X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.2). Обозначим внешнюю границу ~г — яо~ = В~ кольца через Ь|, а внутреннюю границу ~л — зо~ = г~ — через Хз. Окружим точку я простым кусочно сладким контуром Ь„который вместе с внутренностью целиком лежит внутри построенного кольца г~ < !я — яо~ < В~ Рис. 6.2 Функция 1(~)Я вЂ” я) является аналитической в трехсвязной области, ограниченной составным контуром: внешним Ь| и внутренними Ь, и Хз. Из теоремы Коша длл многосвязной 223 6.6.
Ряд Лорана обдастии следует, что Но в силу интегральной формулы (5.24) Коши имеем ,К ~©с~ у(«) 2я!' 7 г,— » ь. В результате получаем (6.33) » 2я! )г ~ — » 2я! ~!д ~ — » ь! ьг Если г, Е Ьы то !» — »о! < )~ — «о), а значит, (« — »о~/(~ — »о~ < 1. Поэтому, согласно (6.13), 1 х («-«о) с- =„'=;к- )-"' Полученный ряд сходится на Ьд равномерно, так как имеет мажоранту — сходящуюся геометрическую прогрессию со знаменателем д = ~ ~ ~ < 1. Его равномерная сходимость не будет нарушена после уьгйожения на ограниченную по модулю на контуре Х ! функцию Дг,)/(2тг) (см. утверждение 6.1).
Подставляя разложение функции 1Я вЂ” «) в первое слагаемое правой части равенства (6.33) и интегрируя почленно (это возможно в силу теоремы 6.5), находим 1 Х Ук) К 1 4 тн«»0) К вЂ” (1 — «о)"+' ь! в, а — О г,(« — «о) †.
г~', © ~ = ,"~ Сг(» — »о)" (6.34) (. а=о ! б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Коэффициенты ряда в правой части (6.34) равны С,',= —, п=0,1,2,... (6.35) 2я1 У (~ — яо)"+' Если же ~ Н Ьз, то )э — эо) > )~ — зе( и ~~ — «ейг — эе) < 1 В этом случае, учитывая стандартное разложение (6.24), имеем эе 1 Этот ряд сходится на ьз равномерно, так как его мажораитой является сходящаяся геометрическая прогрессия со знаменателем д* = — о < 1. Поэтому аналогично (6.34) можно записать 1г — зо! Изменив в найденной сумме индекс суммирования, получим Коэффициенты ряда в правой части (6.36) равны С,",= —.
~), и= — 1,— 2,— 3, М) й; 2я1' У (~ — яо)"+' (6.37) ,К У(0 К 2иг';1" (' — э 1 1 ч (ь — го'1" ~ — ~0 э — св ~.~~э — эе/ в= — 00 ь~ -1 — С„"(э — го)". (6 36) б.б. Рнд Лорана 225 Подставляя в (6.33) разложения (6.34) и (6.36), получаем представление (6.31), в котором коэффициенты вычисляются по формулам (6.35) и (6.37).
В этих формулах использованы разные контуры интегрирования. Но в силу теоремы Коши для многосвязной области интегралы в правых частях (6.35) и (6.37) не изменят своего значения, если контур интегрирования заменить на произвольную окружность ~л — ло~ = р, где г1 < < р < Нь Поэтому полученные формулы для коэффициентов равносильны формулам (6.32). Наконец, отметим, что разложение функции получено в кольце г1 < 1я — го~ < Вь Но так как параметры г1 и Н1 выбирались произвольным образом, полученное представление функции будет верным во всем кольце г < ~г — ао~ < Н, а в качестве радиуса р контура интегрирования в формулах для ка~ффициентов можно взять любое число между т и В. ~ Определение 6.5.
Ряд (6.31), коэффициенты которого вычислены по формулам (6.32), называют рядола Лорана функции ~(я) по степеням г — го (нли с центром в точке ло). Рассмотрим в отдельности те два ряда, из которых состоит ряд Лорана (6.31) функции Дя) в кольце г < )г — яо) < Н. Первый ряд ~ с„(я- го)" — это ряд по неотрицательным степеням =о я — яо, а второй ряд ',) с„(г — яо)" содержит отрицательные о= — 1 степени г — яо.
Оба ряда сходятся в каждой точке а внутри рассматриваемого кольца (см. 2.5). При этом первый ряд, как обыкновенный степенной ряд, сходится не только в кольце, но и в круге ~г — яо~ < В. Согласно следствию 6.1, его сумма является аналитической функцией в круге ~г — ло~ < В. Этот ряд, состоящий из неотрицательных степеней ряда Лорана, будем называть прпни ьъной частью ряда Лорана. Второй ряд 2; с„(я — яс)" также можно преобразовать о=-1 в степенной ряд (см.
2.5), полагая с „ = Ь„, п = 1, 2, 3, ", и 226 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 1/(» — »о) = ы. Преобразованный ряд имеет вид 2, 'Ь„ю", он а=1 сходится в круге ~ю~ < 1/г. Сумма этого ряда — аналитическая в этом круге функция. Следовательно, исходный ряд с„(» — »о)" сходится в области (» — »с! > г, а его сумма я= — 1 является аналитической функцией в этой области. Этот ряд, содержащий отрицательные степени ряда Лорана, будем называть злавной частпью рада Лорана. Итак, функция /(»), аналитическая в кольце г < ~» — »е ~ < Н, представима в виде /(») =/1(»)+/г(»), где /1 (») аналитична в области ~» — »е ~ < Г», а /з(») аналитична в области !» — »е) > г.
Кольцо г < (» — »о~ < В является пересечением областей аналитичности функций /1(») и /з(»). Говорят, что двусторонний степенной ряд сходится абсолютно в точке», если в этой точке абсолютно сходятся оба составляющих его ряда. Аналогично двусторонний степенной ряд сходится равномерно на множестве М, если на этом множестве равномерно сходятся оба составляющих его ряда. Согласно этим определениям можно сделать следующие выводы: 1) ряд Лорана функции, являющейся аналитической в кольце г < ~» — »е~ < В, сходится абсолютно в этом кольце; 2) ряд Лорана аналитической в кольце г < ~» — »е~ < В функции сходится равномерно внутри этого кольца (т.е.
равномерно на любом замкнутом ограниченном множестве, целиком лежащем в кольце), в частности, он сходится равномерно в любом замкнутом кольце г1 < ~» — »е~ < Вм где г < г1 < В1 < В. Определение равномерно сходящегося двустороннего ряда позволяет на такие ряды перенести теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании. Поэтому ряд Лорана можно почленно дифференцировать внутри кольца сходимости любое число раз и можно почленно интегрировать по любой дуге 227 б.5. Ряд Лорана в кольце сходимости.
Эти операции фактически сводятся к их раздельному выполнению для правильной и главной частей ряда Лорана. Наконец, подчеркнем, что функция разлагается в ряд Лорана в любом кольце, в котором она аналитична. В качестве такого кольца можно взять максимально возможное кольцо с центром в заданной точке яс, в котором сохраняется аналитичность функции. Рассуждая так же, как и в случае ряда Тейлора, заключаем, что и на внешней границе максимального кольца, и на его внутренней границе есть хотя бы одна особая точка функции, причем особые точки на внешней границе кольца— это особые точки суммы правильной части ряда Лорана, а особые точки на внутренней границе относятся к сумме главной части ряда Лорана.
Отметим, что радиусы г и В, определяющие кольцо, внутри которого сходится ряд Лорана, могут принимать, в частности, следующие значения: 1) г = О, В < оо (в этом случае имеем круг с выколотым центром — точкой яс, т.е. проколотую окрестность этой точки); 2) г = О, В = оо (ряд Лорана сходится во всей комплексной плоскости, за исключением точки гс); 3) О < г < оо, В= со (в этом случае кольцом сходимости ряда Лорана является внешносгпь окружностии (я — яе~ = г). Теорема 6Л2. Всякий сходящийся двусторонний степенной ряд является рядом Лорана своей суммы.
ч Пусть ряд ~ с„(я — яс)" сходится в кольце т < ~» — го~ < В и его сумма равна Я(я): (6.38) 228 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Тогда (,,'),+1 =Е -( — 0)"-- (6 39) Рассмотрим контур Ь: ~г — ге~ = р, где г < р < В. На этом контуре ряд в (6,39) справа сходится равномерно (он сходится равномерно на любом замкнутом ограниченном подмножестве рассматриваемого кольца). Поэтому равенство (6.39) можно проинтегрировать по контуру Ь почленно: ф ' '„,(Ь= ~~) с„(г — ге)" "+'сЬ.
ь И=00 Из результатов примера 5.4 имеем ф ( 9, пфй; )и-/с-1 1 '( 2яь', и = к. Значит, т.е. коэффициенты в (6.38) совпадают с коэффициентами ряда Лорана, вычисляемыми по формулам (6.32). > Формулы (6.32) для вычисления коэффициентов ряда Лорана, как формулы (6.15) для вычисления коэффициентов ряда Тейлора, на практике используют редко, ибо зти формулы требуют вычисления конгпурных интпегралое. Доказанная теорема фактически означает, что разложение функции в ряд Лорана единственно.
Поэтому для определения коэффициентов ряда Лорана можно использовать и другие приемы — результат в любом случае будет один и тот же. Для коэффициентов ряда Лорана верны неравенства Коши, которые вьппе мы установили для коэффициентов Тейлора 229 6.5. Ряд Лорана (см. теорему 6.9). При этом сохраняется не только вид этих неравенств, но и процедура их вывода. Теорема 6.13. Пусть функция /(э) аналитична в кольце г < (а — 2О( < В, а ее модуль на окружности )з — зе) = р (г < р < В) не превосходит числа А > О. Тогда коэффициенты ряда Лорана этой функции удовлетворяют неравенствам (с„)< — „, пЕЕ. А (6.40) Р" Пример 6.7. Найдем разложение в ряд Лорана по степеням э для функции Дэ) = сов~(1/э).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
