называют неравексгивамп Копли. Из них вытекает следующая интересная теорема, носящее имя французского математика Ж. Лиувилля (1809-1882). Теорема 6.10 (гиеорема Лиувилл.в). Целая функция, ограниченная на всей плоскости, постоянна. так как в этом случае все члены ряда, кроме первого, обнуляются.
Таким образом, коэффициенты степенного ряда вычисляются через производные суммы этого ряда по формулам (6.16). Значит, степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы. > 214 а ФункциОИАльные Ряды ~ Пусть Дг) аналитична во всей комплексной плоскости и удовлетворяет неравенству Дх) < А, я е С. По теореме 6.7 она представима всюду в комплексной плоскости своим рядом Тейлора: Согласно теореме 6.9, в любом замкнутом круге ф < В для коэффициентов с„ряда Тейлора функции 7" (я) верны неравенства Коши 1с ~ < ф, и = О, 1, ... Так как в этих неравенствах число В можно выбрать произвольно, заключаем, что ~с ~ = О при и = 1, 2, ...
Действительно, за счет выбора В правую часть этих неравенств при п ) О можно сделать сколь угодно малой. Итак, все коэффициенты Тейлора, начиная с первого, равны нулю, а функция тождественно равна нулевому коэффициенту Тейлора, т.е. постоянна. ° 6.4. Разложение функций в ряд Тейлора Согласно теореме 6.7, 4ункиию Дя), аналитическую в точке яв, а стало быть, и в некоторой окрестности этой точки, можно разложить в рлд Тейлора (6.11) по степеням г — «в, причем коэффициенты этого ряда можно найти из (6.15) илн (6.16). В качестве окрестности точки гв можно взять любой круг с центром в точке яв, в котором функция остается аналитической. Естественно радиус такого круга выбирать максимально большим.
Оказывается, максимальный радиус В равен расстоянию от точки яв до ближайшей точки, в которой функция не определена или теряет аналитичность (особой точки функции). Действительно, если  — наименьшее расстояние от яв до особых точек, то в круге ~г — яв~ < В функция аналитична, а потому имеет разложение в ряд Тейлора. На окружности )» — яв! = В есть особые точки. Значит, в круге )г — гв( < В', где В' ) В, представить функцию рядом Тейлора уже нельзя, так б.4. Разложение функций в рлд Тейлора 215 как функция аналитична в круге сходимости своего ряда Тейлора.
Следовательно, В есть радиус сходимости ряда Тейлора функции 1(з). Эти соображения показывают,что определять круг сходи- мости ряда Тейлора можно, анализируя особые точки аналитической функции. Разумеется, возможно и непосредственное исследование ряда Тейлора на сходимость, но первый способ во многих случаях проще второго. Например, многие применяемые на практике функции являются элементарными, т.е.
определяются с помощью ограниченного круга основных элементарных функций и арифметических операций. Для таких функций можно выделить особые точки, опираясь на следующие положения: — основныеэлементарные функции(многочлены,показательная функция, тригонометрическиеи гиперболические функции и др.) являются аналитическими функциями в своей области определения; — сумма, разность, произведение двух аналитических функций являются аналитическими функциями в тех точках, в которых анзлитичны обе функции; — частное двух аналитических функций является аналитической функцией в тех точках, в которых и числитель, и знаменатель аналитичны, причем знаменатель не обращается в нуль; — композиция аналитических функций является аналитической функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
