X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Эта функция является аналитической всюду на комплексной плоскости (з), за исключением точки 2 = О, т.е. в вырожденном кольце 0 < (я~ < оо, для которого г = О, В = оо. Чтобы воспользоваться стандартным разложением, представим /(2) в виде 21 1Г 2~ 1 1 2 /(2) = сов — = — ~1+сов — ) = — + — соз —. 2 2~ 2) 2 2 г Используя разложение (6.19), в котором переменное 2 заменено на 2/з, получаем 21 1 1 (-1)" г2~2~ (-1)"22" 1 сов — = — + — ~~~ — ~ — ) = 1+ ~~> ~, ф > О.
2 2 (2п)! 2) (2п) г я2" Пример 6.8. Найдем разложение в ряд Лорана функции /(з) = е~Я/(г — 1) по степеням з — 1. Эта функция является аналитической в кольце ~г — Ц > О. Представим ее в виде е2я е2(я-0+2 е2 /(л) — — — — е~(' П з — 1 з — 1 з — 1 и используем стандартное разложение (6.18) с заменой з на 2(2 — 1): еэя е2 (2(з — 1))" 2" — =е ~ — (г — 1)" 1, ~я — Ц>0 э — 1 2-1 Я~ п) и! а=О о=О а ФункциОнАльные Ряды 6.6. Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням Рассмотрим задачу о разложении функции ~(я) в рлд Лорана по степеням г — яе, т.е.
в ряд с центром в точке яо. Такое разложение тесно связано с наличием и расположением особых точек функции (см. 6.4 и 6.5). На границе круга сходимости ряда Тейлора, на внутренней и внешней границах кольца сходимости ряда Лорана имеются особые точки разлагаемой в ряд функции. Упрощая задачу, будем предполагать, что функция является аналитической всюду в ко.юмексной плоскосп1и, за исключением некоторого конечного множества особых точек. Каждая такая точка имеет окрестность, в которой нет других особых точек, т.е. все эти точки являются изолирояаииыми особыми точками. Через каждую изолированную особую точку функции проведем окружность с центром в заданной точке яз.
Система этих концентрических окружностей разделит комплексную плоскость на конечное число концентрических колец, в каждом из которых рассматриваемая функция у(я) аналитична. Стало быть, в каждом из этих колец, согласно теореме Лорана, функцию можно представить рядом Лорана. Отметим, что ряды Лорана функции Дя) в разных кольцах не могут совпадать. Действительно, область сходимости ряда Лорана есть кольцо, быть может дополненное частью его границы. Между двумя концентрическими кольцами, на которые разделена комплексная плоскость, имеются особые точки функции. Если бы ряды Лорана для двух колец совпадали, то это означало бы, что один и тот же ряд сходится в обоих кольцах, а значит, и в более широком кольце, охватывающем оба исходных кольца.
Такое возможно лишь в случае, когда функция не имеет особых точек между двумя рассматриваемыми кольцами, что противоречит их построению. Таким образом, одна и та же функция имеет несколько разложений Лорана, в каждом из концентрических колец — свое разложение в ряд Лорана. 6.6. Нахождение аееноаиожных разложений функции 231 Чтобы найти все разложения Лорана данной функции, рекомендуется выполнить следующие этапы.
1, Найти все особые точки функции У(х). 2. Отметить на комплексной плоскости (х) центр разложения ао и найденные особые точки. 3. Провести окружности с центром в точке хс через все особые точки. При этом может случиться, что несколько особых точек будут расположены на одной окружности. Проведенные окружности разделят всю плоскость (х) на области аналитичности функции ~(х): круг (если точка хс не является для у(х) особой) и концентрические кольца, внутри которых нет особых точек функции Дх).
4. В каждой из полученных областей аналитичности функцию Дх) можно разложить в ряд Тейлора по теореме 6.7 (для самой внутренней области в случае, когда хс не является особой точкой) или в ряд Лорана по теореме 6.11. 5. Коэффициенты разложений в областях аналитичности проще находить с помощью стандартных разложений (см. примеры 6.2-6.6 для ряда Тейлора и примеры 6.7 и 6.8 для ряда Лорана). Пример 6.9. Найдем все возможные разложения функции у(х) = 1/((х — 1)(х — 2)) в ряд Лорана по степеням х.
Для этого на комплексной плоскости (х) отметим центр разложения ао = 0 и особые точки х1 = 1 и У г2 = 2 функции У(х) (рис. 6.3). (х) 21 Проведем через особые точки ~а окружности ~х! = 1 и ф =2. Эти окружности выделяют на плос- О1 х кости (х) три кольцевые обла- -2 -1 6 1 2 х сти аналитичности В1 ~ .Рд и Взр которые описываются неравенствами ф < 1, 1 < ~х) < 2 и ~х! ) 2 -2$ соответственно. Для удобства использования в каждой из этих Рис.
6.3 232 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ областей стандартных разложений представим заданную функ- цию в виде /()— 1 — — — (6.41) 1 1 (г — 1)(» — 2) г — 2 г — 1 Теперь необходимо построить разложения каждой из дробей в правой части (6.41) по степеням ю Используя стандартное разложение (6.23), для функции 1/(г — 1) в области ф < 1 получаем 1 1 — — — = — Гг", ~з! < 1. з — 1 1 — я О=О (6.42) Для той же функции в области ~г~ > 1 имеем — — — — ф > 1.
(6.43) 1 1 1 1 1 — 3 1 — 1/я 3 х" ' О=О Аналогично находим разложения функции 1/(з — 2) в областях )з1<2и ф>2: 1 1 1 1 ус/з1~ =--7 Н, ф<2; (6.44) г — 2 21 — «/2 2~ ~2) О=О = — ~) ( — ), ф > 2. (6.45) а=О 00 СО 00 1 /(л) = — -'~ Н + ~ з" =~~~ (1 — —,)х", ~х~ <1.
в=О в=О в=О Чтобы получить разложения функции /(з) в каждой из областей .Рм Рз и Рз, остается, учитывая (6.41), правильно скомбинировать построенные разложения. Для области Р1 разложение в ряд Тейлора получаем, подставляя в (6.41) разложения (6.42) и (6.44): 6.6. Нахождеаие аееаоаиожаых разложений функция 233 Для области Рг используем разложения (6.43) и (6.44): ОО 1 ОО 1 +00 /()=--~ Я --,'' — 00~ сп ", 1<~»~<2, п=О п=Π— СО где с„= — 1 при и < — 1 и с = — 1/2 ~1 при и > О. Отметим, что разложение в Р» содержит как отрицательные, так и неотрицательные степени ».
Наконец, для области Рз в представлении (6.41) следует использовать (6.43) и (6.45): 1 2 1 1 2п — 1 /(») = — ~1 (-) — — ~~~ — „= ~~1 „, ф > 2. п=О п=о о=о Разложение в Рз содержит лишь отрицательные степени». Пример 6.10. Найдем все разложения функции /(») = = 1/(»(» — 2)) в ряд по степеням» вЂ” 1. Отметив на плоскости (») центр разложения»О = 1, особые для этой функции точки »1 = 0 и»» = 2 и проведя окружность )» — Ц = 1, на которую попадают обе; ~Ъ» (»1 У и особые точки (рис. 6.4), получим две 11, области Р1 и Ре аналитичности данной»1»» функции, которые задаются неравенствами ~» — Ц < 1 и )» — Ц > 1.
Для применения стандартных разложений представим исходную функцию в виде Рис. 6.4 /(») — — — ~ ~— — — ) — . (6.46) 1 1/ 1 11 1/2 1/2 »(» — 2) 2 ~» — 2»/ (» — 1) — 1 (» — 1)+1 Для первой дроби в правой части (6.46), используя разложение (6.23) в двух областях, получаем 1/2 1/2 1 '~ (, Ц", ~»-Ц<1; (6.47) (» — 1) — 1 1-(»-1) 2 1/2 1/2 1 1 1 ~ ц >1 (646) (» — 1) — 1» — 1 1 1 2 (» — 1)п+1 »-1 п=О 234 а ФункциОнАльные Ряды Аналогично находим разложения и для второй дроби в правой части (6.46), используя стандартное разложение (6.24): 1/2 1 (2 — 1)+1 2 =-~~) (-1) (2-1)", ]2-Ц <1, (6.49) 1/2 1/2 1 1 ~ ( — 1)п — — ]2 — Ц > 1.
(6.50) (2-1)+1 2 — 1 1+ ~ 2 ~ (2 — 1)п+1 ' п=е Подставляя разложения (6.47) и (6.49) в представление (6.46), получаем разложение заданной функции в области Р1. 00 1 00 у(2) = — — ~ (2 — 1) — — ~~) ( — 1) (2 — 1) 2 2 п=е п=е — (1+ ( — 1)п) (2 — 1)", ]2 — Ц < 1. 2 п=е Для области Рз используем разложения (6.48) и (6.50): 1,~ 1 1,~ (-1)" 2 '~-' (2 — 1)п+~ 2 '~-~ (2 — 1)п+1 п=е О=О 6.7.
Связь ряда Лорана с рядом Фурье Рлд Фурье для действительной функции у($) действительного переменного 1, интегрируемой на отрезке (0,2я], имеет вид [?Х] — + Я(ап сов п1+ Ь„в?птй), (6.51) п=1 235 б.Т. Сааза ряда Лорава с рядом Фурье где а„= — ( у(1)совиИ$, и=0,1,2, ...; (6.52) 1 Г о 1 Г Ьа = — ~ 1о($) в1птИй, п = 1, 2, 3, о (6.53) Ряд Фурье можно представить в комплексной форме. В этом случае он имеет вид [1Х] саеьи П=-00 (6.54) а его коэффициенты с„вычисляются по формулам с„= — / у($)е '™й, и=0,~1,~2...
(6.55) 1 Г 2я/ о дя)= ~ сна (6.56) с коэффициентами 1 .С У(л)~Ь са иЕЖ, 2кг' ~ «"+1 (6.57) где А — окружность ]я[ = 1, целиком лежащая в указанном кольце. Вводя для этой окружности параметрическое представление л = еи, 1 Е [О, 2и], при котором <Ь = ген сЫ и з" +1 = еда+ В~, Рассмотрим теперь функцию Г(я) комплексного переменного г, аналитическую в кольце 1 — е < ]з[ < 1+ е, б ) О.
В этом кольце в силу теоремы 6.11 ее можно представить рядом Лорана: 236 б. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ вместо (6.57) получим 2т 2х с„= —,/ . = — / Г(е')е '" Ж, иЕЖ. (6.58) 1 Г Г(ен) 1е'1Ж 1 Г 2х1 „/ е1!" +1)1 2я / Сравнивая (6.54) с (6.56) при 2 = е'1 и (6.55) с (6.58), устанавливаем, что ряд Лорана для функции Г(з) в окрестности единичной окружности Ь совпадает с рядом Фурье для функции <р(1) = Г(е'~) на отрезке [О, 2я], которая получается сужением функции Г(г) на единичную окружность. Заметим, что, вообще говоря, даже в случае сходимости ряда Фурье к функции <р(1) в каждой точке отрезка [0,2я] для соответствующего ряда Лорана область сходимости может оказаться пустым множеством. Иными словами, может не существовать такой аналитической на окружности [г[ = 1 функции Г(г), что Г(е11) = ~р($).
Лишь при весьма ограничительных условиях, наложенных на функцию у(1), ряд Лорана, соответствующий ряду Фурье, имеет непустую область сходи- мости. Пример 6.11. Найдем сумму ряда я=1 для значений 1 6 [О, 2з]. Преобразуем этот ряд при помощи формул Эйлера к виду ~е1пи1 ~ е'"1 — е '"' 1 ~ я" — з " и! и! 21 21 и! в=1 в=1 я=1 где 2 = е", 1 Е [0,2и]. Полученный функциональный ряд фактически является двусторонним степенным рядом и сходится в кольце 0 < [2[ < оо, содержащем окружность [з[ = 1, Сумма этого ряда, согласно стандартному разложению (6.18), совпадает 237 Вопросы и задачи с функцией е' — е1/« «(«)= ., 0<ф <со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
